שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/ארכיון 5

2.27

מה זה Iv ? ואם יש הע"ל T מV לV זה אומר ש T=Iv ?

Iv הינה העתקת הזהות מV לV השולחת כל איבר לעצמו. --ארז שיינר

אז זה אומר ששאלתי השניה הינה שגויה ? הלא כן ?

כן

אחיוד של פולינומים

בשאלה 7.11 בתרגיל 6 איך אני יודע מה האיחוד של שני קבוצות הפולינומים?

במגוון דרכים שונות. החשובה שבהם - האלגוריתמית. עוברים למרחב קואורדינטות שם אתה יודע לחשב איחוד וחיתוך. הכל מתואר במערכי התרגול בפירוט. --ארז שיינר

תרגיל 7 שאלה 1 ב'

אני ממש לא מבין מה זה אומר: "מרחב וקטורי משני איברים" אפשר דוגמא והסבר קצרצר? בדקתי בתרגולים ולא מצאתי ...

זהו ציטוט שגוי. לא מדובר על שני איברים במרחב הוקטורי, אלא שני איברים בשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2=\{0,1\} }[/math]. כמובן שגם אפשר ליצור מרחב וקטורי עם שני איברים - השדה הזה מעל עצמו. --ארז שיינר

הציטוט הוא "V מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math] משני איברים" האם זה אומר שאורך הוקטורים בV הוא 2 ?

מה משמעות המושג "אורך" של וקטור? מהו האורך של הוקטור [math]\displaystyle{ 1+x^5 }[/math]? העובדה שיש 2 איברים בשדה אומרת שיש שני סקלרים אפשריים. אי אפשר להסיק מכך על המימד של V. בבוחן הדמה, לדוגמא, רואים מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math] שהוא קבוצת החזקה ויכול להיות מכל מימד. דוגמא נוספת הינה הדוגמא הסטנדרטית של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=\mathbb{Z}_2^n }[/math] שזה אוסף n-יות של אפסים ואחדות. --שיינר

תרגיל 7 שאלה 1א.

מה העובדה שהחיתוך של מרחב העמודות עם מרחב האפס הוא {0}, עוזרת לי?

תנסה לעבוד עם משפט המימדים ואיכשהו להכניס שם rank ותראה שזה יסתדר

תרגיל 6 שאלה 1 b מהדף

מה זה וקטור הפתרון הכללי?

זה הפתרון הכללי ע"י מרחב האפס , לא ככה ?

זה וקטור הפתרון של המערכת ההומוגנית (מרחב האפס) באמצעות פרמטרים (המשתנים החופשיים) --שיינר

בנוגע לשיטה להשלמת וקטורים לקבוצה פורשת

התשובה שיצא לך בסוף בדוגמא שנתנת במערך תרגול 7 אינה נכונה אין צורך ב1102 כי הוא צ"ל של שאר האבירים

זה נכון. אמנם רשום שם "קבוצה זו פורשת את המרחב" וזה נכון גם (: אני אעביר את זה לתומר... --שיינר

???????

אם T שולח מV לV אז רק וקטור האפס של V שולך ל0 ? כלומר, אם T(v)=0 vEV אז v=0 ??????????

תלוי מהו T, באופן כללי זה לא נכון. למשל העתקת האפס שולחת את כל הוקטורים לאפס. --שיינר

2.7

מה זה העתקה אידמפוטנטית ?

תקרא את הסוגריים מיד אחרי המילה החדשה --שיינר

אבל איך אפשר לעשות ה"ל בריבוע? אני צריך להכפיל אותה בעצמה? (כלומר אם T(x)= x+1 אז T(x)^2=(x+1)^2) האם זאת הרכבת פונקציות שלה עם עצמה תודה

זה מאוד פשוט זה הרכבה של עצמה כלומר

T^2(U)=T(T(U))

סימן הכפל בין העתקות לינאריות אומר הרכבה באופן כללי, ובמקרה של חזקה בפרט. כלומר [math]\displaystyle{ T^2:=T\circ T }[/math] כפי שעשינו בתרגיל בשיעור --שיינר

תרגיל 8 שאלה 2.4

כשמבקשים ממני להוכיח שקיימת העתקה המקיימת את התנאי, מספיק להביא דוגמה לאחת כזאת?

צריך להוכיח שקיימת אחת כזאת אבל בין מרחבים U וV כלשהם. אסור לבחור את המרחבים... --שיינר

תרגיל 8

בשאלה 2.4 אם אני מראה הכלה דו כיוונית ואני מסביר זה מספיק לי ?

הכלה דו כיוונית בין מה למה? אם אתה מגדיר העתקה, ואז מוכיח שהגרעין שלה שווה U אז זה בסדר. אם לא, אז לא. --שיינר

לזה התכוונתי שאני מגדיר הע"ל ובעזרתה מראה את ההכלה

שיעורי בית

שמתי לב שעוד לא עדכנו את עבודה 9 זה אומר שלא תהיה אחת כזאת ?

תהיה עבודה אחת להגשה שניתן מחר --שיינר

שאלה 2.19 ב

האם (v(T זה (T(v ?

