88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(8 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:


==גבול של סדרה==
==גבול של סדרה==
===ההגדרה המדוייקת של סדרה===
<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.'''
</font>
בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדוייקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הינה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הינה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.


באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר השני וכן הלאה.
<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>
 
 
===ההגדרה המדויקת של סדרה===
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.
 
באופן טבעי התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האבר השני וכן הלאה.


===גבול של סדרה===
===גבול של סדרה===
תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,...</math>, (כך ש <math>a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R}</math>).  
תהי סדרת מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,\ldots</math> , כך ש- <math>a_1,a_2,a_3,\ldots\in\R</math> .


לדוגמא:  
לדוגמא:  


<math>\{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...</math>
<math>\bigg\{\frac1{2^n}\bigg\}_1^\infty=\frac12,\frac14,\frac18,\ldots</math>


גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,...</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:
גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: <math>0,1,0,1,0,\ldots</math> (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדויק:


====הגדרת הגבול====
====הגדרת הגבול====
<font size=4 color=#3c498e>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
'''הגדרה.'''  
תהי <math>a_n</math> סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\R</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
</font>
תהי <math>a_n</math> סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>.


 
במקרה זה מסמנים <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> .
במקרה זה מסמנים <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L</math>


====הסבר ההגדרה====
====הסבר ההגדרה====
נתרגם את זה למילים. למדנו כי <math>\varepsilon>0</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_\varepsilon\in\N</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:


נתרגם את זה למילים. למדנו ש<math>\epsilon>0</math> מודד '''אורך''', מספר טבעי <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> מסמל '''מקום בסדרה''', וערך מוחלט של הפרש מודד '''מרחק''' בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:
נקודה <math>L</math> על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math>  


אם '''לכל''' אורך <math>(\varepsilon>0)</math> [סיר]


נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה <math>a_n</math>  
'''קיים''' מקום בסדרה <math>(N_\varepsilon\in\N)</math> [מכסה]


אם '''לכל''' אורך (<math>\epsilon>0</math>) [סיר]
כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_\varepsilon</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה והנקודה <math>L</math> קטן מהאורך <math>\varepsilon</math> <math>(|a_n-L|<\varepsilon)</math> [מתאים לו]
 
'''קיים''' מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math>) [מכסה]
 
כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך <math>\epsilon</math> (<math>|a_n-L|<\epsilon</math>) [מתאים לו]


===דוגמאות===
===דוגמאות===
<font size=4 color=#a7adcd>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{n}</math>
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n}</math>


'''פתרון.''' מהתבוננות באיברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הינו 1. נוכיח זאת.
'''פתרון.''' מהתבוננות באברים הראשונים של הסדרה אנו '''מנחשים''' שגבול הסדרה הנו 1. נוכיח זאת.


'''יהי אפסילון גדול מאפס'''. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים תכופות. מכיוון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' אפסילון, אם נוכיח אותה לאפסילון מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)
'''יהי''' <math>\varepsilon>0</math> . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים '''לכל''' <math>\varepsilon</math> , אם נוכיח אותה ל- <math>\varepsilon</math> מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)


כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילון. כלומר:
כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> . כלומר:


::<math>|\frac{n-1}{n}-1|<\epsilon</math>
:<math>\left|\dfrac{n-1}{n}-1\right|<\varepsilon</math>


נפתח את הביטוי.
נפתח את הביטוי.


::<math>|\frac{n-1}{n}-1|=|\frac{-1}{n}|=\frac{1}{n}</math>
:<math>\left|\dfrac{n-1}{n}-1\right|=\left|-\frac1n\right|=\frac1n</math>


כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\frac{1}{n}<\epsilon</math>, זה נכון אם"ם <math>n>\frac{1}{\epsilon}</math>
כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים <math>\dfrac1n<\varepsilon</math> . זה נכון אם"ם <math>n>\dfrac1{\varepsilon}</math> .


נבחר, אפוא, <math>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>n>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>


נבחר, אפוא, <math>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}</math> כלשהו (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי אפסילון כפי שרצינו.


<font size=4 color=#a7adcd>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\dfrac13</math>
</font>
הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: <math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac{1}{3}</math>




<font size=4 color=#a7adcd>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n}</math>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n}</math>


ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד. כעת, יהי אפסילון כלשהו, נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילון. כלומר, <math>|a_n-1|<\epsilon</math>.
ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות 1. כעת, יהי <math>\varepsilon>0</math> , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי <math>\varepsilon</math> , כלומר <math>|a_n-1|<\varepsilon</math> .


