שיחה:89-214 תשעג סמסטר א: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־10:08, 27 בדצמבר 2012

מה זה [math]\displaystyle{ A_4 }[/math]?

מדובר בתת-חבורה של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] התמורות הזוגיות.

בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math] הוא וקטור שרכיב ה-[math]\displaystyle{ \sigma(i) }[/math] שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, [math]\displaystyle{ GL_n }[/math]. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא [math]\displaystyle{ A_n }[/math].

מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.

לדוגמה: מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, [math]\displaystyle{ (ab)(bc)=(abc) }[/math] לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. מחזור באורך 4 אינו זוגי. [math]\displaystyle{ (ab)(bc)(cd)=(abcd) }[/math]

אפשר להגיש עד 6, היום (חמישי)?

רק עכשיו שמתי לב שההגשה ב 12

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== 5.3.14 ==
+== מה זה <math>A_4</math>? ==
-לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של
+מדובר בתת-חבורה של <math>S_4</math> התמורות הזוגיות.
-<math>G^{n-1}</math>?
-== 5.3.9 ==
+בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה <math>\sigma</math> ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא <math>e_{\sigma(i)}</math>, כאשר <math>e_{\sigma(i)}</math> הוא וקטור שרכיב ה-<math>\sigma(i)</math> שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של <math>S_n</math> לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, <math>GL_n</math>. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא <math>\pm1</math> מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של
-הבהרה לגבי חבורת קיילי (<math>K</math>) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של <math>S_4</math>. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.
+מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא <math>A_n</math>.
-== 5.3.11 ==
+מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.
-היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של <math>G</math> שמוכלות ב <math>H</math>. זאת אומרת, לכל תת-חבורה <math>N</math> נורמלית של <math>G</math> שמוכלת ב <math>H</math>, מתקיים  <math>N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg </math>
+'''לדוגמה:''' מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, <math>(ab)(bc)=(abc)</math> לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית.
+מחזור באורך 4 אינו זוגי. <math>(ab)(bc)(cd)=(abcd)</math>
+== אפשר להגיש עד 6, היום (חמישי)? ==
+רק עכשיו שמתי לב שההגשה ב 12