אני לא מתרגל, אבל נדמה לי שהכוונה היא לאות היוונית ניו, המסמלת את המימד של ker(t)

לינארית תרגיל 9

האם הוא באמת לשלישי ואין שיעורים ליום ראשון? תודה נתנאל

כן --שיינר

תודה!

שאלה כללית

אני רוצה למצוא שורש רביעי למטריצת היחידה (בקשר למטריצות 4x4 מעל הממשיים), כלומר מטריצה/ות A שתקיים A^4=I. יש דרך למצוא מטריצה כזאת? (בלי 16 מש' ב16 נעלמים...) או לפחות קיימות כמה כאלה ידועות? תודה מראש.

זה תלוי איזו מן תשובה אתה מחפש. התשובה הטריוויאלית היא [math]\displaystyle{ A=I }[/math] או [math]\displaystyle{ A=-I }[/math].

באופן קצת יותר כללי, תוכל לקחת כל מטריצה אלכסונית כך שאיברי האלכסון שלה הם שורשי יחידה (שכן העלת :מטריצה אלכסונית בחזקה שקולה להעלאה בחזקה של כל אחד מאיברי האלכסון). --לואי

אה כן, שכחתי לציין שאני מחפש מטריצות A כך ש A בחזקה קטנה יותר מ4 לא תיתן את מטריצת היחידה. ושורשי היחידה לא יעבדו כי אני מחפש מטריצות ממשיות. תודה בכל מקרה על התשובה המהירה! רעיונות?

קח העתקה לינארית המעבירה כל איבר בבסיס לאיבר הבא בבסיס, וייצג אותה לפי הבסיס הסטנדרטי. אחרי שתפעיל את ההעתקה 4 פעמים תקבל חזרה את איבר הבסיס המקורי. שים לב שהמטריצה המייצגת הינה מטריצת היחידה עם שינוי שורות - זה כפל של כמה מטריצות אלמנטריות המחליפות שורה. --שיינר

גאוני- פשוט לקחתי תמורה על סדר האחדות וזה עבד - תודה!

דוגמא למרחב שאינו נפרש סופית

האם תוכלו להציג דוגמא למרחב שאינו נפרש סופית ששונה מ[math]\displaystyle{ P(A) }[/math] מעל [math]\displaystyle{ Z_{2} }[/math] כאשר A אינסופית?

יש לכם כזה בתרגילי הבית... מרחב הפונקציות --שיינר

האם הוא (מרחב הפונקציות הממשיות) איזומורפי לאיזשהו מרחב מהצורה [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^\infty }[/math]?

לא חושב, לפי חוקי עוצמות שלמדנו בבדידה, אבל זה כמובן תלוי באיך מגדירים את הדברים --שיינר 13:14, 19 באוגוסט 2011 (IDT)

2.7

אם T=T^2 אז T(vi)=T(T(vi)) כלומר, T(vj)=vj וזה אומר שהתמונה שווה לגרעין ! אז איך החיתוך ביניהם שווה אפס ? איך הסכום הישר שלהם שוה לV ?

הvj שלך הם רק הוקטורים בתמונה ולא כל הוקטורים --שיינר

הם גם בתמונה וגם בגרעין,לא?

אני מדבר על המסקנה שרשמת פה. בגרעין נמצא מי שנשלח לאפס, איפה הקשר כאן לאפס? --שיינר

2.15

מה זה v(TA) z וזה מה rank(TA)?

ראה הגדרה בעמוד קודם לשאלה --שיינר

הבוחן

מתי יעלו את הפתרונות המלאים לבוחן שהיה בליניארית?

אני מקווה שבקרוב. הנה אתם רואים? עונים לכל שאלה. --שיינר

שאלה מתרגיל 9

מה הכוונה כשכתוב: מטריצה של T^5 (כאשר T היא ה"ל) ביחס לבסיס הסטנדרטי של R2? מה היא המטריצה הזאת? ואיך אני מוצא אותה?

המטריצה המייצגת של ההעתקה מורכבת על עצמה 5 פעמים --שיינר

שאלה

כתוב למצוא [T] כאשר T ה"ל ממרחב ווקטורי V ל W. הכוונה היא למטריצת המעבר T מהבסיס הסטנדרטי של V לבסיס הסטנדרטי של W? תודה מראש.

כן --שיינר

המבחנים של ת"א [לא עובדים

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.html

יכול להיות. זו הסיבה שרצוי לבנות מאגר אחד לחומר עזר לסטודנטים. --שיינר

בקשר לשאלה 2 בדף

כשאומרים לי שDIMV=DIMW

בקשר לשאלה 2 בדף

כשאומרים לי שDIMVשונה מDIMW ושואלים אותי האם זה מרחב לא יכול להיות בכלל פונקציות איזמורפיות ביניהם מכיוון שהמימד שלהם שונה לא ?אז התרגיל לא נכון

גם אני לא הבנתי.. אולי זה התרגיל? להגיד שאין איזומורפיזמים כשהמימדים שונים וזה לא ת"מ? עזרה?

האם הקבוצה הריקה הינה תת מרחב וקטורי? --שיינר

חחח לא נראה לי.. אין בה איברים ניטרליים כי אין בה איברים בכלל היא לא ממש מועילה.. אבל אני לא בטוח

אני בעצם כן בטוח, שמתי לב שכשצריך להוכיח ת"מ צריך להראות שהקבוצה שונה מקבוצה ריקה אז זה לא ממש תופס פה חח.. תודה

תרגיל 9 שאלה 6.15

האם התמונה תלויה לינארית או שהעיניים שלי מטעות אותי ?

קולומבוס (: אז מה אם היא תלוייה? --שיינר

מבחנים בלינארית

אתם יכולים בבקשה להעלות מבחנים משנים קודמות כמו בבדידה

סבבה. עשינו את זה לפני שנה. יש באתר... --שיינר

6.15 התשובה הסופית יכולה להיות תלויה בסקלרים?

מה זה אומר תלוייה בסקלרים? הרי סקלרים הם מספרים מהשדה. בוודאי שמותר לתת העתקה בעזרת מספרים, אין מפורש מזה. אם הכוונה היא למשהו אחר אז התשובה היא לא. --שיינר

שאלה

כשכתוב למצוא את ההעתקה ST הכוונה היא לS הרכבה T?

כמובן. --שיינר

תוכנית

האם ביום ראשון ה - 28 באוגוסט יתקיימו שיעורי תרגול ו/או הרצאה? אם כן - באיזו שעה הם מתחילים? ובימים אחרים בשבוע הזה עד המבחן באלגברה לינארית? האם יש צורך בכרטיס נבחן כלשהו או הזמנה כדי לגשת למבחן? תודה רבה מראש

כמו שאמרנו בתרגול היום, ביום ראשון ב-12 המתרגלים עושים חזרה. אני לא יודע לגבי המרצים --שיינר

שיעורים בלינארית

בשיעורים בלינארית יש סימנים של ריבועים במקום אותיות כלשהן ולא הצלחתי לפענח את הכל.יהיה נחמד אם תוכלו לתקן את זה.

תרגיל 10 שאלה 2

למה הכוונה במטריצת סיבוב? ומה זאת אומרת מעל ריבוע ולמטה 3?

מצטרף לשאלה. בנוסף גם בסעיף ב' יוצאים ריבועים מוזרים, והדטרמיננטה של המטריצה לא יוצאת a+b+c.

אני כמעט בטוח שבריבוע הראשון הכוונה ל Z3 כי בעזרת המשפט הקטן של פרמה באמת יוצא a+b+c. לגבי השאר גם אני לא מבין :S

התעודת זהות שלי לא מופיע בקובץ ציונים

מה לעשות?

לא מופיע כי לא רשמת? תחפש משהו קרוב, הכתב שלכם לא היה הכי מובן... --שיינר

יכול להיות שלא כתבתי, אבל אין שם את התעודת זהות שלי, אפילו לא בקירוב.

גם את שלי לא, גם לא בקירוב

תרגיל 11

הוא לא יוצא נח להדפסה אפשר להגדיל את הפונט?

תרגילים 10-11

התקלות תוקנו. סליחה...

גם בהתחלת מערך תרגול 12 יש את הריבועים האלו.

תוקן

תרגיל 10 שאלה 2 ב

מה הכוונה של X1 שם זה משתנה במעלה ראשונה של הפולינום או משהו אחר?

איפה יש x1? אולי אתה מתכוון [math]\displaystyle{ xI }[/math]? (עדי)

בנוסף בשאלה 5.4 מזה T סיגמה ומזה T בכללי העתקה מאיפה לאיפה?

ראה הגדרה בעמוד 67 בין 1.8 ל-1.9 (עדי)

שאלה 2.16 תרגיל 10

איך char(f) משפיע על דטרמיננטה? אם אני מחבר שני דטרמיננטות, מה זה משנה מה הchar? אני בעצם מחבר מספרים,לא?

בלי קשר לדטרמיננטות, הערה זו רלוונטית כאשר 2 כפול "משהו" =0 ואתה רוצה שזה יגרור בהכרח ש"משהו"=0 ולא 2 (עדי)

בקשר לתרגיל 10 שאלה2

לא הבנתי מה יכול להיות X הוא סקלאר או מטריצה? ואם הוא סקלאר אז איך אני מציב את A ואם הוא לא אלא מטריצה אז איך אני מחשב את הדט של A-XI סתם מציב מטריצה כללית במקום X?

1. x מופיע בתור סקלר לא ידוע (משתנה), כלומר [math]\displaystyle{ xI }[/math] היא המטריצה הסקלרית ש-x באלכסונה, כלומר [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] היא כמעט המטריצה [math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_{ii}-x }[/math] באלכסונה במקום רק [math]\displaystyle{ a_{ii} }[/math]. לכן כשתחשב את הדטרמינטה של [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] תקבל פולינום. אל תציב את A לפני קבלת הפולינום. לאחר קבלתו ההצבה תתבצע כמו בהערה 2.

2. אם [math]\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 }[/math]

אז [math]\displaystyle{ f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I }[/math]

(עדי)

לא הבנתי איך הגדרת את AN ב3

תודה

למדא על האלכסון הראשי, מינוס אחד על האלכסון המישני ו-0 מחוץ להם. (עדי)

תרגיל 11 שאלה 8.2

אפשר עזרה עם השאלה הזו. אני לא מצליחה להגיע למשהו שעוזר לי. גם אחרי הרמז שכתוב בשאלה. אשמח לקבל רמז נוסף.

