הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/2.8.12"
(←פתרון) |
|||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 40: | שורה 40: | ||
{{משל}} | {{משל}} | ||
− | + | = משוואות ריקטי = | |
אלה מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה <math>y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)}</math>, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה. | אלה מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה <math>y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)}</math>, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה. | ||
− | + | == הוכחה == | |
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים <math>y\cdot(cA+B)=ca+b</math> ולכן <math>c(yA-a)-b+yB=0</math>. נגזור את שני האגפים ונקבל <math>c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0</math>. נציג את שתי המשוואות האחרונות בצורה <math>{\color{Blue}\begin{pmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math> ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: <math>\begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0</math>. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־<math>y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0</math>, כדרוש. | ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים <math>y\cdot(cA+B)=ca+b</math> ולכן <math>c(yA-a)-b+yB=0</math>. נגזור את שני האגפים ונקבל <math>c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0</math>. נציג את שתי המשוואות האחרונות בצורה <math>{\color{Blue}\begin{pmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math> ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: <math>\begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0</math>. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־<math>y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0</math>, כדרוש. | ||
שורה 85: | שורה 85: | ||
==== מקרה 2 ==== | ==== מקרה 2 ==== | ||
− | <math>x</math> לא מופיעה | + | <math>x</math> לא מופיעה במד״ר. צורתה <math>F(y,y')=0</math>, ובהצבת <math>z=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(y,z)=0</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\mathrm dy}z=\mathrm dx</math> ולכן <math>x=\int\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. לפיכך, אם <math>y=\varphi(z)</math> אזי <math>x=\frac{\varphi(z)}z+\int\frac{\varphi(z)}{z^2}\mathrm dz</math>. |
===== תרגיל ===== | ===== תרגיל ===== | ||
שורה 100: | שורה 100: | ||
====== פתרון ====== | ====== פתרון ====== | ||
− | אחרי הצבה <math>z=y'</math> נקבל <math>x=z\sin(z)</math> ולבסוף <math>y=z\cdot z\sin(z)-\int z\sin(z)\mathrm dz=c | + | אחרי הצבה <math>z=y'</math> נקבל <math>x=z\sin(z)</math> ולבסוף <math>y=z\cdot z\sin(z)-\int z\sin(z)\mathrm dz=c+z^2\sin(z)+z\cos(z)-\sin(z)</math>. נציב חזרה <math>z=y'</math> ונקבל את מקרה 2. {{משל}} |
==== מקרה 4 ==== | ==== מקרה 4 ==== | ||
שורה 109: | שורה 109: | ||
====== פתרון ====== | ====== פתרון ====== | ||
− | נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=z</math>, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. כמו כן, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+ | + | נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=z</math>, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. כמו כן, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c_1</math>. עתה, <math>t=\frac{x+c}a</math> ולכן <math>y=a\cosh\left(\frac{x+c}a\right)</math>. {{משל}} |
==== מקרה 5 ==== | ==== מקרה 5 ==== | ||
<math>x</math> מופיעה ו־<math>y</math> לא, כלומר <math>F(x,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. נציב <math>z=y',x=\varphi(t)</math> ולכן <math>F(\varphi(t),z)=0</math>. נסמן <math>z=\psi(t)</math> ונגלה כי <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה ולפי הגדרת <math>\varphi</math> נקבל <math>\begin{cases}y=\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt\\x=\varphi(t)\end{cases}</math>. | <math>x</math> מופיעה ו־<math>y</math> לא, כלומר <math>F(x,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. נציב <math>z=y',x=\varphi(t)</math> ולכן <math>F(\varphi(t),z)=0</math>. נסמן <math>z=\psi(t)</math> ונגלה כי <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה ולפי הגדרת <math>\varphi</math> נקבל <math>\begin{cases}y=\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt\\x=\varphi(t)\end{cases}</math>. |
גרסה אחרונה מ־16:43, 7 באוקטובר 2012
תוכן עניינים
מד״ר מסדר שני
הצורה הכללית של מד״ר כזו היא , והפתרון הוא מהצורה .
בעיית קושי מסדר 2
זו בעיה שבה אנו נדרשים לפתור מד״ר עם שני תנאי התחלה (מובן ש־ אינו הנגזרת של הקבוע , אלא ערך הנגזרת בנקודה ).
סוגים נפוצים
סוג 1
מתקיים . ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה פעמים (במקרה שלנו, ).
סוג 2
אלה מד״ר שבהן ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:
מקרה 1
לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה . במקרה זה נציב ונקבל מד״ר מסדר ראשון.
תרגיל
פתרו את המד״ר .
פתרון
נציב ולכן: | ||||||
נסמן : | ||||||
מקרה 2
לא מופיע במשוואה, כלומר המד״ר מהצורה . שוב נגדיר , ואז . המד״ר הופכת ל־, כלומר מד״ר מסדר ראשון של . נובע ש־.
תרגיל
פתרו .
פתרון
נציב באופן הנ״ל ונקבל
משוואות ריקטי
אלה מד״ר מהצורה . פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה , ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
הוכחה
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים ולכן . נגזור את שני האגפים ונקבל . נציג את שתי המשוואות האחרונות בצורה ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: . נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־, כדרוש.
לצד השני, יהי פתרון רגולרי של משוואת ריקטי. נציב במד״ר (כאשר פונקציה לא ידועה) ונגלה ש־
פתרון, לכן: |
לכן פתרון של משוואת ברנולי עם , ולפיכך הוא מהצורה . לבסוף הפתרון מהצורה .
מערכת מד״ר מסדר ראשון
זו מערכת מהצורה כאשר היא מערכת של פונקציות. המערכת היא ב־ משתנים. בצורה נורמלית: . לפיכך הפתרון הכללי הינו מהצורה . לדוגמה, היא מערכת מד״ר.
בעיית קושי
במערכת מד״ר מסדר 1, בעיית קושי היא לפתור את המד״ר עם תנאי ההתחלה .
משפט
מד״ר מסדר (נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית) שקולה למערכת של מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות־והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים ערכי ההתחלה אז המד״ר שקולה לבעיית קושי עבור המערכת.
הוכחה
נתונה המד״ר ונסמן . לכן . נוסיף את המד״ר הבאות: . המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למערכת המקורית.
דוגמה
. נציב ו־ ולפיכך .
מד״ר סתומות מסדר 1
אלה מד״ר שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.
סוגים נפוצים
מקרה 1
משוואה מסדר 1 וממעלה : . מכאן שקיימות פונקציות שעבורן .
תרגיל
פתרו .
פתרון
מקרה 2
לא מופיעה במד״ר. צורתה , ובהצבת נקבל . נשים לב ש־ ולכן . לפיכך, אם אזי .
תרגיל
פתרו .
פתרון
נסמן ונציב במד״ר: . עתה , וזו מד״ר ממקרה 1, שאותו אנו כבר יודעים לפתור.
מקרה 3
לא מופיעה, . שוב נציב , ונניח . אזי .
תרגיל
פתרו .
פתרון
אחרי הצבה נקבל ולבסוף . נציב חזרה ונקבל את מקרה 2.
מקרה 4
מופיעה ו־ לא, כלומר , והמד״ר סתומה. כרגיל, נגדיר . אם ו־ אזי , ומכאן ש־. לבסוף, .
תרגיל
פתרו .
פתרון
נסמן , נציב במד״ר ונקבל . כמו כן, . עתה, ולכן .
מקרה 5
מופיעה ו־ לא, כלומר , והמד״ר סתומה. נציב ולכן . נסמן ונגלה כי . מאינטגרציה ולפי הגדרת נקבל .