איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 256: | שורה 256: | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
+ | *חלק א': | ||
+ | |||
+ | נשים לב שהטור | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=2}^{\infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}</math> | ||
+ | |||
+ | הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס | ||
+ | |||
+ | נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים: | ||
+ | |||
+ | נביט על הסדרה: | ||
+ | |||
+ | <math>\sqrt[n]{{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}}={(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}</math> | ||
+ | |||
+ | נחשב את הגבול | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n+1} | ||
+ | \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{-2} | ||
+ | =\lim_{n\rightarrow \infty}{(1-\frac{2}{n+1})}^{n+1} \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n-1})}^2 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =e^{-2} \lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{2}{n-1})}^2 | ||
+ | =e^{-2} | ||
+ | <1 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | (שימו לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{a_n})}^{a_n}=e^x</math> כאשר | ||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty</math> | ||
+ | ) | ||
+ | |||
+ | ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס | ||
+ | |||
+ | *חלק ב | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math> | ||
+ | |||
+ | זהו לא טור חיובי, ראשית נבדוק התכנסות בהחלט, כלומר נבדוק אם הטור | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{|\sin(nx)|}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math> | ||
+ | |||
+ | מתכנס. | ||
+ | |||
+ | אנחנו נראה שהוא מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ראשית, נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>|\sin(nx)|\leq 1</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מספיק להראות שהטור | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math> | ||
+ | |||
+ | מתכנס. | ||
+ | |||
+ | היות ויש כאן הרבה <math>\ln</math>, אנו נרצה לנסות את מבחן העיבוי. | ||
+ | |||
+ | הסדרה <math>\frac{1}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math> | ||
+ | |||
+ | היא מונוטונית, חיובית ושואפת ל <math>0</math>, ולכן ניתן להשתמש במבחן העיבוי. | ||
+ | |||
+ | נקבל שהטור | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{{(\ln n)}^{\ln n}}</math> | ||
+ | |||
+ | מתכנס אם ורק אם הטור | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=2}^{\infty}2^n\frac{1}{{(\ln {2^n})}^{\ln {2^n}}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^n}{{(n \ln 2)}^{n \ln 2}}</math> | ||
+ | |||
+ | זה טור חיובי, נבדוק את התכנסותו באמצעות מבחן קושי | ||
+ | |||
+ | נחשב את גבול הסדרה | ||
+ | |||
+ | <math>\sqrt[n]{\frac{2^n}{{(n \ln 2)}^{n \ln 2}}}</math> | ||
+ | |||
+ | ונקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} {\frac{2}{{(n \ln 2)}^{ \ln 2}}}=0<1</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס. | ||
+ | |||
+ | לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 5== | ||
+ | ===סעיף א=== | ||
+ | נחשב את גבול הפונקציה בקצות הקטע: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x\rightarrow 1} x \sin (\frac{1}{x})+\frac{\sin x}{x}=1\sin 1 + \sin 1 = 2\sin 1</math> | ||
+ | |||
+ | היות והפונקציה רציפה ב <math>x=1</math> בוודאי שיש לה שם גבול. | ||
+ | |||
+ | כמו כן: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x\rightarrow 0} x \sin (\frac{1}{x})=0</math> | ||
+ | |||
+ | כי <math>\lim_{x\rightarrow 0} x =0</math> ו <math>\sin (\frac{1}{x})</math> היא פונקציה חסומה. | ||
+ | |||
+ | ו | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן לפונקציה קיים גבול גם ב <math>x=0</math>. | ||
+ | |||
+ | זאת פונקציה רציפה ב <math>(0,1)</math> שהגבולות שלה בקצות הקטע קיימים ולכן היא רציפה במידה שווה על הקטע <math>(0,1)</math>. | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== | ||
+ | נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | זה ממוצע של הערכים | ||
+ | |||
+ | <math>f(x_1),\ldots , f(x_n)</math> | ||
+ | |||
+ | מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום. | ||
+ | |||
+ | כלומר קיימים <math>i_0,i_1</math> עבורם | ||
+ | |||
+ | <math>f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}</math> | ||
+ | |||
+ | ואז נקבל | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})</math> | ||
+ | |||
+ | ובאופן דומה | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})</math> | ||
+ | |||
+ | נניח בלי הגבלת כלליות ש | ||
+ | <math>x_{i_0}<x_{i_1}</math> | ||
+ | |||
+ | ראינו שהערך | ||
+ | <math>\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | נמצא בין <math>f(x_{i_0})</math> ל <math>f(x_{i_1})</math> | ||
+ | |||
+ | וברור ש <math>f</math> | ||
+ | רציפה על | ||
+ | <math>[x_{i_0},x_{i_1}]</math> | ||
+ | |||
+ | לכן לפי משפט ערך הביניים קיים | ||
+ | |||
+ | <math>c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)</math> | ||
+ | |||
