פתרון 4 (אלעד איטח): הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math> ב. לפולינ...") |
|||
| (9 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math> | א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} | ||
x-1 & 1 & 1\\ | |||
0 & x-1 & 1\\ | |||
0 & 0 & x-2 | |||
\end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math> | |||
ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | ב. לפולינום המינימאלי של <math>A</math> יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של <math>A</math>. | ||
אחרי חישוב נקבל ש- <math>A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A | אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של <math>A</math> | ||
שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A | שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את <math>A</math>. | ||
לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math> | לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math>. | ||
ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1. | |||
ג. הע"ע של <math>A</math> הם שורשי הפולינום האופייני של <math>A</math>, שהם <math>2</math> ו <math>1</math>. | |||
ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו. | |||
הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר <math>k</math> שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math> | |||
מחלק את הפולינום האופייני של <math>A</math>. לכן, <math>k_{1}=2</math> <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או | |||
שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל <math>1</math>. לכן, <math>1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1</math>. | |||
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math> m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} | הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math> m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} | ||
0 &1 &1 \\ | 0 &1 &1 \\ | ||
| שורה 18: | שורה 24: | ||
</math> | </math> | ||
ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל | ה.הפולינום האופייני של <math>A</math> מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל <math>A</math>. | ||
מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. | מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. | ||
A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. | A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. | ||
הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math> | הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math> | ||
בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. | בפולינום המינימאלי של <math>A</math>. לכן, הבלוק הקשור לע"ע <math>2</math> הוא מסדר <math>1</math> והבלוק הקשור לע"ע <math>1</math> הוא מסדר <math>2</math>. | ||
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | ||
J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | |||
1 &1 &0 \\ | |||
0 &1 &0 \\ | |||
0 &0 &2 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
== דרך כמו שרשום בחוברת == | |||
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר <math>\max\left\{ k : \left(x-1\right)^{k}\vert m_{A}\left(x\right)\right\}=2</math> | |||
ולכן יש בלוק <math>J_{2}(1)</math> והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק <math>J_{m}(2)</math> | |||
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1 | |||
ולכן צורת הז'ורדן של A היא <math> | |||
J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | ||
1 &1 &0 \\ | 1 &1 &0 \\ | ||
גרסה אחרונה מ־23:04, 8 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא [math]\displaystyle{ f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 1\\ 0 & 0 & x-2 \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right) }[/math]
ב. לפולינום המינימאלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אחרי חישוב נקבל ש- [math]\displaystyle{ (A-I)(A-2I)\neq 0 }[/math] כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן הפולינום המינימאלי של A הוא [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2) }[/math].
ג. הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הם שורשי הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math], שהם [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ו [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
ד. נגדיר [math]\displaystyle{ k_{\lambda } }[/math]-הריבוי האלגברי של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_{\lambda } }[/math] הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר [math]\displaystyle{ k }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^{k} }[/math] מחלק את הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ k_{1}=2 }[/math] [math]\displaystyle{ k_{2}=1 }[/math] הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ 1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1 }[/math].
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, [math]\displaystyle{ m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1 }[/math]
ה.הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל [math]\displaystyle{ A }[/math]. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] בפולינום המינימאלי של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן, הבלוק הקשור לע"ע [math]\displaystyle{ 2 }[/math] הוא מסדר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והבלוק הקשור לע"ע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא מסדר [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא [math]\displaystyle{ J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} }[/math]
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר [math]\displaystyle{ \max\left\{ k : \left(x-1\right)^{k}\vert m_{A}\left(x\right)\right\}=2 }[/math]
ולכן יש בלוק [math]\displaystyle{ J_{2}(1) }[/math] והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק [math]\displaystyle{ J_{m}(2) }[/math]
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1
ולכן צורת הז'ורדן של A היא [math]\displaystyle{ J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} }[/math]