בבקשה: הפעל דטרמיננטה על שני האגפים וחשוב:

מה ניתן לומר על התוצאה באגף שמאל היות ו-T מעל מ"ו ממשי?

מה ניתן להסיק על התוצאה באגף ימין בשל תוצאתך באגף שמאל? (עדי)

הבנתי. תודה

שדות

תיקנתי משהו בתירגול של שדות (במרוכבים), שיניתי מ Z בחזקת 2011 ל 2 בחזקת 2011. האם זה בסדר? נתנאל

אני לא יודעת מה הופיע לפני, אבל כרגע זה נראה בסדר, אז כן. (עדי)

זה בסדר גמור --שיינר

אם אפשר רמז קטן על 4.4 על

איך לפתור את זה בלי לחשב דטרמננטה וגם את 5.4א לא הבנתי מה זה Tגדול וסיגמה לידו זה הרכבה?וגם בב' מה שאנחנו אמורים להוכיח שמה לא אמורים ללמוד בקורס יותר מתקדם כי אלי מצרי אמר שבינתים זה משפט בלי הוכחה וככה גם הספר כותב תודה בכל מקרה

4.4: נסה ליצור את המספרים הנ"ל באחת השורות או העמודות ואז פתח לפי אותה שורה או עמודה (כאמור ברמז, לא יהיה צורך בהמשך חישוב משם).

למה התכוונת ?

5.4: ראה הגדרה בע"מ 67 בין 1.8 ל 1.9

ב': לא. תוכל לראות בקלות ש [math]\displaystyle{ [T_{\sigma}] }[/math] זה רק שירשור של החלפת שורות ביחס למטריצת היחידה, משם המעבר מהרכבה למכפלה הוא דיי מיידי. (עדי)

(אחר) לא הבנתי מה הכוונה ב"שירשור של החלפת שורות ביחס למטריצת היחידה".

היא מתקבלת כהחלפת שורות בלבד, ללא מכפלה בסקלר או חיבור בין שורות. (עדי)

השיעור חזרה עם המתרגלים ביום ראשון

כמה זמן הוא יהיה? האם הוא יעלה לאתר?

תודה!

מתחיל ב-12, לפחות לשעה וחצי, אבל נהיה גמישים בנושא. אני לא יודעת כרגע אם הוא יעלה, מאמינה שכן. (עדי)

A-xI

בתרגיל 10 שאלה 2 קיבלנו ש A מאפסת את הפולינום |A-xI|. האם זה עובד לכל מטריצה? איזה תנאי דרוש כדי שהתכונה תתקיים?

כן, זה עובד לכל מטריצה, זה נקרא משפט קיילי-המילטון ונלמד אותו בלינארית 2. עוד דבר מיוחד לגבי הפולינום הזה: האיבר החופשי שלו הוא פלוס מינוס הדטרמיננטה של המטריצה (נסו להוכיח) --שיינר

האיבר החופשי הוא פחות או יותר לפי הגדרה(האיקסים לא ישפיעו) הדטרמיננטה של A, לא? אפשר דוגמא למקרה שזה מינוס הדטרמיננטה של A (כשהיא לא מתאפסת)? או שהכוונה היא שהאיבר החופשי של [math]\displaystyle{ |xI-A| }[/math] כאשר A היא מסדר NxN כאשר N אי-זוגי הוא |A|-?

כן פשוט מציבים אפס. וכן, הכוונה היא לפולינום השני שרשמת --ארז שיינר

5.4 עמוד 74

אני ממש מבולבל מהתרגיל הזה...

עקרונית ההוכחה מאוד פשוטה. אבל: כתוב לפני כן שהעתקת התמורה עובדת כך: [math]\displaystyle{ \sigma (ei) = e \sigma (i) }[/math] (הכוונה לווקטורי יחידה) עכשיו נשים אותם בעמודות של מטריצה ונקבל את [math]\displaystyle{ [T\sigma] }[/math] וזה אומר ש [math]\displaystyle{ Ri([T\sigma]) = e \sigma^{-1} (i) }[/math].

בשאלה דרשו את הדטרמיננטה של המטר' הנ"ל. לכן אם נעבוד לפי ההגדרה: [math]\displaystyle{ \det{A} = \sum_{\sigma \in S_{n}}\left ( sign {\sigma} \cdot \prod_{i=1}^{n}[A]_{i \sigma (i)} \right ) }[/math]

נקבל סה"כ שהדבר הזה שווה ל [math]\displaystyle{ sign {\sigma^{-1}} }[/math]. אבל אחר כך בסעיף ד' רוצים שאני אוכיח בדיוק את הזהות: [math]\displaystyle{ sign {\sigma^{-1}}=sign{\sigma} }[/math] וזו תהיה הוכחה מעגלית.

