הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5"
מתוך Math-Wiki
(←משפט דה-מואבר) |
(←משפט דה-מואבר) |
||
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 28: | שורה 28: | ||
::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math> | ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''מציאת השורשים''' למשוואה מהצורה: | ||
+ | |||
+ | ::<math>z^n=rcis\theta</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נוסחא: כל השורשים הם מהצורה <math>\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})</math> | ||
+ | |||
+ | כאשר <math>k=0,1,2,...,n-1</math> | ||
+ | |||
שורה 57: | שורה 69: | ||
− | + | נשים לב כי <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math> | |
− | ולכן <math> | + | ולכן <math>4\theta = 2\pi k</math> |
− | ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{ | + | ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{4}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math> |
שורה 83: | שורה 95: | ||
השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות. | השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות. | ||
+ | |||
'''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math> | '''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math> | ||
+ | |||
'''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math> | '''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math> |
גרסה אחרונה מ־12:26, 22 באוגוסט 2017
משפט דה-מואבר
מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:
כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.
הוכחה:
מסקנה: משפט דה-מואבר
מציאת השורשים למשוואה מהצורה:
נוסחא: כל השורשים הם מהצורה
כאשר
תרגיל:
מצא את כל הפתרונות למשוואה
פתרון:
נסמן . עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:
לכן . ו- היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.
הזויות המקיימות את זה הן:
כיצד ניתן לחשב את כולן?
נשים לב כי
ולכן
ולכן כאשר
תרגיל:
הוכח כי
פתרון:
השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.
תרגיל: פתרו את המשוואה
תרגיל: חשב את הביטוי