זה שקול ל- <math>-\epsilon<a_n-1<\epsilon</math>  
זה שקול ל- <math>-\varepsilon<a_n-1<\varepsilon</math>  


זה שקול ל- <math>1-\epsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math>
זה שקול ל- <math>1-\varepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon</math>


כיוון ש <math>n\geq 1</math> הצד השמאלי טריוויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math>
כיון ש- <math>n\ge1</math> הצד השמאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\varepsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon</math>


כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\varepsilon)^n</math>


כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\epsilon)^n</math>
נביט בביטוי <math>(1+\varepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon)</math> . נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל <math>\varepsilon</math> כפול <math>\varepsilon</math> כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין <math>n</math> אברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> . בסה"כ אנו מקבלים:


נביט בביטוי <math>(1+\epsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\frac{n(n-1)}{2}</math>. בסה"כ אנו מקבלים:
:<math>(1+\varepsilon)^n=\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K</math>


::<math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2+K</math>  
(כאשר <math>K</math> הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)


(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)
אם כך, <math>\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> . לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2<(1+\varepsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.


:<math>\begin{align}
n<\frac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2\\1<\frac{n-1}{2}\varepsilon^2\\n-1>\dfrac{2}{\varepsilon^2}\\n>1+\frac{2}{\varepsilon^2}
\end{align}</math>


אם כך, <math>\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.
ומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסוים בסדרה אי-השוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.


::<math>n<\frac{n(n-1)}{2}\epsilon^2</math>
אם כן, הוכחנו כי <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .


::<math>1<\frac{n-1}{2}\epsilon^2</math>
<math>\blacksquare</math>


::<math>n-1>\frac{2}{\epsilon^2}</math>
==שלילת גבול==
:<math>L</math> '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> .


::<math>n>\frac{2}{\epsilon^2}+1</math>


וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול.


אם כן, הוכחנו כי
נניח בשלילה שקיים גבול <math>L</math> כלשהו. נניח עוד כי <math>L</math> אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).


:::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1</math>
ניקח <math>\varepsilon=1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' <math>\varepsilon</math>). כעת, יהי <math>N\in\N</math> וניקח <math>n</math> אי-זוגי גדול ממנו.


==שלילת גבול==
במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי <math>L</math> אינו שלילי.)
'''שלילת הגבול.'''
 
:L '''אינו''' גבול של סדרה אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|\geq\epsilon</math>
 
 
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
הוכח שלסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> לא קיים גבול


נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח <math>\epsilon = 1</math> (הרי צריך להוכיח כי '''קיים''' אפסילון). כעת, יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה <math>|a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1=\epsilon</math> כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)
<math>\blacksquare</math>


==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==
==אריתמטיקה (חשבון) של גבולות==
'''משפט.''' תהי <math>a_n\rightarrow L</math> (סדרה השואפת לגבול L) ותהי <math>b_n\rightarrow K</math> אזי:
;משפט
*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=L+K</math>
תהיינה <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B</math> . אזי:
*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B</math>
*אם <math>K\neq 0</math> אזי <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{K}</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>
*אם <math>B\ne0</math> אזי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\frac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math>.


'''פתרון'''.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4}</math> .


נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math>. נקבל <math>a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math>. חזקות שליליות של n שואפות לאפס ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- <math>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math>.
;פתרון
נחלק את המונה ואת המכנה ב- <math>n^7</math> ונקבל <math>a_n=\dfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}}</math> . חזקות שליליות של <math>n</math> שואפות ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה <math>\frac36=\frac12</math> .




<font size=4 color=#a7adcd>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
</font>


נניח <math>a_n\rightarrow 0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n:=a_n\cdot b_n</math>?
נניח <math>a_n\to0</math> ולסדרה <math>b_n</math> אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה <math>c_n=a_n\cdot b_n</math> ?


תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:
תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:
*<math>a_n=\dfrac1n,b_n=(-1)^n</math> אזי
:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>


*<math>a_n=\frac{1}{n},b_n=(-1)^n</math> אזי  
*<math>a_n=\frac1n,b_n=n</math> אזי
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>
:<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>


*<math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n</math> אזי  
*<math>a_n=\dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n}=1</math>
:<math>\displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\Big[(-1)^n+1\Big]</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)


*<math>a_n=\frac{1}{n},b_n=n^2((-1)^n+1)</math> אזי
::<math>\not\exists\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\lim_{n\rightarrow\infty}((-1)^n+1)</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)


<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל חשוב מאד.'''</font>


תהי סדרה <math>a_n\to0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים <math>M</math> כך שלכל מקום בסדרה <math>n</math> מתקיים <math>|b_n|<M</math> . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).


<font size=4 color=#a7adcd>
הוכח: <math>\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=0</math>
'''תרגיל חשוב מאד.'''
</font>
תהי סדרה <math>a_n\rightarrow 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n מתקיים <math>|b_n|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).


:הוכח: <math>a_nb_n\rightarrow 0</math>
;הוכחה
יהי <math>\varepsilon>0</math> , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>\Big|a_n\cdot b_n-0\Big|<\varepsilon</math> .


'''הוכחה.'''
:<math>|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n|</math> . מכיון שידוע כי הסדרה <math>a_n\to0</math> , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\dfrac{\varepsilon}{M}</math> (כיון ש- <math>\dfrac{\varepsilon}{M}</math> הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).
יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_nb_n-0|<\epsilon</math>


:<math>|a_nb_n|=|a_n|\cdot |b_n|\leq M\cdot |a_n|</math>. מכיוון שידוע כי הסדרה <math>a_n</math> שואפת לאפס, יש מקום מסויים שהחל ממנו והלאה מתקיים <math>|a_n|<\frac{\epsilon}{M}</math> (כיוון ש<math>\frac{\epsilon}{M}</math> הינו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).
לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>


לכן, מאותו מקום מתקיים <math>|a_nb_n|<M\frac{\epsilon}{M}=\epsilon</math> כפי שרצינו.
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.'''
</font>
<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin(n)}{\ln(n)}=0</math>


<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
מצא את הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]</math>


;פתרון
<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align}</math>


<font size=4 color=#a7adcd>
==אי-שוויון הממוצעים==
'''תרגיל.'''
כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):
</font>
מצא את הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}-n</math>


לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,\ldots,x_n</math> מתקיים:


'''פתרון.'''
<math>\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}\le\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}</math>
 
הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".


<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}-n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=
'''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0


</math>
אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L</math> .


==אי שוויון הממוצעים==
כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):


לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,...,x_n</math> מתקיים:
;משפט
תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה
<math>\big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .


<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}\leq \sqrt[n]{x_1x_2....x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}</math>
;הוכחה
נגדיר סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> על-ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math> . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:


הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".
<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> .


'''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!
ברור כי


אם  <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math>  היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:
<math>\displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}=L</math>.


ולכן קיבלנו כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> . <math>\blacksquare</math>


'''משפט'''


תהי <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\{\sqrt[n]{a_n} \}^\infty_{n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.
כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1</math> .


'''הוכחה'''
;הוכחה:
אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:


נגדיר סדרה <math>\{b_m\}^{\infty}_{n=1}</math> על ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על פי הטענה הקודמת מתקיים:
<math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1</math> . <math>\blacksquare</math>


<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{b_1b_2...b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} b_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.


ברור כי
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
תהי סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\to a</math> .


<math>b_1b_2...b_n=\frac{a_1}{1} \frac{a_2}{a_1}...\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>
א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\le1</math> .
;פתרון
אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0</math> נקבל <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math> .


ולכן קיבלנו כי <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math>. מש"ל.
אחרת, <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> . מאי-שוויון המשולש נקבל <math>\forall n>N_\varepsilon:\Bigg|\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|<\varepsilon</math> .


נובע כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>(|L|-\varepsilon)|x_n|</math> .


כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1</math>.
נניח כעת בשלילה כי <math>|L|>1</math> , ניקח <math>\varepsilon=|L|-1</math> ונקבל כי <math>\forall n>N_\varepsilon:|x_{n+1}|>|x_n|</math>


'''הוכחה'''
בסתירה לכך ש- <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math> . <math>\blacksquare</math>


אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:


<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n-1}=1</math>. מש"ל.
ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.


==חוק הסנדביץ'==
;פתרון
הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור בינהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\leq b_n\leq c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim a_n=\lim c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim b_n = L</math>
נתבונן בסדרה <math>x_n=\begin{cases}\dfrac1n&n\text{ odd}\\0&n\text{ even}\end{cases}</math>


ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.