קשה לי להאמין שיש בעיה כזו בספר... אני בטוח שאיפשהו התבלבלתי עם הפרמוטציות ההופכיות האלו. אשמח לדעת איפה :)

שים לב ש-T מעבירה את העמודה ה-i לעמודה ה-[math]\displaystyle{ \sigma ^{-1} (i) }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ a_{i,\sigma^{-1}(i)}=1 }[/math] ואפס אחרת), ולכן את השורה ה-j לשורה ה-[math]\displaystyle{ \sigma (j) }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ a_{\sigma(j),j}=1 }[/math] ואפס אחרת),ולכן פעולות השורה מוגדרות ע"י [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ולא ההופכית לה. (עדי)

אבל בספר כתוב ש: [math]\displaystyle{ T_{\sigma}\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right ) = \left ( x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},...,x_{\sigma^{-1}(n)} \right ) }[/math] ולכן אם נפעיל את ההעתקה על ei נקבל 1 במקום שסיגמא שולחת את i. ולכן נקבל שבעמודה i יהיה [math]\displaystyle{ e\sigma(i) }[/math]

בספר (של בועז צבאן) בעמוד 67 כתוב ש: "(במילים: סקלר שנמצא במקום i בוקטור עובר למקום [math]\displaystyle{ \sigma(i) }[/math])", זו הגדרה שגוייה? אם כן, אשמח למקור בו ההגדרה כתובה נכון.

סליחה, מנסחת מחדש: [math]\displaystyle{ T(e_i)= e_{\sigma (i)} }[/math] אבל [math]\displaystyle{ e_i }[/math] עצמו יופיע בעמודה ה- [math]\displaystyle{ \sigma ^{-1} (i) }[/math] במטריצה המייצגת. כלומר, (בהסבר המקורי) לא אמרתי שT שולחת את [math]\displaystyle{ e_i }[/math] ל [math]\displaystyle{ e_{\sigma^{-1} (i)} }[/math] אלא לעמודה ה-[math]\displaystyle{ \sigma^{-1} (i) }[/math], כי בעמודה ה-i יופיע [math]\displaystyle{ T(e_i)= e_{\sigma (i)} }[/math] אבל בעמודה ה-[math]\displaystyle{ \sigma^{-1} (i) }[/math] יופיע [math]\displaystyle{ T(e_{\sigma^{-1} (i)})= e_{\sigma (\sigma^{-1} (i))}=e_i }[/math].

סתם כדי להשתכנע, תן לזה נסיון למשל עם [math]\displaystyle{ \sigma(1)=2,\sigma(2)=3,\sigma(3)=1 }[/math] ב [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] והכל יסתדר לך.(עדי)

כן, ככה הוכחתי. אבל אז הגעתי לזה שהדטרמיננטה שווה ל [math]\displaystyle{ sign(\sigma^{-1}) }[/math] וזה באמת שווה למה שצריך. אבל בסעיף ד' רוצים שאני אוכיח בדיוק את הזהות הזו.

למעשה כמעט כל מה שלמדנו על דטרמיננטות מסתמך על הזהות הבסיסית הזו. מקסימום כל מה שאנחנו יכולים לעשות בתרגיל הזה, זה להוכיח שהטענה בסעיף א' שקולה לטענה בסעיף ד'.

לא נכון. המטריצה המתקבלת, כפי שמתואר בהסבר הראשון, היא [math]\displaystyle{ a_{\sigma(j),j}=1 }[/math] ואפס אחרת, שהיא נקבעת ע"י פעולות אלמנטריות של החלפת שורות הנקבעות לפי החילופים ב-[math]\displaystyle{ \sigma }[/math] לא [math]\displaystyle{ \sigma^{-1} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (-1)^k }[/math] נקבע לפי מספר החילופים ב-[math]\displaystyle{ \sigma }[/math] לא [math]\displaystyle{ \sigma^{-1} }[/math]. (עדי)

רגע, מה בדיוק האלגוריתם לפיו מחליפים שורות כך שנחליף בדיוק כמספר חילופי הסדר ב [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ולמה לפי האלגוריתם הזה נקבל בסוף את מטריצת היחידה (I)?

אני פתחתי בדיוק לפי הנוסחא [math]\displaystyle{ \det{A} = \sum_{\tau \in S_{n}}\left ( sign {\tau} \cdot \prod_{i=1}^{n}[A]_{i \tau(i)} \right ) }[/math] שתיתן 0 בכל מקרה בו [math]\displaystyle{ \tau \neq \sigma^{-1} }[/math] ובמקרה ש [math]\displaystyle{ \tau = \sigma^{-1} }[/math] נקבל את הסימן של [math]\displaystyle{ \tau }[/math] וזה בדיוק הסימן של [math]\displaystyle{ \sigma^{-1} }[/math]

זה נכון שהתמורה היחידה שאיננה אפסית במטריצה יושבת על המסלול [math]\displaystyle{ a_{1,\sigma^{-1}(1)}\cdots a_{n,\sigma^{-1}(n)} }[/math] אבל אתה בכלל לא מגיע לשם ולשימוש בנוסחה, הרי אתה בעצמך אמרת ש [math]\displaystyle{ T(e_i)= e_{\sigma (i)} }[/math] ולכן זה ממש מידי:

[math]\displaystyle{ [T(e_1)\cdots T(e_n)]=(e_{\sigma(1)}\cdots e_{\sigma(n)})=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1}=1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} }[/math]

