משתמש:איתמר שטיין: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
 
(49 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.




==שאלה 2==
לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)
 
===סעיף א===
 
טענת עזר: אם <math>A,B</math> קבוצות חסומות מלעיל אז
 
 
<math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>
 
 
הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math>  מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math>
 
* תכונה א': חסם מלעיל של <math>A+B</math>. הוכחה:
 
 
אם <math>x\in A+B</math> אז ניתן לכתוב <math>x=a+b</math> כאשר <math>a\in A, b\in B</math>.
 
היות ו <math>a\leq \sup(A)</math> ו <math>b\leq \sup(B)</math> מתקיים
 
<math>x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)</math>
 
 
* תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
 
יהי <math>y</math> איזשהוא חסם מלעיל של <math>A+B</math>
 
נניח בשלילה ש <math>y<\sup(A)+\sup(B)</math>
 
אז נקבל ש <math>y-\sup(B)<\sup(A)</math>
 
ולכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>y-\sup(B)<a</math>
 
מכאן נקבל <math>y-a<\sup(B)</math>
 
ולכן קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>y-a<b</math>
 
ולכן <math>y<a+b\in A+B</math>
 
בסתירה לכך ש <math>y</math> חסם מלעיל של <math>A+B</math>
 
לכן בהכרח מתקיים <math>\sup(A)+\sup(B)\leq y</math>
 
לסיכום: הוכחנו שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
 
ולכן <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>. מש"ל טענת עזר.
 
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
 
<math>\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)</math>
 
מש"ל.
 
===סעיף ב===
 
הפרכה פשוטה, ניקח <math>a_n=-\frac{1}{n}</math> ו <math>b_n=\frac{1}{n}</math>
 
מתקיים שלכל <math>n\in \mathbb{N}</math>
<math>a_n<b_n</math>
(ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>).
 
אבל
 
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0</math>
 
 
שתי הערות:
א) כמעט לכל <math>n</math> פירושו: לכל <math>n</math> פרט למספר סופי של מקרים.
 
אן לחילופין: קיים <math>N\in \mathbb{N}</math> כך שהטענה מתקיימת לכל <math>n>N</math>.
 
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
 
אם <math>a_n\leq b_n</math> ו
 
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b</math>
 
אז
 
<math>a\leq b</math>.

גרסה אחרונה מ־18:11, 20 בפברואר 2014

לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.


לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים)