הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 4 (אלעד איטח)"
(יצירת דף עם התוכן "א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math> ב. לפולינ...") |
(←דרך כמו שרשום בחוברת) |
||
(9 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}(x)=\left | xI-A \right |=(x-1)^{2}(x-2)</math> | + | א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא <math>f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} |
+ | x-1 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & x-1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & x-2 | ||
+ | \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)</math> | ||
− | ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. | + | ב. לפולינום המינימאלי של <math>A</math> יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של <math>A</math>. |
− | אחרי חישוב נקבל ש- <math>A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A | + | אחרי חישוב נקבל ש- <math>(A-I)(A-2I)\neq 0 </math> כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של <math>A</math> |
− | שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A | + | שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את <math>A</math>. |
− | לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math> | + | לכן הפולינום המינימאלי של A הוא <math>m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)</math>. |
− | ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1. | + | |
+ | ג. הע"ע של <math>A</math> הם שורשי הפולינום האופייני של <math>A</math>, שהם <math>2</math> ו <math>1</math>. | ||
+ | |||
+ | ד. נגדיר <math>k_{\lambda }</math>-הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> ו-<math>m_{\lambda }</math> הריבוי הגיאומטרי שלו. | ||
+ | הריבוי האלגברי של ע"ע <math>\lambda</math> מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר <math>k</math> שעבורו <math>(x-\lambda)^{k} </math> | ||
+ | מחלק את הפולינום האופייני של <math>A</math>. לכן, <math>k_{1}=2</math> <math>k_{2}=1</math> הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או | ||
+ | שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל <math>1</math>. לכן, <math>1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1</math>. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math> m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} | הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, <math> m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} | ||
0 &1 &1 \\ | 0 &1 &1 \\ | ||
שורה 18: | שורה 24: | ||
</math> | </math> | ||
− | ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל | + | ה.הפולינום האופייני של <math>A</math> מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל <math>A</math>. |
מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. | מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. | ||
A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. | A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. | ||
הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math> | הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם <math>(x-\lambda)</math> | ||
− | בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. | + | בפולינום המינימאלי של <math>A</math>. לכן, הבלוק הקשור לע"ע <math>2</math> הוא מסדר <math>1</math> והבלוק הקשור לע"ע <math>1</math> הוא מסדר <math>2</math>. |
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא <math> | ||
+ | J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 &1 &0 \\ | ||
+ | 0 &1 &0 \\ | ||
+ | 0 &0 &2 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == דרך כמו שרשום בחוברת == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר <math>\max\left\{ k : \left(x-1\right)^{k}\vert m_{A}\left(x\right)\right\}=2</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן יש בלוק <math>J_{2}(1)</math> והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק <math>J_{m}(2)</math> | ||
+ | |||
+ | אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1 | ||
+ | |||
+ | ולכן צורת הז'ורדן של A היא <math> | ||
J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} | ||
1 &1 &0 \\ | 1 &1 &0 \\ |
גרסה אחרונה מ־23:04, 8 בינואר 2012
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של . אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את . לכן הפולינום המינימאלי של A הוא .
ג. הע"ע של הם שורשי הפולינום האופייני של , שהם ו .
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של . לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל . לכן, .
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל . מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של . לכן, הבלוק הקשור לע"ע הוא מסדר והבלוק הקשור לע"ע הוא מסדר . לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1
ולכן צורת הז'ורדן של A היא