(ברור שאתה יכול להמשיך עוד שלב ולומר שזה שווה ל-

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1,\sigma^{-1}(1)}=1 & \cdots & a_{n,\sigma^{-1}(n)}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} }[/math]

אבל לא ביקשו את זה מאיתנו)

הסימן של סיגמא נובע (וזה עונה על שאלתך על הקשר בין המטריצות האלמנטריות לחילופים) מהעובדה שהמטריצה שקיבלנו [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1}=1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} }[/math] היא מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות של חילופי שורות, כאשר כל חילוף שורות מתאים לחילוף בפירוק של סיגמא לחילופים, ולכן הדטרמיננטה של [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1}=1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} }[/math] היא מכפלת הדטרמיננטות של מטריצות אלמטריות אלו, כל אחת שווה מינוס אחת, ויש כאלו כמספר החילופים בסיגמא.

(עדי)

תודה :) אז בעצם הגענו לזה ש [math]\displaystyle{ sign(\sigma)=sign(\sigma^{-1}) }[/math] בלי שאר הסעיפים בחוברת :)

כמובן. אפשר להוכיח את המשוואה הזו לפחות ב-5 דרכים שונות. העובדה שרשום "על סמך סעיף ג..." אומרת שהפעם הוא מעוניין שתגיע אליה בדרך מסויימת זו. (עדי)

שאלה

איך עושים פיתוח לפי שורה\עמודה?

[math]\displaystyle{ \Sigma_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}| }[/math] (עדי)

אפשר רמז ל7.1 א בתרגיל 11?

תודה

פתח לפי עמודה ראשונה. המינורים אלכסוניים. (עדי)

דטרמיננטה למטריצה לא ריבועית

לא הבנתי איך עושים דטרמיננטה למטריצה לא ריבועית אשמח להסבר.

לא עושים (עדי)

זה לא מוגדר (אין דבר כזה דטרמיננטה למטר' לא ריבועית

 אפשר לעשות עם בלוקים

איך אני עושה ע"י בלוקים? לקחת ריבועית בפינה השמאלית למעלה, ובימנית למטה, ונראה לי שצריך גם שאחת מהבלוקים הלא ריבועיים יהיו אפס.

זה פשוט לא מוגדר! (גם אם תסתכל על זה כמטריצת בלוקים וגם אם לא)

תגידו מטריצת המעבר מE לE היא I לא?

תודה לעוזרים

זה רק אם ההעתקה היא העתקת הזהות. (כן, למטריצת מעבר זה נכון)

באופן כללי אם העתקה מעבירה מבסיס [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ B_2 }[/math] אז מטריצת המעבר [math]\displaystyle{ [T]_{B_2}^{B_1} }[/math] היא הזהות. (עדי)

מטריצת סיבוב

בשאלה 2 בלינארית ליום ראשון,מה זה?

בדיוק מה שמתואר בשאלה, כל שורה היא "סיבוב" במקום אחד לעומת קודמתה.(עדי)

בשאלה 8.2 ליום שלישי הגעתי

לכך שהדט הוא 1-בחזקת גודל הבסיס אבל אני לא יודע להמשיך הלאה אז אם אפשר לתת כיוון כלשהו?תודה

ראה "תרגיל 11 שאלה 8.2 " כמה התכתבויות למעלה. (עדי) תודה הבנתי

תמורות

לא בדיוק הבנתי איך עושים הרכבת תמורות. אפשר הסבר ודוגמא? תודה.

תמורה זו פונקציה (חח"ע ועל מקבוצה סופית לקבוצה סופית). אז אם אנחנו יודעים לעשות הרכבת פונקציות, אז תמורות לא יהיה בעיה.

כן, אבל איך מרכיבים שני מחזורים? ההסבר לא כ"כ מובן.

לא משנה. הסתכלתי בדוגמא במערכי התרגול והבנתי.

טעות בקובץ תרגול 11-12

בקובץ של תרגול 11-12 נפלה טעות בחישוב שטח המקבילית (התוצאה הסופית נכונה אך החישוב הראשוני שגוי )

מה הטעות? יכול להיות שיש לך גירסה ישנה? כי 11 ו-12 פוצלו ממזמן. (עדי)

הכוונה לתרגול 11 (בראש העמוד כתוב 11-12 ) הטעות היא בחישוב שטח המקבילית בביטוי הראשון ..

לא מצאתי בעיה. מה הטעות שמצאת? ע"מ שאתקנה לטובת כולם. (עדי)

אפשר להוסיף את הטופס של הבוחן בלינארית לאתר?

כן

שאלה 2.16 תרגיל 10

לא הבנתי איך אני משתמש בהוכחה בכך שN אי זוגי?

ע"מ לקבוע כמה פעמים מינוס אחד יצא מחוץ לדטרמיננטה (עדי)

שאלה

הדטרמיננטה של ה"ל היא הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת?

כן. ללא תלות בבסיס הנבחר. (עדי)

מטריצות דומות

מה זה ואיך אני מוכיח שזה מתקיים?

נאמר שA דומה לB (ונסמן [math]\displaystyle{ A \approx B }[/math]) אם קיימת מטריצה הפיכה P כך ש [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math].

