התאמת גלואה

התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט היסודי של תורת גלואה הקובע כי יש התאמה בין שדות ביניים של הרחבת גלואה ובין תתי החבורות של חבורת גלואה שלה.

המשפט היסודי של תורת גלואה

משפט: תהי [math]\displaystyle{ E/F }[/math] הרחבת גלואה מממד סופי ותהי [math]\displaystyle{ G=\text{Gal}(E/F) }[/math] אזי קיימת התאמה חח"ע ועל בין:

א. תת־שדות [math]\displaystyle{ F\sube K\sube E }[/math]

ב. תת־חבורות [math]\displaystyle{ H\le G }[/math]

ההתאמה שולחת חבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] אל השדה [math]\displaystyle{ E^H=\bigl\{a\in E:\sigma a=a~\forall\sigma\in H\bigr\} }[/math] ותת־שדה [math]\displaystyle{ F\sube K\sube E }[/math] אל החבורה [math]\displaystyle{ \text{Gal}(E/K) }[/math] (פונקציות אלו הפוכות זו לזו). בנוסף, ההתאמה מקיימת:

1. [math]\displaystyle{ |H|=[E:E^H] }[/math]

2. [math]\displaystyle{ [E^H:F]=[G:H] }[/math]

3. [math]\displaystyle{ H_1\sube H_2 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ E^{H_1}\supe E^{H_2} }[/math] (אין טעות; כוון ההכלה מתהפך)

4. [math]\displaystyle{ H }[/math] נורמלית ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ E^H/F }[/math] נורמלית אם ורק אם [math]\displaystyle{ E^H/F }[/math] גלואה. במקרה זה [math]\displaystyle{ \text{Gal}(E^H/F)\cong G/H }[/math] . האיזומורפיזם נתון ע"י שליחת קוסט [math]\displaystyle{ \sigma H }[/math] אל [math]\displaystyle{ \sigma|_{E^H} }[/math] .

הערה: קיים אנלוג של המשפט הנ"ל גם להרחבות גלואה אינסופיות.

חישוב בידיים של ההתאמה

נניח כי [math]\displaystyle{ E/F }[/math] הרחבת גלואה מממד סופי ומצאנו את חבורת גלואה [math]\displaystyle{ G=\text{Gal}(E/F) }[/math] .

בהינתן שדה [math]\displaystyle{ F\sube K\sube E }[/math] קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו [math]\displaystyle{ H=\text{Gal}(E/K) }[/math] ע"י בדיקה אילו מאברי [math]\displaystyle{ G }[/math] מייצבים את [math]\displaystyle{ K }[/math] . בפרט, אם [math]\displaystyle{ K=F[a_1,\ldots,a_n] }[/math] מספיק לבדוק אילו מאברי [math]\displaystyle{ G }[/math] מייצבים את [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] .

לעומת זאת, בהינתן תת־חבורה [math]\displaystyle{ H\le G }[/math] לא תמיד ברור מהו תת־השדה המתאים לה [math]\displaystyle{ K=E^H }[/math] .

ראשית, נשים לב שהתנאי [math]\displaystyle{ a\in E^H }[/math] אומר [math]\displaystyle{ \sigma a=a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in H }[/math] . היות וכל [math]\displaystyle{ \sigma\in H }[/math] היא העתקה לינארית מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] , התנאים [math]\displaystyle{ \{\sigma a=a\}_{\sigma\in H} }[/math] שקולים למשוואות לינאריות מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] . בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל־[math]\displaystyle{ E^H }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] .

שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ \sigma a=a }[/math] למשוואה לינארית מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] יש לבחור בסיס ל־[math]\displaystyle{ E }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] . (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.)

השיטה הנ"ל אמנם תמיד עובדת, אך בדרך כלל אורכת זמן לביצוע. לכן, אם אפשר עדיף לנסות למצוא אברים [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n\in E^H }[/math] ולקוות שהם יוצרים את [math]\displaystyle{ E^H }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] . כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האברים ואיך נדע שהם יוצרים את [math]\displaystyle{ E^H }[/math] .

תשובה לשאלה השנייה נובעת מהטענה הבאה:

טענה: [math]\displaystyle{ E^H=F[a_1,\ldots,a_n] }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ H }[/math] מייצבת את [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] וגם [math]\displaystyle{ [F[a_1,\ldots,a_n]:F]\ge[G:H] }[/math] .

