שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/תיכוניסטים

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תשובה לשאלה של אוהד:

אפשר להניח שפונקציות אלמנטריות הן רציפות (ולכן אפשר "סתם" להציב בהן את הגבולות - כל עוד אין חלוקה באפס ובעיות דומות). כרגע זאת באמת סתם הנחה בלי להבין למה. נראה לזה הצדקה כשנגיע לרציפות - בעוד שבוע שבועיים.

ודרך אגב - אני אשמח אם תשאלו שאלות כאן ולא דרך facebook.--איתמר שטיין 10:41, 30 באוקטובר 2012 (IST)

תרגיל 3 שאלה 1

הפונקציה f מוגדרת מE לממשיים, אבל אם הראשית או כל נקודה על הישר y=0 נמצאים בE אז הפונקציה לא מוגדרת באותן הנקודות.

השאלה היא האם אפשר להניח שהנקודות הנ"ל לא נמצאות בE?

תשובה:כן, זאת הייתה הכוונה. אפשר להניח שב [math]\displaystyle{ E }[/math] אין נקודות עם [math]\displaystyle{ y=0 }[/math].--איתמר שטיין 13:03, 13 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 3 שאלה 2.

אפשר לקבל הכוונה לא',

h(y) תלויה בערכי הx שאתה מציב בה,זאת אומרת h1(y)=f(x', y) h2(y)=f(x, y) הינן פונקציות שונות כל עוד x' שונה מx

רציתי לפרק את הבעיה לפי הצירים,(להביט ברציפות על x וברציפות על y) וודבר זה מוביל לבעייתיות, שכן בעבור כל x הפונקציה h(y) שונה ויש לדרוש דלתא אחר בהגדרת הגבול.

כמו שאמרנו - אתם צודקים, הייתה טעות בשאלה.--איתמר שטיין 23:48, 18 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 4 שאלות 4 5

לדעתי יש טעות בשאלה משום שלא נתונות לנו ערכי הנגזרות החלקיות של פונקציה F(שאלה 4) בנוסף בשאלה 5 - האם מדובר על נגזרות חלקיות ?

תשובה: בשאלה 4 אין טעות. (אני חושב שיש אפילו נתון מיותר).

לגבי שאלה 5, כן. [math]\displaystyle{ f_x,f_y }[/math] הן הנגזרות החלקיות לפי [math]\displaystyle{ x,y }[/math] בהתאמה. זה מקובל פעמים רבות לסמן אותם בלי התג של נגזרת.--איתמר שטיין 08:32, 21 בנובמבר 2012 (IST)

עדכון: לגבי שאלה 4. דיברתי עם מיכאל (שהוא גם כתב את השאלה וגם מבין באנליזה הרבה יותר ממני), והוא מסכים שהשאלה במתכונתה הנוכחית לא מספיק ברורה.

במקום [math]\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial u},\quad \frac{\partial z}{\partial v} }[/math]

אתם יכולים להניח שכתוב [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u},\quad \frac{\partial f}{\partial v} }[/math].

נתקן את הקובץ בקרוב.

(כשכותבים [math]\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial u} }[/math], הכוונה היא הנגזרת במשתנה הראשון של [math]\displaystyle{ z }[/math], כאשר הוא מוגדר כפונקציה של [math]\displaystyle{ u,v }[/math] שזה שווה ל [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u} }[/math] במקרה שלנו).

דרך אגב למי שרוצה: אם אין לי טעות חישוב, מספיק לדעת את [math]\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial u} }[/math] כדי לחשב את הערך המבוקש בשאלה. --איתמר שטיין 12:20, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 4 שאלה 4ב

האם למשוואה עם הנגזרות החלקיות שם יש משמעות גיאומטרית יפה (או, האם הפתרונות הן צורות גיאומטריות יפות)? קשה לי לדמיין אותו (גם אחרי המרת המשוואה כדרוש בשאלה)

אבוי! הייתה לי טעות קטנה, כעת המשמעות של המשוואה מאוד יפה :)

תרגיל 4 שאלה 2 סעיפים א', ב'

בסעיפים אלה הכוונה לנגזרת החלקית לפי x?

