הבדלים בין גרסאות בדף "88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב"
(←קישורים) |
(←הודעות) |
||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 13: | שורה 13: | ||
[http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו] | [http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו] | ||
+ | |||
+ | [http://www.math-wiki.com/images/d/d1/T11s.pdf פתרון תרגיל 11] | ||
+ | |||
+ | [http://www.math-wiki.com/images/9/92/Odegradespdf.pdf ציוני תרגיל] | ||
=הודעות= | =הודעות= | ||
שורה 21: | שורה 25: | ||
--[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST) | --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST) | ||
+ | העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST) | ||
---- | ---- | ||
לגבי התרגול היום (6.12.2011): | לגבי התרגול היום (6.12.2011): | ||
שורה 209: | שורה 214: | ||
--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST) | --[[משתמש:Michael|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין: | ||
+ | |||
+ | <math>y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0</math> | ||
+ | |||
+ | "כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך: | ||
+ | |||
+ | <math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math> | ||
+ | |||
+ | (האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>t=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת) | ||
+ | |||
+ | נפשט קצת את <math>f(t)</math>: | ||
+ | |||
+ | <math>f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)</math> | ||
+ | |||
+ | נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו: | ||
+ | |||
+ | <math>g(t)=t</math> | ||
+ | |||
+ | ואז ניתן לרשום: | ||
+ | |||
+ | <math>f(t)=2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math> | ||
+ | |||
+ | את התמרת הלפלס של g קל לחשב: | ||
+ | |||
+ | <math>\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)</math> | ||
+ | |||
+ | (השתמשתי בתכונה מהשיעור: <math>\mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \}</math>) | ||
+ | |||
+ | נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו: | ||
+ | |||
+ | <math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math> | ||
+ | |||
+ | ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה: | ||
+ | |||
+ | <math>\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)</math> | ||
+ | |||
+ | המשוואה היא: | ||
+ | |||
+ | <math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}</math> | ||
+ | |||
+ | נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון: | ||
+ | |||
+ | <math>y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{ 2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}</math> | ||
+ | |||
+ | ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה: | ||
+ | |||
+ | <math>y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4} \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4} \right\}</math> | ||
+ | |||
+ | לפי טבלת התמרת לפלס: | ||
+ | |||
+ | <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}</math> | ||
+ | |||
+ | אם כן: | ||
+ | |||
+ | <math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math> | ||
+ | |||
+ | וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>t=\frac{1}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | --[[משתמש:Michael|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST) |
גרסה אחרונה מ־18:28, 22 בפברואר 2012
88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות
קישורים
קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)
טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו
הודעות
חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113) --Michael 18:02, 4 בינואר 2012 (IST)
העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)
העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --Michael 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST)
לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון
ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:
(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:
ולכן הפתרון הוא:
עכשיו נוכל להשאיף ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):
כאשר:
ו- הם קבועים חופשיים.
רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)
בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים:
הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.
למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.
המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue
המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues
המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue
והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו פחות מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue
פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:
רצינו לפתור את המד"ר , כאשר
ל-A יש רק ע"ע אחד . נחפש ו"ע :
מקבלים את התנאי וניתן לקחת ולקבל ו"ע ולכן את הפתרון הקלאסי :
נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה .
מצד אחד:
ומצד שני:
כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:
( נשאר חופשי)
נציב זאת בניחוש ונקבל:
בתרגול לקחתי c=0 ו-a=1 ובניתי פתרון נוסף שבכל מקרה הצטרף לפתרון הראשוני. סליחה על הבלבול.
--Michael 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)
למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:
הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:
השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:
נחשב עכשיו את :
ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):
כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:
זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת . אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים. --Michael 01:49, 27 בדצמבר 2011 (IST)
לגבי סוף התרגול היום: עסקנו במשוואה . המשוואה האינדנציאלית נתנה לנו שני ערכים מותרים עבור : הגענו לפתרון אחד כאשר לקחנו :
אמרנו שאם מדובר בתחום שבו x>0 ניתן לרשום אותו בצורה:
נגיע עכשי לפתרון השני, ניקח הפעם את . הרקורסיה שלנו היא
נמצא קצת מהמקדמים:
כבר ניתן לנחש:
אם כך, נקבל פתרון שני:
אם x חיובי נוכל לרשום אותו בצורה:
הפתרון הכללי יהיה צירוף לינארי שלהם:
כאשר הקבועים הגדולים בלעו את
הערה חשובה: שימו לב שלא תמיד ניתן לפתור את הרקורסיות (אפילו לא במונחים של פונקציית גמא). במקרה כזה רצוי שלפחות תפתחו את הטור לכמה איברים ראשונים.
--Michael 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)
הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:
"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:
(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" . לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)
נפשט קצת את :
נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:
ואז ניתן לרשום:
את התמרת הלפלס של g קל לחשב:
(השתמשתי בתכונה מהשיעור: )
נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:
ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק . כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:
המשוואה היא:
נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון:
ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה:
לפי טבלת התמרת לפלס:
אם כן:
וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית
--Michael 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)