מדוע רלוונטי לך להוכיח דמיון מטריצות?

(עדי)

תרגיל 10 שאלה 2 ודירוג מטריצות

בתרגיל 10 שאלה 2 בהנחה שאני רוצה לדרג את המטריצה למשולשית ואז למצוא את הדטרמיננטה - מה השיטה לדרג מטריצה מעל שדה סופי עם פרמטרים שאני לא יודע אם הם שווים או שונים זה לזה? שניסיתי לחשב דטרמיננטה לפי מינורים יצא לי ביטוי ממעלה שלישית הבנתי שמספר בחזקת 3 תחת Z3 נשאר עצמו אבל לא הבנת איך אני מגיע לפישוט של זה יצא לי [math]\displaystyle{ a^{3}-abc+b^{2}a -c^{2}b+b^{2}c-c^{2}a }[/math] ואני צריך שזה יגיע לa+b+c

יש לך טעות בחישוב, תנסה שוב, לפי מינורים. (עדי)

שכחתי את ה(-) עכשיו יצא לי [math]\displaystyle{ a^{3}-abc-b^{2}a +c^{2}b+b^{2}c-c^{2}a }[/math] אני עדיין לא הבנתי איך אני מגיע לזה שזה שווה לa+b+c תודה

עדיין יש טעות, אולי לא העתקת את המטריצה נכון. (עדי)

תשתמש משפט פרמה הקטן

הבעיה שלו היא לא השימוש במשפט פרמה כי הוא בכלל לו מגיע לביטוי התקין(עדי)

בדקתי את עצמי כמה פעמים ועוד לא הבנתי איפה יש פה טעות אבל גם אם אני משתמש במשפט פרמה הקטן מה לעשות עם הביטוי abc?

[math]\displaystyle{ det\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}=a\cdot det\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}-b\cdot det\begin{pmatrix} c & b \\ b & a \end{pmatrix}+c\cdot det\begin{pmatrix} c & a \\ b & c \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =a(a^2-bc)-b(ca-b^2)+c(c^2-ba) }[/math]

פתיחת הסוגריים לא נותנת את מה שרשמת. (עדי)

תודה רבה הבנתי מה הטעות שלי עשיתי בדטרמיננטה במקום Mij חישבתי Mji ולכן הסתבכתי דרך אגב האם יש שיטה לדרג את המטריצה הזאת מעל אותו שדה?

לא כזו שלדעתי תקל על החישוב. במקרה של מט' סיבוב nxn ניתן לחשב באופן אינדוקטיבי. (עדי)

שאלה

אם אני מחשב דט' והחלטתי שאני רוצה לצמצם שורה כלשהי פי 2 , כפלתי את השורה ב0.5 אז את הדט' אני כופל ב0.5 או "מתקן" וכופל בהופכי ?

אתה מוציא שתיים מהשורה אל מחוץ לדטרמיננטה. התכונה אומרת [math]\displaystyle{ |E_{\alpha\cdot i}A|=\alpha|A| }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ E_{\alpha\cdot i} }[/math] אומרת ששורה [math]\displaystyle{ i }[/math] מוכפלת באלפא. (עדי)

ואם אני מוציא חצי אל מחוץ לדט' ?

שים לב מה אומרת התכונה,אם נוציא אלפא(למשל = 0.5) מחוץ לדטרמיננטה אז זה אומר שהיא יצאה מאחת השורות-i, כלומר השורה i תקטן פי אלפא(=0.5), או תגדל פי ההופכי, זה אותו הדבר. (זה כמו להוציא 0.5 מחוץ לסוגריים בחוק הפילוג: [math]\displaystyle{ 7+3=0.5(14+6) }[/math]...)

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ -2=det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=det(E_{2\cdot row 2}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1.5 & 2 \end{pmatrix})=2det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1.5 & 2 \end{pmatrix}=2\cdot (-1) }[/math]

או

[math]\displaystyle{ -2=det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=det(E_{0.5\cdot row 2}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}=0.5det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}=0.5\cdot (-4) }[/math]

(עדי)

אז לפי זה, אם לדוגמה [math]\displaystyle{ det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 4 \\ 3 & 3 & 9 \end{pmatrix} = 3det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} }[/math] למרות שאת שורה 3 חילקתי ב3 ?

נכון. זה לא למרות זה בגלל, הרי אם תפתח לפי שורה שלישית תוכל להוציא 3 מחוץ לסוגריים, ולקבל 3 כפול פיתוח לפי השורה שלישית החדשה שקיבלת. זה בדיוק נובע מחוק הפילוג והעובדה שבכל מונום של הדטרמיננטה, בין אם בפיתוח לפי מינורים ובין אם לפי תמורות, יהיה איבר בודד מכל שורה ועמודה, לכן אם יש שורה/עמודה שהם כפולה של אותו סקלר אז לפי חוק הפילוג ניתן להוציאו מחוץ לסוגריים, או במקרה שלנו מחוץ לחישוב הדטרמיננטה. (עדי)

הערה

בתרגיל 2.7 בעבודה מספר 10 , מדברים על ריבוע שחוסם את המשולש , טכנית זה שגוי להגיד את זה כי ברגע שאומרים שהריבוע חוסם זה גורר ש X1=Y2. במקרה שלנו מדובר על מלבן כללי .