תשובה: כן. שאלו על הסימון הזה כמה שאלות קודם.--איתמר שטיין 23:09, 24 בנובמבר 2012 (IST)

פתרונות לתרגילים

אפשר בבקשה לפרסם את הפתרונות לשיעורי הבית?

תשובה: כן, נתחיל השבוע להעלות פתרונות.--איתמר שטיין 23:12, 24 בנובמבר 2012 (IST)

נגזרת מכוונת

ההגדרה הראשונית עם הגבול, תופסת לכל וקטור או רק לוקטור יחידה?

וכנ"ל לגבי המשפט בנוגע למצב בו f דיפרנציאבילית?

תשובה: אני מקווה שהבנתי את השאלה נכון.

אם מסמנים [math]\displaystyle{ D_u(f)(a)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t} }[/math] כמו שאני סימנתי.

אז הגבול הזה הוא הנגזרת הכיוונית בכיוון [math]\displaystyle{ u }[/math] רק כש [math]\displaystyle{ u }[/math] מנורמל. אם הוא לא מנורמל אז ייתכן שיהיה גבול אבל הוא לא הנגזרת הכיוונית - יהיה צריך לנרמל.

כאשר [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית, מתקיים לכל [math]\displaystyle{ u }[/math] (לאו דווקא מנורמל), כי

[math]\displaystyle{ \nabla f(a) \cdot u=D_u(f)(a) }[/math]

אבל רק כאשר [math]\displaystyle{ u }[/math] מנורמל זאת באמת הנגזרת הכיוונית.--איתמר שטיין 15:36, 30 בנובמבר 2012 (IST)

עוד הערה: גם אם [math]\displaystyle{ u }[/math] לא וקטור יחידה, ברור ש [math]\displaystyle{ D_u(f)(a) }[/math] קיים אם ורק אם הנגזרת הכיוונית בכיוון [math]\displaystyle{ u }[/math] קיימת.

לכן עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית ב [math]\displaystyle{ a }[/math], הביטוי [math]\displaystyle{ D_u(f)(a) }[/math] תמיד מוגדר.--איתמר שטיין 15:39, 30 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 שאלה 7

למה הכוונה ב Ux? --ג.יפית 14:46, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תשובה: אני לא רואה איפה יש [math]\displaystyle{ U_x }[/math] בשאלה 7. באופן כללי [math]\displaystyle{ f_x\quad g_{st} }[/math] וכדומה מציינים נגזרות חלקיות.--איתמר שטיין 22:41, 1 בדצמבר 2012 (IST) מופיע שמה שאלה 7 למטה באמ"ם זה כנראה טעות זה אמור להיות [math]\displaystyle{ f_x }[/math]?

תשובה: אני כנראה עיוור. כן,זה צריך להיות [math]\displaystyle{ f_x }[/math].--איתמר שטיין 14:41, 2 בדצמבר 2012 (IST)

נגזרת מכוונת

היי בתרגול האחרון ניתנה שאלה :נתונה גבעה (z=F(x,y יש מים בנקודה מסויימת , לאיזה כיוון בR3 יפנו המים . לא הבנתי את הפתרון - אפשר הסבר מפורט ? תודה

תשובה: הפתרון הוא [math]\displaystyle{ (-f_x(x_0),-f_y(x_0),-||\nabla(f)(x_0)||^2) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא הנקודה המדוברת. (שימו לב שזה וקטור כיוון, האורך שלו לא מעניין, רק הכיוון).

הסבר:

ראשית נסביר את 2 הקומפוננטות הראשונות: [math]\displaystyle{ -f_x(x_0),-f_y(x_0) }[/math]

היות ו[math]\displaystyle{ \nabla f(a)\cdot u = D_u(f)(a) }[/math] (אנחנו הרי מניחים ש [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית).

אז מתקיים שאם [math]\displaystyle{ ||u|| }[/math] וקטור יחידה אז [math]\displaystyle{ \nabla f(a)\cdot u = \frac{\partial f}{\partial u}(a) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u}(a) }[/math] מייצג נגזרת כיוונית בכיוון [math]\displaystyle{ u }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math].

לפי אי שוויון קושי שורץ

[math]\displaystyle{ |\frac{\partial f}{\partial u}(a)|=|\nabla f(a)\cdot u|\leq ||\nabla f(a)||||u||=||\nabla f(a)|| }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ ||\nabla f(a)|| }[/math] חוסם את ערכי הנגזרת הכיוונית האפשריים.

