|
|
| (50 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
| | לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה. |
|
| |
|
|
| |
|
| ==שאלה 1==
| | לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים) |
| | |
| ===סעיף ב===
| |
| | |
| ידוע כי
| |
| <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math>
| |
| | |
| נניח ש
| |
| | |
| <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math>
| |
| | |
| | |
| נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math>
| |
| | |
| כלומר
| |
| | |
| <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| (במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>)
| |
| | |
| הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math>
| |
| | |
| נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
| |
| | |
| לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש
| |
| | |
| <math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math>
| |
| | |
| וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| זה מוכיח את טענת העזר.
| |
| | |
| כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים
| |
| | |
| <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים
| |
| | |
| <math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math>
| |
| | |
| בגלל שהטור
| |
| <math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
| |
| מתבדר
| |
| | |
| נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
| |
| | |
| ==שאלה 2==
| |
| | |
| ===סעיף א===
| |
| | |
| טענת עזר: אם <math>A,B</math> קבוצות חסומות מלעיל אז
| |
| | |
| | |
| <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>
| |
| | |
| | |
| הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math>
| |
| | |
| * תכונה א': חסם מלעיל של <math>A+B</math>. הוכחה:
| |
| | |
| | |
| אם <math>x\in A+B</math> אז ניתן לכתוב <math>x=a+b</math> כאשר <math>a\in A, b\in B</math>.
| |
| | |
| היות ו <math>a\leq \sup(A)</math> ו <math>b\leq \sup(B)</math> מתקיים
| |
| | |
| <math>x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)</math>
| |
| | |
| | |
| * תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
| |
| | |
| יהי <math>y</math> איזשהוא חסם מלעיל של <math>A+B</math>
| |
| | |
| נניח בשלילה ש <math>y<\sup(A)+\sup(B)</math>
| |
| | |
| אז נקבל ש <math>y-\sup(B)<\sup(A)</math>
| |
| | |
| ולכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>y-\sup(B)<a</math>
| |
| | |
| מכאן נקבל <math>y-a<\sup(B)</math>
| |
| | |
| ולכן קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>y-a<b</math>
| |
| | |
| ולכן <math>y<a+b\in A+B</math>
| |
| | |
| בסתירה לכך ש <math>y</math> חסם מלעיל של <math>A+B</math>
| |
| | |
| לכן בהכרח מתקיים <math>\sup(A)+\sup(B)\leq y</math>
| |
| | |
| לסיכום: הוכחנו שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
| |
| | |
| ולכן <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>. מש"ל טענת עזר.
| |
| | |
| עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
| |
| | |
| <math>\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)</math>
| |
| | |
| מש"ל.
| |
| | |
| ===סעיף ב===
| |
| | |
| הפרכה פשוטה, ניקח <math>a_n=-\frac{1}{n}</math> ו <math>b_n=\frac{1}{n}</math>
| |
| | |
| מתקיים שלכל <math>n\in \mathbb{N}</math>
| |
| <math>a_n<b_n</math>
| |
| (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>).
| |
| | |
| אבל
| |
| | |
| <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0</math>
| |
| | |
| | |
| שתי הערות:
| |
| א) כמעט לכל <math>n</math> פירושו: לכל <math>n</math> פרט למספר סופי של מקרים.
| |
| | |
| אן לחילופין: קיים <math>N\in \mathbb{N}</math> כך שהטענה מתקיימת לכל <math>n>N</math>.
| |
| | |
| ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
| |
| | |
| אם <math>a_n\leq b_n</math> ו
| |
| | |
| <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b</math>
| |
| | |
| אז
| |
| | |
| <math>a\leq b</math>.
| |