<font size=4 color=#a7adcd>
==חוק הסנדוויץ'==
'''דוגמא.'''
הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math> אזי בהכרח <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math> .
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}</math>




'''פתרון.'''
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font>
מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^\frac1n</math>


::<math>3^n\leq 2^n+3^n\leq 3^n+3^n = 2\cdot 3^n</math>
;פתרון
:<math>3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n</math>


לכן,
לכן,
:<math>3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3</math>
כיון שמתקיים
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1</math>


::<math>3=(3^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2^n+3^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2\cdot 3^n)^\frac{1}{n}=2^\frac{1}{n}\cdot 3</math>


כיוון שמתקיים
סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3 .
 
::<math>\lim 2^\frac{1}{n}=1</math>
 
 
סה"כ שני צידי אי השיוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדביץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3.


==התכנסות במובן הרחב==
==התכנסות במובן הרחב==
דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסויים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסויים.


<font size=4 color=#3c498e>
<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>
'''הגדרה.'''
</font>
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\mathbb{N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math>


הערה: שימו לב ש-M בדומה לאפסילון מודד מרחק, אך מכיוון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות M ולא באות אפסילון. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.


ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאם.
דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.


<font size=4 color=#a7adcd>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
'''תרגיל.'''  
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math> .
</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n!}</math>


'''פתרון.''' נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
הערה: שימו לב כי <math>M</math> בדומה ל- <math>\varepsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\varepsilon</math> . אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.


:::<math>n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots n</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).
ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.


*נקטין את החצי הראשון של האיברים להיות 1, ואת החצי השני של האיברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל:


:::<math>n!\geq \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}=(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
מצא את גבול הסדרה <math>a_n=\sqrt[n]{n!}</math>


;פתרון
נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
:<math>n!=1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).
*נקטין את החצי הראשון של האברים להיות 1, ואת החצי השני של האברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל:
:<math>n!\ge\dfrac{n}{2}\cdots\dfrac{n}{2}=\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}</math>
ולכן,
ולכן,
:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\dfrac{n}{2}}\to\infty</math>


:::<math>\sqrt[n]{n!}\geq\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow\infty</math>
קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.
 
קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.

גרסה אחרונה מ־12:43, 20 באוקטובר 2020

חזרה לסדרות

גבול של סדרה


ההגדרה המדויקת של סדרה

הגדרה. בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של פונקציה. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האבר השני וכן הלאה.

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ \{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,\ldots }[/math] , כך ש- [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\ldots\in\R }[/math] .

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \bigg\{\frac1{2^n}\bigg\}_1^\infty=\frac12,\frac14,\frac18,\ldots }[/math]

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה אברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,0,\ldots }[/math] (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדויק:

הגדרת הגבול

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרת מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי [math]\displaystyle{ L\in\R }[/math] נקרא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\varepsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \varepsilon }[/math] .

במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=L }[/math] .

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו כי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] מודד אורך, מספר טבעי [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\in\N }[/math] מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה [math]\displaystyle{ L }[/math] על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

אם לכל אורך [math]\displaystyle{ (\varepsilon\gt 0) }[/math] [סיר]

קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ (N_\varepsilon\in\N) }[/math] [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\varepsilon }[/math]) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה והנקודה [math]\displaystyle{ L }[/math] קטן מהאורך [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] [math]\displaystyle{ (|a_n-L|\lt \varepsilon) }[/math] [מתאים לו]

דוגמאות

תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{n} }[/math]

פתרון. מהתבוננות באברים הראשונים של הסדרה אנו מנחשים שגבול הסדרה הנו 1. נוכיח זאת.

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] . (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעתים תכופות. מכיון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] , אם נוכיח אותה ל- [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] . כלומר:

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{n-1}{n}-1\right|\lt \varepsilon }[/math]

נפתח את הביטוי.

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{n-1}{n}-1\right|=\left|-\frac1n\right|=\frac1n }[/math]

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים [math]\displaystyle{ \dfrac1n\lt \varepsilon }[/math] . זה נכון אם"ם [math]\displaystyle{ n\gt \dfrac1{\varepsilon} }[/math] .

