שיחה:88-236 תשעא סמסטר ב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תרגיל 1 שאלה 3

הרמז בתרגיל מורה להסתכל על (f(1/k עבור k זוגי ואי זוגי. אז ברור לי שf עבור k זוגי תתן 1 חלקי k ועבור k אי זוגי תתן 1- חלקי k. אז יוצא שהקבוצה של חלוקות אפשריות ל [0,1] היא עדיין חסומה בין 1 ל1-, והסכום של החלוקות יתן טור לייבניץ. אך לפי הדוגמא של המרצה בכיתה נראה שהסכום צריך להיות לא חסום ולא הכי מסתדר לי שהמסילה גמא היא בעלת אורך. האם אני צודק בתחושה או שטעיתי איפשהו בדרך? תודה, ליאור.

תומר : שים לב שהתייחסת רק לנקודת חלוקה אחת... מה תקבל אם תעריך את אורכה של מסילה פוליגונלית עם נקודות חלוקה מתאימות ? ...

תרגיל 1 שאלה 5

למה בשורש יוצא r בריבוע? למה זה לא 1 בריבוע כמו בשאלה 4 ? הרי גם פה נגדיר מסילה (theta,r(theta) ? ואז גוזרים לפי theta תומר: שאלה 4 מדברת על משתנים שמתאימים עדיין לצירים שלנו - כאשר נוסחת אורך מסילה מתייחסת לצירים . הצגה פולרית איננה מתאימה לצירים שלנו x ן- y . נסו להביע את x ו- y במונחי r והזווית , כאשר יש קשר ביניהם ...

תרגיל 1 שאלה 3

הי תומר,

לקחתי K זוגי ומובן ש K-1 תמיד יהיה אי זוגי. הצבתי 1 חלקי כל אחד מהם וקיבלתי ביטויים רלוונטיים, ואחר כך הצבתי לפי הגדרה לנוסחת האורך.

מה שאני מקבל בערך מוחלט, הביטוי, וגם לפי מה שנעשה בהרצאה, הסכום, מתבדר, כי סכום של 1 חלקי K ו - 1 חלקי K+1.

האם המהלך כשר או שמא יש מקום לטעות בדרך שלי?

תודה מראש.

תומר : את/ה שואלים אותי האם התשובה שלכם נכונה ... אני מציע להגיש , ולקבל תשובה לאחר מכן .

תומר שלום,

כפי ששוחחנו, להלן אתר של פרופסור אחד בארה"ב ובו PDF שממש מקיף את כל מה שרק ניתן להקיף: http://www.math.byu.edu/~klkuttle/AdvancedCalculusMV.pdf סלבה.

שאלה 3 סעיף א

אפשר לקבל רמז לשאלה?, צריך שתי פונקציות בעלות השתנות חסומה כך שההרכבה שלהן אינה בעלת השתנות חסומה

תומר : טוב , זה לא אומר שיש רק דוגמא נגדית אחת כמובן , אבל אפשר לנסות לקחת פונקציה אחת כפונקציית הסימן: שווה ל- 1 עבור x אי שלילי , ושווה ל- מינוס 1 עבור השליליים (באפס שווה נגיד ל-1 כאמור ). על הפונקציה השנייה חשבו בעצמכם ...:)

שאלה 4

האם ניתן לקבל קצת יותר הסבר? כשאומרים שהתבנית מוגדרת על ידי הפונקציה כוונת הנוסח זה שאם אגזור את F אקבל את התבנית?

נניח וגזרתי אותה יוצא שנגזרת של F שווה לנגזרת של פונקציית פי כפול 1 לכבוד נגזרת לפי משתנה האיי. אחרת לכל איי שונה מג'יי נגזרת אפס.

אשמח להכוונה ו\או להסבר רחב יותר.

תומר: בבקשה להסתכל בדף ההסבר שהוספתי בנושא !

הגשה 3 תרגיל 1

תבנית w אינה סגורה ולכן אינה מדוייקת. ומכאן אינטגרל תלוי לא רק בנקודות קצה אלא בבחירת מסילה.. אז למה אנחנו בוחרים מסילה והיא לא נתונה? אולי בבחירה אחרת נקבל ערך של האינטגרל שונה? תודה

תומר - המסילה נתונה - והיא חלק מהמעגל הנתון כשנתונות נקודת ההתחלה והסוף . מקובל כשמדובר כך להתייחס למסילה פשוטה עם ההצגה הקוטבית הרגילה.

מתי הבוחן?

יש תאריך לבוחן? תומר - עדיין לא נקבע תאריך . הוא יהיה אחרי הפסח ונדבר על כך בשבוע הבא.

