הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
|||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==הלמה של קנטור== | ==הלמה של קנטור== | ||
− | תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq | + | תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' <math>c</math> הנמצאת בכל הקטעים. |
− | + | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math>. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על ידי <math>b_1</math>, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על ידי <math>a_1</math>. | + | נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math> . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על-ידי <math>b_1</math> , ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי <math>a_1</math> . |
− | לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | + | לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim |b_n-a_n|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה |
− | + | :<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math> | |
מקיימת את הדרוש. | מקיימת את הדרוש. | ||
− | נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש <math>c\notin [a_k,b_k]</math>. לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> | + | נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- <math>c\notin[a_k,b_k]</math> . לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- <math>c</math> בסתירה. (<math>\lim a_n\ge a_k>c</math> או <math>\lim b_n\le b_k<c</math>) |
+ | |||
+ | לכן הנקודה <math>c</math> שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\ne d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>|d-c|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס. | ||
− | + | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־12:47, 4 בנובמבר 2016
הלמה של קנטור
תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה , כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי מונוטונית עולה וחסומה על-ידי , ואילו מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי .
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- . לכן או וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- בסתירה. ( או )
לכן הנקודה שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.