מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/2: הבדלים בין גרסאות בדף
| (8 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
=ערך מוחלט= | [[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]] | ||
=ערך מוחלט ואי שיוויונים= | |||
הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא: | הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא: | ||
| שורה 22: | שורה 24: | ||
*<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math> | *<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math> | ||
*<math>(|x|)^2=x^2</math> | |||
| שורה 43: | שורה 47: | ||
**<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math> | **<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math> | ||
**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math> | **<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math> | ||
==תכונות של אי שיוויונים== | |||
*<math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>-x\geq -y</math> | |||
*נניח <math>0\leq x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>x^2\leq y^2</math> | |||
*נניח <math>0< x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}</math> | |||
| שורה 66: | שורה 80: | ||
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | '''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | ||
::<math>|2x-1|>|x-1|</math> | ::<math>|2x-1|>|x-1|</math> | ||
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | |||
::<math>(x-a)(x-b)>0</math> | |||
(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b) | |||
'''תרגיל''': נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי <math>f(n)=2n</math> ואם n אינו זוגי אזי <math>f(n)=\frac{n}{2}</math> | |||
האם יש פתרון למשוואה <math>f(n)=7</math>? | |||
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | |||
::<math>|x^2-5x+4|>|x^2-5x|</math> | |||
=אי שיוויונים מעריכיים= | |||
נניח <math>a>1</math>, אזי | |||
::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\leq y</math> | |||
'''תרגיל''': נניח כי <math>a<1</math> הוכח כי: | |||
::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\geq y</math> | |||
'''תרגיל''': מצא לאילו ערכים של <math>a,x</math> מתקיים אי השיוויון הבא: | |||
::<math>a^x<1</math> | |||
'''תרגיל''': מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | |||
::<math>|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}</math> | |||
'''תרגיל''': הראה כי | |||
אם <math>a>1</math> אזי | |||
::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<x\leq y</math> | |||
ואם <math>a<1</math> אזי | |||
::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<y\leq x</math> | |||
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | |||
::<math>\log_3(x)>log_9(x+1)</math> | |||
גרסה אחרונה מ־10:49, 29 ביוני 2015
ערך מוחלט ואי שיוויונים
הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:
- [math]\displaystyle{ |7|=|-7|=7 }[/math]
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:
- [math]\displaystyle{ |x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x\lt 0\end{cases} }[/math]
תכונות של הערך המוחלט
- לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ |x|\geq 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x|=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x\cdot y| = |x|\cdot |y| }[/math]
- [math]\displaystyle{ (|x|)^2=x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x\leq |x| }[/math]
- אי שיוויון המשולש: [math]\displaystyle{ |x+y|\leq |x|+|y| }[/math]
- [math]\displaystyle{ ||x|-|y||\leq |x-y| }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x-y| }[/math] הוא המרחק בין x לבין y
- נניח [math]\displaystyle{ L\geq 0 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ |x|\leq L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -L\leq x\leq L }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x|\geq L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\geq L }[/math] או [math]\displaystyle{ x\leq -L }[/math]
תכונות של אי שיוויונים
- [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -x\geq -y }[/math]
- נניח [math]\displaystyle{ 0\leq x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x^2\leq y^2 }[/math]
- נניח [math]\displaystyle{ 0\lt x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y} }[/math]
תרגילים
תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש
תרגיל: הוכח כי [math]\displaystyle{ ||x|-|y||\leq |x-y| }[/math]
תרגיל: יהיו [math]\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{R} }[/math] מספרים ממשיים. יהי [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:
- [math]\displaystyle{ |x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2} }[/math]
הוכח כי [math]\displaystyle{ |x-z|\leq \epsilon }[/math]
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ |2x-1|\gt |x-1| }[/math]
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b)\gt 0 }[/math]
(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)
תרגיל: נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=2n }[/math] ואם n אינו זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2} }[/math]
האם יש פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ f(n)=7 }[/math]?
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ |x^2-5x+4|\gt |x^2-5x| }[/math]
אי שיוויונים מעריכיים
נניח [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math], אזי
- [math]\displaystyle{ a^x\leq a^y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math]
תרגיל: נניח כי [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] הוכח כי:
- [math]\displaystyle{ a^x\leq a^y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\geq y }[/math]
תרגיל: מצא לאילו ערכים של [math]\displaystyle{ a,x }[/math] מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ a^x\lt 1 }[/math]
תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ |x-1|^{x^2+2x} \lt \frac{1}{|x-1|} }[/math]
תרגיל: הראה כי
אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ \log_a(x)\leq\log_a(y) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0\lt x\leq y }[/math]
ואם [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ \log_a(x)\leq\log_a(y) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0\lt y\leq x }[/math]
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
- [math]\displaystyle{ \log_3(x)\gt log_9(x+1) }[/math]