הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5/פתרון"
(יצירת דף עם התוכן "== 1. == ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה. ===א=== מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c...") |
|||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 52: | שורה 52: | ||
<math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>. | <math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>. | ||
+ | |||
+ | מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup. | ||
+ | |||
+ | מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==2.== | ||
+ | |||
+ | הופיע במבחן באונ' ת"א: | ||
+ | [http://math-wiki.com/images/2/2c/11Infi2TestsSolsOri.pdf 2008, מועד ב' (סודין)] | ||
+ | |||
+ | ==3.== | ||
+ | |||
+ | הופיע במבחן באונ' ת"א: | ||
+ | [http://math-wiki.com/images/2/2c/11Infi2TestsSolsOri.pdf עמוד 10 שאלה 5] | ||
+ | |||
+ | ==4.== | ||
+ | |||
+ | התרגיל כולו מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל 10]. |
גרסה אחרונה מ־09:18, 17 ביוני 2012
1.
ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה.
א
מופיע בתרגיל הבית
ב
קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: . (חסומה כפול 0)
נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup:
ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0.
ג
לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל.
נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים:
כאשר , ואפילו במ"ש.
אולם מתקיים,
ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש.
ד
מופיע בתרגיל הבית.
דרך אלטרנטיבית:
ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: .
על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: .
בקטע הסגור, נוכל להפעיל את משפט דיני (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!).
בקטע הפתוח שנותר, נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש.
, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע .
מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup.
מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.
2.
הופיע במבחן באונ' ת"א: 2008, מועד ב' (סודין)
3.
הופיע במבחן באונ' ת"א: עמוד 10 שאלה 5
4.
התרגיל כולו מופיע בתרגיל 10.