הבדלים בין גרסאות בדף "מערך תרגול 6"
מתוך Math-Wiki
חיים רוזנר (שיחה | תרומות) (←פתרון) |
|||
(10 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | = דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות = | |
− | + | ||
− | + | == מרכז של חבורה == | |
− | + | === הגדרה === | |
+ | לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. | ||
+ | דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G: gh=hg \}</math>. | ||
− | + | === משפט === | |
+ | <math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>. | ||
+ | |||
+ | == תרגיל == | ||
+ | הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית. | ||
+ | |||
+ | === פתרון === | ||
+ | |||
+ | <math>\Leftarrow</math> ברור. | ||
<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>. | <math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>. | ||
− | קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\ | + | קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\cup_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. כלומר, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>. |
אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>. | אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>. |
גרסה אחרונה מ־10:41, 28 בינואר 2013
תוכן עניינים
דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות
מרכז של חבורה
הגדרה
לכל חבורה מגדירים את המרכז שלה, כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו .
משפט
הוא תת-חבורה נורמלית של .
תרגיל
הוכח G אבלית ציקלית.
פתרון
ברור.
. נניח ש ציקלית. אזי, קיים כך ש . קוסטים מהווים חלוקה של לכן מתקיים . יהיו . אזי קיימים כך ש . כלומר, .
אזי מתקיים: .