|
|
| (7 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| ==שיטות הוכחה==
| | [[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי התרגול]] |
|
| |
|
| ===הוכחה בשלילה===
| | [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1|מבוא לתורת הקבוצות]] מקורס בדידה |
| הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה <math>(\sim p \rightarrow F)\rightarrow p</math>. בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה.
| |
| | |
| שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל.
| |
| | |
| | |
| דוגמא:
| |
| | |
| '''תרגיל''' תהיינה A,B קבוצות המקיימות <math>A\backslash B=B\backslash A</math>. הוכח כי <math>A=B</math>
| |
| | |
| | |
| '''הוכחה בשלילה''':
| |
| | |
| | |
| :נתון: <math>A\backslash B=B\backslash A</math>
| |
| | |
| | |
| :צ"ל: <math>A=B</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| '''נניח בשלילה''' כי <math>A\neq B</math>.
| |
| | |
| | |
| לכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a\notin B</math> (או ההפך)
| |
| | |
| | |
| לכן לפי ההגדרה <math>a\in A\backslash B</math> אבל <math>a\notin B\backslash A</math> (או ההפך)
| |
| | |
| | |
| לכן <math>A\backslash B\neq B\backslash A</math>
| |
| | |
| | |
| '''בסתירה'''.
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| '''דוגמא'''. תהיינה A,B קבוצות כך ש <math>(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B</math> הוכח כי <math>A\cap B = \phi</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| ===הכלה דו כיוונית===
| |
| | |
| בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי <math>A=B</math> מספיק להוכיח כי <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>
| |
| | |
| | |
| '''דוגמא'''. תהיינה קבוצות A,B המקיימות <math>A\cup B = A \cap B</math>. הוכח כי <math>A=B</math>
| |
| | |
| | |
| '''הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית''':
| |
| | |
| | |
| מהנתון ניתן להסיק כי <math>A\cup B \subseteq A \cap B</math>
| |
| | |
| | |
| לכן בפרט <math>A\cup B \subseteq A </math> וגם <math>A\cup B \subseteq B</math>
| |
| | |
| | |
| לכן <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>
| |
| | |
| | |
| וביחד לפי הכלה דו-כיוונית <math>A=B</math>
| |
| | |
| | |
| ===הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים===
| |
| | |
| על מנת להוכיח טענת '''לכל''', אנו לוקחים איבר כללי ללא תנאים ומראים כי הטענה נכונה לגביו. הוכחות כאלו מתחילות במילה 'יהי'.
| |
| | |
| על מנת להוכיח טענת '''קיים''', אנו מספקים דוגמא מסויימת, או מוכיחים שדוגמא כזו קיימת (מבלי לספק אותה במפורש).
| |
| | |
| | |
| שימו לב שעל מנת להפריך טענת '''לכל''' יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת '''קיים''' יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.
| |
| | |
| | |
| | |
| '''דוגמא'''
| |
| | |
| הוכח כי לכל ממשי חיובי x קיים מספר טבעי n כך ש <math>\frac{1}{n} < x</math>
| |
| | |
| | |
| '''הוכחת הכמת לכל''':
| |
| | |
| '''יהי''' מספר טבעי חיובי '''כלשהו''' x.
| |
| | |
| צריך למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{n} < x</math>
| |
| | |
| | |
| לכן, מספיק למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{x} < n</math>
| |
| | |
| | |
| כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| '''דוגמא'''
| |
| | |
| תהי קבוצה B. הוכח כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש <math>A\cap B = B</math>
| |
| | |
| | |
| '''הוכחת הכמת קיים''':
| |
| | |
| על מנת להוכיח קיום, מספיק למצוא דוגמא אחת. למשל, אם ניקח A=B נקבל את מה שרצינו.
| |
| | |
| | |
| '''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.
| |