קל לראות שמתקבל [math]\displaystyle{ max }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ u=\frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} }[/math] ו min כאשר [math]\displaystyle{ u=-\frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} }[/math].

במילים אחרות: נגזרת כיוונית מירבית מתקבלת בכיוון הגרדיאנט ונגזרת כיוונית מזערית מתקבלת בכיוון מינוס הגרדיאנט.

המים ירצו לנוע כמה שיותר מהר למטה - לכיוון שבו השיפוע קטן ביותר = לכיוון שבו הנגזרת הכיוונית קטנה ביותר = לכיוון מינוס הגרדיאנט בנקודה.

זה מסביר את שיעורי ה[math]\displaystyle{ x,y }[/math].

נותר להסביר את שיעור ה [math]\displaystyle{ z }[/math].

הכיוון שאליו הכדור יפנה יהיה וקטור שנמצא על המישור המשיק למשטח בנקודה זו. (לצורך העניין זה נדרש מההגדרה של המושג - כיוון שאליו פונים)

המישור המשיק הוא כל הוקטורים שניצבים לגרדיאנט של [math]\displaystyle{ F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 }[/math]

הגרדיאנט הוא [math]\displaystyle{ (f_x,f_y,-1) }[/math]. כדי ש [math]\displaystyle{ (-f_x,-f_y,z) }[/math] יהיה ניצב אליו. צריך ש [math]\displaystyle{ z=-f_x^2-f_y^2=-||\nabla f||^2 }[/math].

מקווה שזה ברור.--איתמר שטיין 23:01, 1 בדצמבר 2012 (IST)

ואם כבר אז אני אכתוב גם כאן מה שכתבתי בעמוד של התרגילים - בשאלה 4א, יש הרבה נקודות שמקיימות את הדרוש - ולכל נקודה שמקיימת את הדרוש יתאים [math]\displaystyle{ a }[/math] אחר. אתם מתבקשים רק למצוא נקודה אחת כזאת. --איתמר שטיין 23:05, 1 בדצמבר 2012 (IST)

לגבי ציונים

היי, רק עכשיו שמתי לב שיש ציונים באתר... הגשתי את תרגיל 1 ולמרות זאת - אין לי ציון בדף התרגילים אודה לבדיקת העניין, לירון עמיחי. (313485567)

(מצטער שאני לא עושה זאת במייל, אבל פשוט הוא לא כתוב בשום מקום )

תשובה: יכול להיות שאתה קיבלת 98 ושכחת לכתוב שם?

שימו לב שיש שלושה תרגילים שלא כתבו עליהם שם. מי שזה שלו שישלח לי מייל. Steinita@walla.com--איתמר שטיין 17:02, 18 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 8 שאלה 5

האם אנחנו חייבים להשתמש בכופלי לגראנז'? לפחות שיש פתרון הרבה יותר קצר וטריוויאלי?

תשובה: אפשר לפתור איך שרוצים כל עוד הפתרון נכון.--איתמר שטיין 10:21, 23 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 8 שאלה 5

מהם ה - [math]\displaystyle{ alpha_i }[/math] שם?

מספרים ממשיים כלשהם. (אני מצטער שהתשובות לשאלות הגיעו באיחור - היו אילוצים)--איתמר שטיין 10:23, 23 בדצמבר 2012 (IST)

שאלה 3 סעיף ב'

אפשר לקבל הכוונה? תודה

אובד עצות

רמז: יש כלים שקשורים לדטרמיננטות שלמדתם באלגברה לינארית. נראה לי שהדרך הכי פשוטה לפתור את סעיף ב' היא להשתמש באחד מהם. מקווה שזה עוזר.--איתמר שטיין 12:07, 24 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 9 שאלה 6

אפשר להשתמש בכך שאיחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס הוא ממידה אפס?

אגב, בכל שאלה של כופלי לגראנז' יש קיצור דרך

תשובה:

לא חשבתי על זה.

זה לא הוגן להגיד לא. אפשר להשתמש בכל מה שראיתם בהרצאה או בכל דרך שתרצו.

מי שרוצה בכל זאת שיהיה קצת אתגר בשאלה שינסה להוכיח שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] יש כיסוי סופי.

