(←תרגילים) |
(←תכונות של הערך המוחלט) |
||
(7 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | =ערך מוחלט= | + | [[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]] |
+ | |||
+ | =ערך מוחלט ואי שיוויונים= | ||
הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא: | הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא: | ||
שורה 22: | שורה 24: | ||
*<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math> | *<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math> | ||
+ | |||
+ | *<math>(|x|)^2=x^2</math> | ||
שורה 43: | שורה 47: | ||
**<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math> | **<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math> | ||
**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math> | **<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math> | ||
+ | |||
+ | ==תכונות של אי שיוויונים== | ||
+ | |||
+ | *<math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>-x\geq -y</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נניח <math>0\leq x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>x^2\leq y^2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נניח <math>0< x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}</math> | ||
שורה 70: | שורה 84: | ||
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | '''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | ||
− | ::<math>(x-a)(x-b)>0</math> | + | ::<math>(x-a)(x-b)>0</math> |
+ | (חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי <math>f(n)=2n</math> ואם n אינו זוגי אזי <math>f(n)=\frac{n}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | האם יש פתרון למשוואה <math>f(n)=7</math>? | ||
שורה 77: | שורה 98: | ||
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | '''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | ||
::<math>|x^2-5x+4|>|x^2-5x|</math> | ::<math>|x^2-5x+4|>|x^2-5x|</math> | ||
+ | |||
+ | =אי שיוויונים מעריכיים= | ||
+ | |||
+ | נניח <math>a>1</math>, אזי | ||
+ | ::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\leq y</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': נניח כי <math>a<1</math> הוכח כי: | ||
+ | |||
+ | ::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\geq y</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': מצא לאילו ערכים של <math>a,x</math> מתקיים אי השיוויון הבא: | ||
+ | ::<math>a^x<1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | ||
+ | |||
+ | ::<math>|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': הראה כי | ||
+ | |||
+ | אם <math>a>1</math> אזי | ||
+ | ::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<x\leq y</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ואם <math>a<1</math> אזי | ||
+ | ::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<y\leq x</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: | ||
+ | |||
+ | ::<math>\log_3(x)>log_9(x+1)</math> |
גרסה אחרונה מ־10:49, 29 ביוני 2015
ערך מוחלט ואי שיוויונים
הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:
תכונות של הערך המוחלט
- לכל x מתקיים
אם ורק אם
- אי שיוויון המשולש:
הוא המרחק בין x לבין y
- נניח
אזי
אם ורק אם
אם ורק אם
או
תכונות של אי שיוויונים
אם ורק אם
- נניח
אזי
אם ורק אם
- נניח
אזי
אם ורק אם
תרגילים
תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש
תרגיל: הוכח כי
תרגיל: יהיו מספרים ממשיים. יהי
מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:
הוכח כי
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)
תרגיל: נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי ואם n אינו זוגי אזי
האם יש פתרון למשוואה ?
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
אי שיוויונים מעריכיים
נניח , אזי
אם ורק אם
תרגיל: נניח כי הוכח כי:
אם ורק אם
תרגיל: מצא לאילו ערכים של מתקיים אי השיוויון הבא:
תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
תרגיל: הראה כי
אם אזי
אם ורק אם
ואם אזי
אם ורק אם
תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: