הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6"
מתוך Math-Wiki
מ |
מ |
||
(8 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | [[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]] | |
− | + | ||
<math>A=\begin{pmatrix} | <math>A=\begin{pmatrix} | ||
שורה 11: | שורה 10: | ||
נמצא את הפ"א: | נמצא את הפ"א: | ||
− | <math>p_A(x)=\begin{vmatrix} | + | <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} |
x-1 & -1 & -1\\ | x-1 & -1 & -1\\ | ||
0&x-1 &0 \\ | 0&x-1 &0 \\ | ||
שורה 17: | שורה 16: | ||
\end{vmatrix}=(x-1)^3</math> | \end{vmatrix}=(x-1)^3</math> | ||
− | + | שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי. | |
− | + | <math>A-I</math> הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, שכן: <math>A-I\neq 0_{3\times 3}</math> ואילו <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix} | |
− | + | ||
0 & 1 & 1\\ | 0 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0&0 &0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 | ||
+ | \end{pmatrix}^2=0_{3\times 3}</math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | לכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם <math>J_2(0)</math> ו- <math>J_1(0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן קיימת <math>P</math> הפיכה, כך ש- | ||
+ | <math>P^{-1}(A-I)P=\begin{pmatrix} | ||
+ | J_2(0) & 0\\ | ||
+ | 0 & J_1(0)\\ | ||
+ | |||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | |||
+ | </math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | נפתח סוגריים ונפשט: | ||
+ | <math>P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0& 0 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | |||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נעביר אגפים, ונקבל ש <math>P^{-1}AP=I+\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0& 0 | ||
+ | \end{pmatrix}= | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0& 1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן צורת ז'ורדן היא <math>J=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 &0 \\ | ||
+ | 0 & 1 & 0\\ | ||
0& 0 & 1 | 0& 0 & 1 | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
− | + | שהיא מטריצה מספר 1, ולכן התשובה היא 1. | |
+ | |||
+ | מ.ש.ל. |
גרסה אחרונה מ־15:04, 29 בדצמבר 2011
נמצא את הפ"א:
שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.
הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, שכן: ואילו
.
לכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם ו- .
לכן קיימת הפיכה, כך ש-
.
נפתח סוגריים ונפשט:
נעביר אגפים, ונקבל ש
לכן צורת ז'ורדן היא
שהיא מטריצה מספר 1, ולכן התשובה היא 1.
מ.ש.ל.