נבחר, אפוא, [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\gt \dfrac1{\varepsilon} }[/math] כלשהו (מותר כיון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n\gt N_\varepsilon\gt \dfrac1{\varepsilon} }[/math] ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]


תרגיל. הוכיחו לפי הגדרה כי מתקיים: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\dfrac13 }[/math]


תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{n} }[/math]

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות 1. כעת, יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] , נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו אברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ |a_n-1|\lt \varepsilon }[/math] .

זה שקול ל- [math]\displaystyle{ -\varepsilon\lt a_n-1\lt \varepsilon }[/math]

זה שקול ל- [math]\displaystyle{ 1-\varepsilon\lt \sqrt[n]{n}\lt 1+\varepsilon }[/math]

כיון ש- [math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math] הצד השמאלי טריויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\varepsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\lt 1+\varepsilon }[/math]

כלומר, אנו רוצים שיתקיים [math]\displaystyle{ n\lt (1+\varepsilon)^n }[/math]

נביט בביטוי [math]\displaystyle{ (1+\varepsilon)^n=(1+\varepsilon)\cdot(1+\varepsilon)\cdots(1+\varepsilon) }[/math] . נזכר בשיעור קומבינטוריקה ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] כפול [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין [math]\displaystyle{ n }[/math] אברים והיא [math]\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} }[/math] . בסה"כ אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ (1+\varepsilon)^n=\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2+K }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ K }[/math] הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, [math]\displaystyle{ \dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2\lt (1+\varepsilon)^n }[/math] . לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים [math]\displaystyle{ n\lt \dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2\lt (1+\varepsilon)^n }[/math] נסיים את התרגיל.

[math]\displaystyle{ \begin{align} n\lt \frac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2\\1\lt \frac{n-1}{2}\varepsilon^2\\n-1\gt \dfrac{2}{\varepsilon^2}\\n\gt 1+\frac{2}{\varepsilon^2} \end{align} }[/math]

ומכיון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסוים בסדרה אי-השוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

אם כן, הוכחנו כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 }[/math] .

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

שלילת גבול

[math]\displaystyle{ L }[/math] אינו גבול של סדרה אם קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ N\in\N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge\varepsilon }[/math] .


תרגיל. הוכח שלסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] לא קיים גבול.

נניח בשלילה שקיים גבול [math]\displaystyle{ L }[/math] כלשהו. נניח עוד כי [math]\displaystyle{ L }[/math] אי-שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה).

ניקח [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] (הרי צריך להוכיח כי קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]). כעת, יהי [math]\displaystyle{ N\in\N }[/math] וניקח [math]\displaystyle{ n }[/math] אי-זוגי גדול ממנו.

במקרה זה [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge1=\epsilon }[/math] כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי [math]\displaystyle{ L }[/math] אינו שלילי.)

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

אריתמטיקה (חשבון) של גבולות

משפט

תהיינה [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B }[/math] . אזי:

  • [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ B\ne0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} }[/math]


תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4} }[/math] .

פתרון

נחלק את המונה ואת המכנה ב- [math]\displaystyle{ n^7 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}} }[/math] . חזקות שליליות של [math]\displaystyle{ n }[/math] שואפות ל-0 ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה [math]\displaystyle{ \frac36=\frac12 }[/math] .


תרגיל.

נניח [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ולסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אין גבול. האם אנו יודעים לומר משהו על גבול הסדרה [math]\displaystyle{ c_n=a_n\cdot b_n }[/math] ?

תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:

  • [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac1n,b_n=(-1)^n }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n,b_n=n }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac1n,b_n=n^2\big((-1)^n+1\big) }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ \displaystyle\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\Big[(-1)^n+1\Big] }[/math] (לא קיים גבול לסדרה זו)


תרגיל חשוב מאד.

תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה חסומה. (כלומר, קיים [math]\displaystyle{ M }[/math] כך שלכל מקום בסדרה [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |b_n|\lt M }[/math] . ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

הוכח: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=0 }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|a_n\cdot b_n-0\Big|\lt \varepsilon }[/math] .

[math]\displaystyle{ |a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le M\cdot|a_n| }[/math] . מכיון שידוע כי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] , יש מקום מסוים שהחל ממנו והלאה מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|\lt \dfrac{\varepsilon}{M} }[/math] (כיון ש- [math]\displaystyle{ \dfrac{\varepsilon}{M} }[/math] הנו מספר חיובי כלשהו, ולכל מספר חיובי קיים מקום בסדרה עבורו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול).