נכון. (עדי)

שאלה כללית

מותר לי להשתמש בשאלות באלגברה ליניארית בעיקרון שובך היונים? כי את שאלה 1.1 מתרגיל 10 אפשר לפתור נורא בקלות ככה.

בכיף. (עדי)

למדנו את זה בבדידה :) (גם אם לא קראנו לזה ככה)

ההוכחת משפט במבחן

האם במבחן נוכל להוכיח משפט על ידי כל שאר המשפטים האחרים שלמדנו גם כאלו שיותר מתקדמים בחומר וייתכן בעקיפין שנשענים על המשפט שצריך להוכיח??

באופן כללי-לא, לא משתמשים במשפט מתקדם להוכחת משפט קודם "כרונולוגית". היה ותיתקל בזמן מבחן במקרה גבולי התייעץ עם המרצה. (עדי)

Zp

אפשר בבקשה הוכחה של חוק הקיבוץ וחוק הפילוג בשדה Zp? (האמת היא שכבר שאלתי זאת אבל עדיין לא הבנתי) תודה מראש

זה טמון בעובדה ש

[math]\displaystyle{ (a\cdot b) mod n=a mod n\cdot b mod n, (a+ b) mod n=a mod n+ b mod n }[/math]

זה גם החלק שבו בד"כ מאבדים אותנו אחרי הכרות ראשונית עם פעולות mod n . שים לב שהפעולות שלך הן מודולו n, לא יתכן שתקבל תוצאות מחוץ ל [math]\displaystyle{ 0,1,...,n-1 }[/math] כי כל ה"התעסקות" שלך היא בתוך [math]\displaystyle{ Z_n }[/math]. האמירה פה בעצם היא שהפעולות מוגדרות היטב מעל [math]\displaystyle{ Z_n }[/math], כלומר, שתגיע לאותה מחלקת שקילות בין אם תחבר ותבדוק את המחלקה ובין אם תבדוק את המחלקות ואז תחבר (ושוב תבדוק את המחלקה). ולכן, חוק הקיבוץ ממש מידי ו-

[math]\displaystyle{ a(b+c)mod (n)=(ab+ac) mod (n)=ab( mod n)+ac( mod n) }[/math]

[math]\displaystyle{ =a(modn)b(modn)+a(modn)c(modn) }[/math]

(עדי)

תודה רבה !!

בסוף הפעולות שכתבת יש mond n נוסף נכון ? כלומר לדוגמה : [math]\displaystyle{ (a\cdot b) mod n=(a mod n\cdot b mod n) mod n }[/math]

כן--ארז שיינר

מערך תרגול 2

ב1.1.1.2, שזה סעיף ד', מצאתי תשובה בעצמי. אבל לא הבנתי את הפתרון שאתם נתתם...

למערכת הלא הומוגנית לא יהיה פתרון כי השורה השלישית ב[math]\displaystyle{ Ax=b }[/math] מייצגת את המשוואה [math]\displaystyle{ 0\cdot x_1+0\cdot x_2=1 }[/math] שמהווה סתירה. ואילו למערכת ההומוגנית יהיה פתרון יחיד מכיוון ש[math]\displaystyle{ Ax=b }[/math] מייצגת מערכת של שני נעלמים בלבד, ונקבל [math]\displaystyle{ x_1=x_2=0 }[/math] והשורה השלישית היא פשוט "אקסטרה" שאיננו מהווה סתירה [math]\displaystyle{ 0\cdot x_1+0\cdot x_2=0 }[/math].(עדי)

חוץ מזה לא הבנתי את הכפל שורה-שורה ועמודה-עמודה לגבי שתי מטריצות. (כששתיהן עם מס' שורות ועמודות גדול מ-0)

שים לב שאם [math]\displaystyle{ R_i }[/math] הם שורות המטריצה A אז בשל הגדרת מכפל מטריצות:

[math]\displaystyle{ (a_1,...,a_n)\begin{pmatrix} -R_1- \\  -R_2- \\ \vdots \\ -R_n\end{pmatrix} }[/math]

יתן את וקטור השורה [math]\displaystyle{ \Sigma_{i=1}^na_iR_i }[/math]

(כי כל [math]\displaystyle{ a_i }[/math] יוכפל במהלך החישוב בכל השורה [math]\displaystyle{ R_i }[/math]). 

ולכן אם נגדיר [math]\displaystyle{ B=(a_{ij}) }[/math]

אז נקבל [math]\displaystyle{ BA=(a_{ij})\begin{pmatrix} -R_1- \\ -R_2- \\ \vdots \\ -R_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a_{1j}- \\ -a_{2j}- \\ \vdots \\ -a_{nj}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -R_1- \\ -R_2- \\ \vdots \\ -R_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\Sigma_{j=1}^na_{1j}R_j- \\ -\Sigma_{j=1}^na_{2j}R_j- \\ \vdots \\ -\Sigma_{j=1}^na_{nj}R_j-\end{pmatrix} }[/math]

(ובהתאמה לכפל מטריצה בעמודה מימין)

(עדי)

תודה