88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי

חזרה לסדרות

סדרות קושי

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול [math]\displaystyle{ L }[/math] . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.

נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאברי הסדרה יתקרבו זה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

הגדרה.

סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת סדרת קושי אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt N_\varepsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n|\lt \varepsilon }[/math]

במילים, אם לכל מרחק [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין כל שני אברים שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.

משפט.

מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

תרגיל.

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|\lt \dfrac1{2^n} }[/math] . הוכח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון

נוכיח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

לפי הנתון

[math]\displaystyle{ \begin{align} |a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\ &\lt \dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\ &=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0 \end{align} }[/math]

תרגיל.

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}| }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt 1 }[/math] . הוכח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון

נוכיח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1| }[/math] .

נסמן [math]\displaystyle{ d=|a_2-a_1| }[/math] ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d }[/math]

כעת,

[math]\displaystyle{ \begin{align} |a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\ &\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0 \end{align} }[/math]

(לפי מה שהראינו)

מכיון ש- [math]\displaystyle{ p^n\to0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ p\lt 1 }[/math] .

תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת.

הוכחה

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] . צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

[math]\displaystyle{ \begin{align} |a_m-a_n|&=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &\le|a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\ &=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align} }[/math]

נעזרנו בנוסחא [math]\displaystyle{ \dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k }[/math]

וכרגיל, עבור [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\gt \dfrac1{\varepsilon} }[/math] אנו מקבלים את מה שצריך לכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt N_\varepsilon }[/math]

תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\dfrac1{n+1} }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty }[/math] (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

הוכחה

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\dfrac1{n+1}\gt 0 }[/math] .

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח [math]\displaystyle{ \varepsilon=\tfrac12 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ N\in\N }[/math] מקום כלשהו בסדרה, ויהי [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] . ניקח [math]\displaystyle{ m=2n }[/math] . מתקיים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}|a_{2n}-a_n|&=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big|\\ &=\frac1{2n}+\cdots+\frac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac12\end{align} }[/math]

ולכן מתקיימת שלילת ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.