לכן, מאותו מקום מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n\cdot b_n|\lt M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמא. [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(n)}{\ln(n)}=0 }[/math]


תרגיל. מצא את הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big] }[/math]

פתרון

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\Big[\sqrt{n^2+1}-n\Big]&=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}\cdot\dfrac{\dfrac1n}{\dfrac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}+\dfrac{n}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac1n}{\sqrt{1+\dfrac1{n^2}}+1}=0\end{align} }[/math]

אי-שוויון הממוצעים

כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי-שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):

לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מספרים ממשיים חיוביים [math]\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\times\cdots\times x_n}\le\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} }[/math]

הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".

טענה - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!

אם [math]\displaystyle{ \{a_n\}^\infty_{n=1} }[/math] היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] אזי מתקיים: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}=L }[/math] .


משפט

תהי [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n-1}} }[/math] אזי הסדרה [math]\displaystyle{ \big\{\sqrt[n]{a_n}\big\}_{n=1}^\infty }[/math] מתכנסת ומתקיים השוויון: [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}} }[/math] .

הוכחה

נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ \{b_n\}_{n=1}^\infty }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ b_1=a_1 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ b_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] . זוהי סדרת מספרים חיוביים ולכן על-פי הטענה הקודמת מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_1\times\cdots\times b_n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}} }[/math] .

ברור כי

[math]\displaystyle{ \displaystyle b_1\times\cdots\times b_n=\frac{a_1}{1}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdots\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n }[/math]

ולכן קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}} }[/math] . [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]


כעת נוכיח בדרך אחרת כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 }[/math] .

הוכחה

אם נרשום [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1 }[/math] . [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]


תרגיל. תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty\to a }[/math] .

א. הוכיחו כי אם קיים הגבול [math]\displaystyle{ L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |L|\le1 }[/math] .

פתרון

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}x_n\ne0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1 }[/math] .

אחרת, [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=0 }[/math] . מאי-שוויון המשולש נקבל [math]\displaystyle{ \forall n\gt N_\varepsilon:\Bigg|\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|-|L|\Bigg|\le\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|\lt \varepsilon }[/math] .

נובע כי [math]\displaystyle{ \forall n\gt N_\varepsilon:|x_{n+1}|\gt (|L|-\varepsilon)|x_n| }[/math] .

נניח כעת בשלילה כי [math]\displaystyle{ |L|\gt 1 }[/math] , ניקח [math]\displaystyle{ \varepsilon=|L|-1 }[/math] ונקבל כי [math]\displaystyle{ \forall n\gt N_\varepsilon:|x_{n+1}|\gt |x_n| }[/math]

בסתירה לכך ש- [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0 }[/math] . [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]


ב. תנו דוגמא לסדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n} }[/math] אינו קיים.

פתרון

נתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ x_n=\begin{cases}\dfrac1n&n\text{ odd}\\0&n\text{ even}\end{cases} }[/math]

ברור כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n} }[/math] אינו קיים.

חוק הסנדוויץ'

הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\le b_n\le c_n }[/math] וגם ידוע כי [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=L }[/math] .


דוגמא. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ (2^n+3^n)^\frac1n }[/math]

פתרון
[math]\displaystyle{ 3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n }[/math]

לכן,

[math]\displaystyle{ 3=(3^n)^\frac1n\le(2^n+3^n)^\frac1n\le(2\cdot3^n)^\frac1n=2^\frac1n\cdot3 }[/math]

כיון שמתקיים

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}2^\frac1n=1 }[/math]


סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3 .

התכנסות במובן הרחב


דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

הגדרה. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי אומרים כי הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף אם לכל [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_M\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt M }[/math] .

הערה: שימו לב כי [math]\displaystyle{ M }[/math] בדומה ל- [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות [math]\displaystyle{ M }[/math] ולא באות [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] . אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] דומה עם שינויים קלים בהתאם.


תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{n!} }[/math]

פתרון

נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.

[math]\displaystyle{ n!=1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdots n }[/math] (המקרה בו [math]\displaystyle{ n }[/math] אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).
  • נקטין את החצי הראשון של האברים להיות 1, ואת החצי השני של האברים להיות [math]\displaystyle{ \frac{n}{2} }[/math] ונקבל:
[math]\displaystyle{ n!\ge\dfrac{n}{2}\cdots\dfrac{n}{2}=\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2} }[/math]

ולכן,

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\dfrac{n}{2}}\to\infty }[/math]

קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל אבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/גבול&oldid=86009"