בקשר לכופלי לגרנז' - בשאלה עם מרחק נקודה ממישור אני מבקש להשתמש בכופלי לגרנז' (אני יודע שיש דרכים אחרות).

בשאר השאלות - איך שאתם רוצים, אני ממליץ כופלי לגרנז' כי בסופו של דבר זה מה שאתם לומדים. --איתמר שטיין 15:49, 1 בינואר 2013 (IST)

איתמר, הזכרת בתרגול שלא ניתן לחשב בדרך אחרת נפח כדור

http://he.wikipedia.org/wiki/23_%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98

תוכל לפרט? בכל אופן, אין קשר לבעיות של הילברט...

תשובה: דיברתי על נפח פירמידה, זאת הבעיה השלישית של הילברט (והראשונה שנפתרה)

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%A9%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98

הצגתי אותה באופן קצת פשטני. בכל מקרה זאת הייתה הערת אגב, אני לא מבין גדול בנושא.--איתמר שטיין 15:53, 17 בינואר 2013 (IST)

שאלה 5ב במבחן

אשמח אם מישהו יעלה לפה את המבחן. בכל אופן, השאלה הייתה כזו: מצא את נפח הגוף החסום ע"י המשטחים הבאים: [math]\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2},z=0,x^{2}+y^{2}=x,x^{2}+y^{2}=2x }[/math]

גישה פשוטה שנראית לי נכונה: בוא נגיד ש D הוא התחום הנ"ל. [math]\displaystyle{ \int _D 1 dxdydz = \int _E x^{2}+y^{2} dxdy }[/math]

כאשר E זה השטח שחסום בין המעגלים [math]\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x,x^{2}+y^{2}=x }[/math] וזה נובע בקלות ממשפט פרוביני (ה"מורחב").

אותם עיגולים בכתיב קצת שונה הם [math]\displaystyle{ (x-1)^{2}+y^{2} \leq 1, (x-0.5)^{2}+y^{2} \leq 0.25 }[/math]. בואו נגיד ש G זה התחום שהוא העיגול הראשון (הגדול) ו F הוא העיגול הקטן, אז קיבלנו:

[math]\displaystyle{ \int _E x^{2}+y^{2} dxdy = \int _G x^{2}+y^{2} dxdy - \int _F x^{2}+y^{2} dxdy }[/math]

בשביל הפשטות בואו נזיז את העיגולים G,F שיהיו בראשית הצירים ז"א עיגולים ברדיוסים 1,0.5 בהתאמה סביב ראשית הצירים, ונקרא להם 'G',F. אז קיבלנו עכשיו שכל הלמעלה שווה ל

[math]\displaystyle{ \int _{G'} x^{2}+2x+1+y^{2} dxdy - \int _{F'} x^{2}+x+0.25 + y^{2} dxdy }[/math]

אבל עיגול סביב ראשית הצירים הוא סימטרי ביחס לציר x, לכן הביטויים "x" ו "2x" לא רלוונטיים.

[math]\displaystyle{ \int _{G'} x^{2}+1+y^{2} dxdy - \int _{F'} x^{2}+0.25 + y^{2} dxdy }[/math]

עכשיו, מה זה [math]\displaystyle{ x^{2}+y^{2} }[/math] בהצבה פולארית? זה [math]\displaystyle{ r^{2} }[/math]. אז אם באמת נעבור להצגה פולארית בכל אחד מהאינטגרלים יהיה איזה [math]\displaystyle{ r^{3} }[/math] [בגלל ההצבה הוספנו r] וזה אינטגרל שנעשה על r-ים מתאימים ועל זווית מ 0 עד 2pi.

לכן סה"כ קיבלנו (שימו לב שאנחנו יודעים כמה זה שטח של עיגול, אז אינטגרציה של קבוע על מעגל זה קל): [math]\displaystyle{ ( \pi 1 + 2\pi \cdot 0.25 \cdot (1-0)) - ( \pi \cdot 0.25 \cdot 0.25 + 2\pi \cdot 0.25 \cdot (\frac{1}{16}-0)) = \frac{45}{32} \pi }[/math]

האם זו התשובה שיצאה גם לכם? [תבדקו שוב, קל מאוד לטעות במבחן].