האם ניתן להעלות פתרונות לכלל התרגילים כדי שנוכל להתחיל וללמוד לבוחן במהלך פסח??

תרגיל 4 שאלה 1 ב'

איך יכול להיות מסילה סגורה גזירה למקוטעין כך שהתמונה שלה לא חוסמת תחום שעונה על משפט גרין? משפט גרין דורש בסה"כ קבוצה קומפקטית (לפי ההרצאה) - האם יתכן שמסילה כנ"ל לא תיצור תחום חסום וסגור?

תניח\י שכן, ואז תפתור\י כרגיל, כאילו משפט גרין עובד. הנחנו שהאינטגרל 0, אזי גם הכפול 0. כאשר תסדר\י את האינטגרל תקבל\י משהו שבעליל לא יכול להיות 0. מכאן הגענו לסתירה ולכן גם ההנחה לא היתה נכונה. מקווה שעזרתי, סלבה.

ברור שאם מניחים שכן מגיעים לסתירה ממש מהר אני שואל אם בכלל הנתון אפשרי כלומר האם יכול להיות כזאת מסילה שתקיים שהאינטגראל הנתון שווה אפס- אני שואל כדאי לדעת לא כדי לפתור את השאלה (זה החלק הקל...) ולכן זה לא פתרון "תניח שכן ותפתור כרגיל"

"איך יכול להיות מסילה סגורה גזירה למקוטעין כך שהתמונה שלה לא חוסמת תחום שעונה על משפט גרין?" - לא ייתכן תחום כזה, כי זה מה שדורש משפט גרין. מקווה שפתרתי את הבעיה, סלבה.

אבל זה בדיוק נתוני השאלה-אז אם אתה צודק אזי השאלה לא הגיונית (לא קיים אינטגראל מסילתי כמו שנתון ששוה אפס)

אני בדיוק כמוך חפרתי בספרות, באתרים ובדוגמאות, לרוב סותרים מקרים כאלה (או דומים) בדוגמא נגדית, כאמור החלק הקל זה הסתירה אליה שנינו ורבים אחרים הגיעו. זה הרי משפט גרין...

תראה אני מציע לסיכום הויכוח המתמטי הזה לחכות לתגובתו של תומר שיכריע ושנינו נלמד מהתשובה שלו או של פרופסור לרנר.

יש כבר תאריך לבוחן?

מתי הבוחן?

מישהו יודע?

תרגיל 4 שאלה 3

האם פשוט צריך להציב בכל אחד מהאינטגרלים 1 ואז סה"כ אינטגרל של 2? מהם הגבולות של האינטגרל הכפול? כי כאשר אני מציבה x בין a לc וy בין b לd. לא יוצא לי שוויון.

התהליך מאוד פשוט: 1) יש לך 2 נקודות נתונות, תעשי פרמטריזציה כמו שלמדנו בשיעור. כלומר פרמט' של קו ישר מנקודה א' ל ב'. 2) כעת יש לך בקואור' הראשונה את T ובשניה פונקציה שלו. 3) תציבי באינטגרל כרגיל Y,X, DX, DY ותקבלי סה"כ את הביטוי הדרוש.

4) באשר לסעיף הבא, יש לך 3 קוים, הם יוצרים משולש = סכום של שלושה אינטגרלים מעל קווים AB, BC,CA שכל אחד מהם שווה בנפרד לביטוי מא'. 5) קצת אלגברה ואת מקבלת את הדרוש.

מקווה שעזרתי, סלבה.

מאיפה מגיעה החלוקה ל2? האם השתמשנו בצורה השלישית של אינטגרל ששווה 1? ואם כן למה? הרי בסעיף א' היה שווה 2...

קחי את הנוסחה לחישוב שטח שהיא: חצי כפול אינטגרל של (מינוס Y כפול DX) + (איקס כפול DY) כעת הגיוני ביותר שיש לך חצי של האינטגרל הזה ואילו מצד השי של המשוואה יש לך חצי (גורם משותף) כפול ביטויים שקיבלת בסעיף א). מקווה שעזרתי, סלבה.

תרגיל 4 שאלה 4

איפה ההבדל כאשר המסילה מקיפה/ לא מקיפה את הראשית הצירים?

כאשר המסילה מקיפה את ראשית הצירים אזי הפונקציה לא מוגדרת בתוך כל התחום הפנימי כי לא מוגדרת בראשית הצירים ולכן המעבר לאינטגראל כפול על התחום הנ"ל לא תקני

התחום פתוח=> תבנה\י מעגל עם רדיוס אפסילון סביב הראשית. כבר ידוע שבסעיף הקודם קיבלנו 0. לכן תחשב\י את האינטגל מעל המעגל הזה (עם רדיוס אפסילון).

