הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא"
(יצירת דף עם התוכן "=שאלה 1= משפט ההגדרה =שאלה 2= התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניס...") |
(←סעיף א) |
||
(8 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
=שאלה 2= | =שאלה 2= | ||
התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]] | התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]] | ||
+ | =שאלה 3= | ||
+ | הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2 | ||
+ | ==סעיף א== | ||
+ | נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות. | ||
+ | |||
+ | <math>v=w_1+w_2</math>, נפעיל את T על שני האגפים לקבל | ||
+ | |||
+ | :<math>Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2</math> | ||
+ | |||
+ | אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן: | ||
+ | |||
+ | :<math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים | ||
+ | |||
+ | :<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math> | ||
+ | |||
+ | ==סעיף ב== | ||
+ | נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>V_1+V_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>V_1\oplus V_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל. | ||
+ | |||
+ | אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל. | ||
+ | |||
+ | =שאלה 4= | ||
+ | ==סעיף א== | ||
+ | הפרכה: | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math> | ||
+ | ==סעיף ב== | ||
+ | נניח כי <math>AA^t=0</math>. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2#תרגיל 5.11|מערך תרגול 2]] כי A=0. כעת, נניח כי <math>BAA^t=0</math> נכפול במשוחלפת של B ונקבל <math>0=BAA^tB^t=BA(BA)^t</math> ואז שוב BA=0 | ||
+ | ==סעיף ג== | ||
+ | הוכחה: | ||
+ | |||
+ | נובע ממשפט המימדים כי <math>dimV_1+dimV_2\geq 2n+1</math> לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי <math>dimV_1\geq n+1</math>. באופן דומה <math>dimV_1\geq n+1</math> ומכיוון ש <math>V_1+U_1\subseteq V</math> מתקיים לפי משפט המימדים כי <math>dim (V_1\cap U_1)>0</math>. | ||
+ | |||
+ | מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס. |
גרסה אחרונה מ־15:59, 19 בספטמבר 2011
תוכן עניינים
שאלה 1
שאלה 2
התרגיל בסוף מערך תרגול 7
שאלה 3
הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2
סעיף א
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
, נפעיל את T על שני האגפים לקבל
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
אם כן, לכל נגדיר . קל לוודא שאכן מתקיים
סעיף ב
נגדיר . נובע בקלות מסעיף א כי . אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי . אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
שאלה 4
סעיף א
הפרכה:
סעיף ב
נניח כי . נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי נכפול במשוחלפת של B ונקבל ואז שוב BA=0
סעיף ג
הוכחה:
נובע ממשפט המימדים כי לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי . באופן דומה ומכיוון ש מתקיים לפי משפט המימדים כי .
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.