+ | כך ש: | ||
+ | |||
+ | <math>f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> | ||
+ | |||
+ | וזה מראה את מה שנדרש | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 6== | ||
+ | === סעיף א=== | ||
+ | |||
+ | לפי משפט לגרנז', קיימת <math>d\in (a,c)</math> | ||
+ | |||
+ | כך ש | ||
+ | |||
+ | <math>f'(d)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=\frac{f(c)}{c-a}>0</math> | ||
+ | |||
+ | וקיימת <math>e\in (c,b)</math> | ||
+ | |||
+ | כך ש | ||
+ | |||
+ | <math>f'(e)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=\frac{-f(c)}{b-c}<0</math> | ||
+ | |||
+ | לפי משפט לגרנז' על הפונקציה <math>f'</math>, קיימת <math>t\in (d,e)\subseteq (a,b)</math> | ||
+ | |||
+ | כך ש | ||
+ | |||
+ | <math>f''(t)=\frac{f'(e)-f'(d)}{e-d}</math> | ||
+ | |||
+ | נשים לב ש <math>f'(e)<0,\quad f'(d)>0</math> ו <math>e>d</math> ולכן ברור ש | ||
+ | |||
+ | <math>f''(t)<0</math> | ||
+ | |||
+ | כנדרש | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== | ||
+ | |||
+ | נשתמש במשפט לגרנז' על הפונקציה | ||
+ | |||
+ | <math>f(x)=\ln(x+1)</math> על הקטע <math>[a,b]</math> (בגלל ש <math>b>a>0</math>, הפונקציה מוגדרת וגזירה בקטע זה.) | ||
+ | |||
+ | נזכור כי | ||
+ | |||
+ | <math>f'(x)=\frac{1}{x+1}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן לפי לגרנז' קיימת <math>c\in(a,b)</math> כך ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{\ln(b+1)-\ln(a+1)}{b-a}=\frac{1}{c+1}</math> | ||
+ | |||
+ | בגלל ש <math>a<c<b</math>, ברור ש | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{b+1}<\frac{1}{c+1}<\frac{1}{a+1}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{b+1}<\frac{\ln(b+1)-\ln(a+1)}{b-a}<\frac{1}{a+1}</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{b-a}{b+1}<\ln(b+1)-\ln(a+1)<\frac{b-a}{a+1}</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{b-a}{b+1}<\ln(\frac{b+1}{a+1})<\frac{b-a}{a+1}</math> | ||
+ | |||
+ | שזה מה שרצינו להראות |
גרסה אחרונה מ־06:52, 1 בפברואר 2013
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם
אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ
)
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש
לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן
חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת
כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו
מתקיים
בגלל שהטור
מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של
. הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב
כאשר
.
היות ו ו
מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל
(ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל
).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל
פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל
.
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב
אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר
)
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר
ו
.
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל
מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם
בהכרח יתקיים
כי
ו
.
- טענה: עבור
מתקיים
.
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז
ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש
)
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נניח ש
וברור ש
ולכן מתקיים
לכן הגבול הוא .
שאלה 4
סעיף א
ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש היא סדרה מונוטונית יורדת.
את הטענה ניתן להפריך.
נבחר
אזי בוודאי מתקיים
אבל
שהוא טור מתבדר.
סעיף ב
- חלק א':
נשים לב שהטור
הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
נביט על הסדרה:
נחשב את הגבול
(שימו לב ש
כאשר
)
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס
- חלק ב
זהו לא טור חיובי, ראשית נבדוק התכנסות בהחלט, כלומר נבדוק אם הטור
מתכנס.
אנחנו נראה שהוא מתכנס.
ראשית, נשים לב ש
ולכן לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מספיק להראות שהטור
מתכנס.
היות ויש כאן הרבה , אנו נרצה לנסות את מבחן העיבוי.
הסדרה
היא מונוטונית, חיובית ושואפת ל , ולכן ניתן להשתמש במבחן העיבוי.
נקבל שהטור
מתכנס אם ורק אם הטור
זה טור חיובי, נבדוק את התכנסותו באמצעות מבחן קושי
נחשב את גבול הסדרה
ונקבל:
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס.
לפי כל השיקולים שהצגנו הטור המקורי מתכנס בהחלט ולכן בוודאי שהוא מתכנס.
שאלה 5
סעיף א
נחשב את גבול הפונקציה בקצות הקטע:
היות והפונקציה רציפה ב בוודאי שיש לה שם גבול.
כמו כן:
כי ו
היא פונקציה חסומה.
ו
ולכן לפונקציה קיים גבול גם ב .
זאת פונקציה רציפה ב שהגבולות שלה בקצות הקטע קיימים ולכן היא רציפה במידה שווה על הקטע
.
סעיף ב
נשים לב ש
זה ממוצע של הערכים
מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.
כלומר קיימים עבורם
ואז נקבל
ובאופן דומה
נניח בלי הגבלת כלליות ש
ראינו שהערך
נמצא בין ל
וברור ש
רציפה על
לכן לפי משפט ערך הביניים קיים
כך ש:
וזה מראה את מה שנדרש
שאלה 6
סעיף א
לפי משפט לגרנז', קיימת
כך ש
וקיימת
כך ש
לפי משפט לגרנז' על הפונקציה , קיימת
כך ש
נשים לב ש ו
ולכן ברור ש
כנדרש
סעיף ב
נשתמש במשפט לגרנז' על הפונקציה
על הקטע
(בגלל ש
, הפונקציה מוגדרת וגזירה בקטע זה.)
נזכור כי
ולכן לפי לגרנז' קיימת כך ש
בגלל ש , ברור ש
ולכן
כלומר
כלומר
שזה מה שרצינו להראות