חשוב ביותר לתת כיוון שלילי = עם כיוון השעון בתחום עם המעגל שיש לו רדיוס אפסילון.

תחבר\י את 2 האינטגרלים - תקבלי את סעיף א = 0 תעביר\י אגף תקבל\י 2 פאי.

מקווה שעזרתי, סלבה.

תרגיל 4 שאלה 5 (ובאופן כללי)

בהרצאה הגדרנו אינטגראל מסילתי מסוג שני רק כאשר המסילה מוגדרת על קטע סגור [a b] (גם בויקיפדיה)- ההגדרה הבסיסית של "סכומי רימן" נעזרת בחלוקה של הקטע הסגור a=t0<t1...<tn=b אבל כאשר הקטע הוא [a infinity] אז ההגדרה לא עובדת... בקיצור - איך יכול לצאת אינטגראל לא אמיתי מתוך אינטגארל מסילתי- לא ראינו התייחסות לזה (?)

תהליך הפתרון של שאלה זו, בעזרת התמונה של הייצור הזה בויקיפדיה נותנת לך לראות שמדובר בתחום סגור העונה על דרישות משפט גרין. זה עלה.

עתה יש להשתמש בהצבה שניתנה ולמצוא את איקס במונחים של T ואותו הדבר גם Y.

כעת נפנה לאינטגל שתוצאתו שטח של התחום במקרה שלנו זה העלה. נציב את X ו Y שחישבנו ואת הנגזרות המתאימות ונקבל בגלל ש T הוא בין אפס לאינסוף אינטגרל לא אמיתי שקל לחשבו.

מקווה שעזרתי, סלבה.

התשובה שלך לא מתייחס לשאלה. לא שאלתי איך פותרים -שאלתי איך עוברים מאינטגראל מסילתי לאינטגראל לא אמיתי- אם תסתכל בהרצאה אינטגראל מסילתי מוגדר רק ע"י מסילה שתחומה הוא קטע סגור שניתן לעשות לו חלוקה. על קטע אין סופי לא ניתן לעשות חלוקה כי אין כזה דבר a=t0<t1...<tn=infinity ולכן כל ההגדרה של האינטגראל לא מוגדר

http://mathworld.wolfram.com/FoliumofDescartes.html תוכל\י לראות שם בדיוק כמו שאני חקרתי את העניין, וזה אכן מסתדר. אם עוברים לקואורדינטות פולריות זה אמור להוריד בכלל מהפרק את עניין האינסוף שאת\ה מצביע\ה עליו כבעיה. כמו כן מופיעה בו נוסחה שלה ניתן למצוא הוכחה דרך סכומי רימן בלינק הבא לקראת סוף הדף: http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system, כמו כן ישנה הוכחה רגילה בשימוש T מאפס עד אינסוף, בהרצאה זו לקראת האמצע: http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap12.pdf. מקווה שעזרתי, סלבה.

תומר - תודה לסלבה על ההתייחסויות שלו כאן ! לגבי העניין עם האינטגרל הלא אמיתי - התייחסתי אליו בתירגול . עוד שאלות בנושא ?

תרגיל 5 שאלה 2

לאן u,v שייכים?

תומר : כל u,v שתבחרו .

מתי ההגשה של תרגיל 5 ????

מתי ההגשה של תרגיל 5 ????

שאלה לגבי גבולות באינטגרלים משולשים

אני יודע לאולי כבר עברנו את החומר הזה אבל אני חייב לשאול כיוון שאני לא כל-כך מבין איך מוצאים את הגבולות באינטגרל משולש. בגדול אני לא ממש מבין איך למצוא היטל של קבוצה על אחד מהצירים. למשל, אשמח אם מישהו יוכל להסביר לי איך למצוא את ההיטל של האליפסואיד -

[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 }[/math]

על מישור XY בדרך מפורשת ולא להגיד שזו פשוט אליפסה. תודה!

מתי ההגשה של תרגיל 5

מתי ההגשה של תרגיל 5

מתי ההגשה של תרגיל 5

תומר : הגישו עד יום שלישי לתא שלי .

דוגמא מתרגול אחרון. על המלבן שהוא חלק ממישור z=y

שלום! יש לי שאלה בקשר לדוגמא על שימוש בסטוקס (דוגמא מתרגול אחרון. על המלבן שהוא חלק ממישור z=y מצאנו נורמל מההצגה הסתומה ואז כשה הצבנו לסטוקס צימצנו נורמה של נורמל עם אלאמנט שטח. אך אלמנט שטח מוגדר כ norm(Rv cros Ru ולפי מהשענה לי המרצה אלמנט שטח לא בההכרח שווה לנורמה של נורמל שהתקבלה מההצגה הסתומה. אז: האם יש טעות בפתרון? אם לא למה באמת אלמנט שטח שווה לנורמה של נורמל מההצגה הסתומה? למשל יכלנו לקחת הצגה סתומה אחרת 2x-2y=0 גם היא מגדירה מישור z=y ?

