88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==1== ===א=== חשב את אורך העקום של הפונקציה <math>f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> בקטע <math>[a,b]</math> ===ב=== תהי f גזיר...") |
(←2) |
||
| (4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
===א=== | ===א=== | ||
חשב את אורך העקום של הפונקציה <math>f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> בקטע <math>[a,b]</math> | חשב את [[אורך עקומה|אורך העקום]] של הפונקציה <math>f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> בקטע <math>[a,b]</math> | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
תהי f גזירה על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע <math>[a,b]</math> כך | תהי f גזירה ברציפות על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע <math>[a,b]</math> כך ש[[אורך עקומה|אורך העקומה]] של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M. | ||
==2== | ==2== | ||
| שורה 10: | שורה 10: | ||
תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> הוכח כי | תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> הוכח כי | ||
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|f(x)|^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|</math> | ::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\int_a^b|f(x)|^ndx\Big]^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|</math> | ||
==3== | ==3== | ||
| שורה 25: | שורה 25: | ||
==4== | ==4== | ||
הוכח כי למשוואה <math>\int_0^xe^{-t^2}dt=x</math> יש פתרון אחד ויחיד. מהו? | הוכח כי למשוואה <math>\int_0^xe^{-t^2}dt=x</math> יש פתרון אחד ויחיד. מהו? | ||
==5== | |||
נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע <math>x,y\in [0,2]</math> ולכל <math>t\in [0,1]</math> מתקיים | |||
::<math>f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y)</math> | |||
נניח בנוסף כי <math>f(1)=1</math> הוכח כי | |||
::<math>\int_0^2f(t)dt\geq 1</math> | |||
גרסה אחרונה מ־20:29, 28 באפריל 2012
1
א
חשב את אורך העקום של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]
ב
תהי f גזירה ברציפות על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך שאורך העקומה של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.
2
תהי f רציפה ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוכח כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\int_a^b|f(x)|^ndx\Big]^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)| }[/math]
3
תהי f רציפה. לכל אפסילון גדול מאפס נגדיר את הפונקציה
- [math]\displaystyle{ g_\epsilon(x)=\frac{1}{2\epsilon}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}f(x+t)dt }[/math]
א
הוכח כי [math]\displaystyle{ g_\epsilon(x) }[/math] גזירה
ב
הוכח כי לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}g_\epsilon(x)=f(x) }[/math]
4
הוכח כי למשוואה [math]\displaystyle{ \int_0^xe^{-t^2}dt=x }[/math] יש פתרון אחד ויחיד. מהו?
5
נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע [math]\displaystyle{ x,y\in [0,2] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ t\in [0,1] }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y) }[/math]
נניח בנוסף כי [math]\displaystyle{ f(1)=1 }[/math] הוכח כי
- [math]\displaystyle{ \int_0^2f(t)dt\geq 1 }[/math]