הוכחה: תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת גלואה.

לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאברים הם ב־[math]\displaystyle{ E^H }[/math] והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות:

1. אם [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב־[math]\displaystyle{ E }[/math] נמצא ב־[math]\displaystyle{ E^\sigma }[/math] .

2. נניח כי [math]\displaystyle{ E }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ f }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_k\in E }[/math] השורשים של [math]\displaystyle{ f }[/math] . אזי ניתן לחשוב על אברי [math]\displaystyle{ G }[/math] כתמורות ב־[math]\displaystyle{ S_k }[/math] (המתאימות לתמורות על השורשים [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_k }[/math]). נשים לב שאם [math]\displaystyle{ \sigma\in H }[/math] היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא [math]\displaystyle{ (n_1,\ldots,n_r) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^ra_{n_i},~\prod\limits_{i=1}^ra_{n_i}\in E^{\lt \sigma\gt } }[/math] .

3. באותן הנחות כמו ב־2, אם האינדקס [math]\displaystyle{ n }[/math] לא מופיע בייצוג של [math]\displaystyle{ \sigma\in H }[/math] כמכפלת מחזורים זרים, אז [math]\displaystyle{ \sigma a_n=a_n }[/math] .

דוגמא: נניח כי [math]\displaystyle{ E=\Q[\sqrt[4]{2},i],~F=\Q }[/math] . ההרחבה [math]\displaystyle{ E/F }[/math] חבורת גלואה ונוצרת ע"י שתי העתקות [math]\displaystyle{ \sigma,\alpha }[/math] הנתונות ע"י:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\sigma(i)&=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}\\\alpha(i)&=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\sqrt[4]{2}\end{align} }[/math]

האברים [math]\displaystyle{ \sigma,\alpha }[/math] מקיימים את היחסים [math]\displaystyle{ \alpha^4=\sigma^2=id,\alpha\sigma=\alpha^-1\sigma }[/math] (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות כי [math]\displaystyle{ \text{Gal}(E/F)\cong D_4 }[/math]). בדקו שהחבורה [math]\displaystyle{ \lt \sigma\alpha\gt }[/math] מכילה שני אברים.

כדי למצוא את [math]\displaystyle{ E^{\lt \sigma\alpha\gt } }[/math] נזכר כי [math]\displaystyle{ E }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ x^4-2 }[/math] ושורשי הפולינום הם [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2} }[/math] נסמן אותם ב־[math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4 }[/math] בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל־[math]\displaystyle{ \sigma\alpha }[/math] היא [math]\displaystyle{ (1,4)(2,3) }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ b=a_1+a_4\in E^H }[/math] .

נבדוק האם [math]\displaystyle{ \Q[b]=E^H }[/math] . מתקיים [math]\displaystyle{ b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8} }[/math] באשר [math]\displaystyle{ \rho_8=e^{\frac{2\pi}{8}i} }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ b }[/math] שורש של [math]\displaystyle{ x^4+8 }[/math] (במובן מסוים [math]\displaystyle{ b=\sqrt[4]{-8} }[/math] אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו [math]\displaystyle{ x=2y^{-1} }[/math]). לכן ההרחבה [math]\displaystyle{ \Q[b]/\Q }[/math] היא ממעלה 4. אבל [math]\displaystyle{ [E^{\lt \sigma\alpha\gt }:\Q]=[G:\lt \sigma\alpha\gt ]=4 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ E^{\lt \sigma\alpha\gt }=\Q[\rho_8^3\sqrt[4]{8}] }[/math] .

דוגמא: בסימונים של הדוגמא הקודמת, מהו [math]\displaystyle{ E^{\lt \sigma\alpha^2\gt } }[/math]?

תשובה: התמורה המתאימה ל־[math]\displaystyle{ \sigma^2\alpha }[/math] היא [math]\displaystyle{ (1,3) }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ i\sqrt[4]{2}=a_2\in E^{\lt \sigma\alpha^2\gt } }[/math] . אותם שיקולי ממד מהדוגמא הקודמת יראו כי [math]\displaystyle{ E^{\lt \sigma\alpha^2\gt }=\Q[i\sqrt[4]{2}] }[/math] .

בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם

בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.