תודה. אלבס

הבנתי שבתרגיל הזה ספיציפי אם אני עושה פרמטריזציה של המשטח עיי (x,y,z(x,y כאשר (z(x,y שווה ל-y אני אקבל אותה תשובה. אך מזה לא נובעת תשובה חיובית לשאלה ששאלתי..

תומר:סרקתי דף הסבר על ההצגות השונות - פרמטרית לעומת ניתן להטלה .

אינגל משטחי מסוג שני, משפט גאוס סטוקס ושדות משמרים

אהלן תומר, האם יש אפשרות להעלות תרגיל ופתרונות מלאים לנושאים של אינטגל משטחי מסוג שני, משפט גאוס, סטוקס, ושדות משמרים? תודה,

תומר : מישהו בכלל הסתכל על המבחנים מהטכניון שקישרתי אתכם אליהם ? ...

משפט גרין

האם יכול להיות שכאשר חישבתי אינטגרל מסילתי על עקומה סגורה בעזרת משפט גרין יצא לי תוצאה שלילית? (למתעניינים- מבחן של אגרנובסקי- תשנז מועד א שאלה 6 חלק ב)

תומר : למה שלא יהיה ייתכן ? ...

תרגיל 6 שאלה 3 ותרגול מתאריך 23.05

בשאלה 3 בתרגיל 6 אני מגיע למצב שיש לי 48 כפול אינטגרל של קוסינוס ברביעית + סינוס ברביעית די טטה.

איך עלי לפתור אינטגרל שכזה מה גם שכאשר אני משתמש בתוכנת חישוב - וולפרם אלפא - אני מקבל שסך הכל האינגרל לא שווה 180 פאי.

מצד שני בתרגול כאשר עשינו אינטגל על גליל והיה אחד האינטגרלים על המעטפת אז גם שם יצא הפרש של קוסינוס בשלישית וסינוס בשלישית שנותן לפי התוכנה 0 ולפי תומר 48 פאי.

אשמח אם מישהו יאשש או יפריך ויסביר האם נכון או יש משהו שהתפספס.

א. התשובה נכונה (כלומר תומר צודק) ב. לחישוב פשוט של הענין תעזר בשוויון הפשוט הבא

cos^4+sin^4= (cos^2+sin^2)^2-2*sin^2cos^2=1-(sin(2*teta))^2

יוצא שזה 108 פאי - על הכיפה התחתונה 0, על העליונה 36 פאי ועוד 72 פאי מהמעטפת.

תומר : אני לא זוכר שום קוסינוס ברביעית בחישובים שלי ... למרות שייתכן שהשתמשת בפרמטריזציה שונה ... אגב - אני לא בעד תוכנות חישוב כאלו ...

משפט סטוקס

סלבה השאלה הזו בשבילך: (תנחש מי כתב את זה) אם אנחנו פועלים ע"פ משפט סטוקס ואחרי שחישבנו את הcurl לא יצא לנו משהו קבוע אלא נשאר פונקציה עם x או y וכו' ואז נרצה לחשב את האינטגרל שיש לנו dm ונעביר את זה ע"פ משטח ניתן להטלה לdxdy אז אנחנו צריכים להכפיל שוב בשורש של (1+zx^2+zy^2)? כי בעצם כשחישבנו את הcurl נירמלנו בדרך. ולכן אנחנו כן צריכים להכפיל בזה. אך אם אנחנו לא ננרמל את וקטור הכיוון אז לא נצטרך להכפיל בשורש הזה?

תומר : חברים אתם מסבכים את עצמכם . למה לא להיצמד להגדרות ולדוגמאות שראיתם שמסבירות בפעם המי יודע את עניין הנורמל הזה? זה יותר פשוט ממה שזה נראה (ואני יודע שזה מבאס כשהמתרגל אומר את זה כשאת/ה לא ממש סגורים על זה - אבל באמת חרשנו זאת כבר יותר מדי ) מפנה אתכם שוב לדף בנושא שהעליתי.

תרגיל 6 שאלה 1

חישבתי את השטח פנים לפי הנוסחא של שטח משטח (פי u כרוס פי v) ויצא לי 16cosu (כי הרדיוס 4) מהם הגבולות של האינטגרציה? איפה בא לידי ביטוי שזה ממשטח z=1 עד z=2? תודה רבה!