88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5: הבדלים בין גרסאות בדף
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
(←תרגיל) |
||
| (38 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]''' | '''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]''' | ||
==המשך פונקציות== | ==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות== | ||
===תמונות חלקיות=== | |||
'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}(B)=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>. | |||
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}(B)</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>). | |||
==== דוגמאות ==== | |||
תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18))</math> | |||
תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}(Y)=X</math> | |||
תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2)</math> | |||
==== תכונות ==== | |||
# אם <math>A_1\subseteq A_2</math> אזי <math>f(A_1)\subseteq f(A_2)</math> | |||
# אם <math>B_1\subseteq B_2</math> אזי <math>f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)</math> | |||
# הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות. | |||
==== תרגיל ==== | |||
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y</math>. אזי | |||
# <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math> | |||
# <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math> | |||
# <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math> | |||
# <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math> | |||
# <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math> | |||
פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה. | |||
====תרגיל==== | |||
הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math> | |||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: | נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: | ||
<math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> | <math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> | ||
'''הערה''' תמיד מתקיים <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math> | |||
'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! | |||
===תרגיל (בהרצאה בד"כ)=== | |||
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | ||
| שורה 29: | שורה 57: | ||
יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> | יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> | ||
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> | |||
===תרגיל (בXI)=== | |||
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על | ||
| שורה 39: | שורה 68: | ||
נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> על: | נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> על: | ||
יהא <math> a\in A </math> כיוון ש f על <math>\exists x\in X : f(x)=a </math> לכן <math> x | יהא <math> a\in A </math> כיוון ש f על <math>\exists x\in X : f(x)=a </math> לכן <math> x \in f^{-1}(A) </math>. ואז <math>a=f(x)\in f(f^{-1}(A)) </math> | ||
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>. | |||
===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)=== | |||
יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>. | יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>. | ||
| שורה 50: | שורה 79: | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
1. ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' | 1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' | ||
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A | בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> | ||
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\}=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. | בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. | ||
| שורה 59: | שורה 88: | ||
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> ) | בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> ) | ||
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> כיוון ש g | בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> | ||
כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> לכן <math> | |||
כיוון ש g על קיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> | |||
לכן <math> \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B </math> | |||
ולכן <math>\{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}</math> | |||
לכן <math>\{y,x\}\subseteq \{x\}</math> כלומר <math>x=y</math>. סתירה. | |||
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות: | מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות: | ||
| שורה 76: | שורה 111: | ||
למשל: | למשל: | ||
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. | יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. | ||
==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ==== | |||
תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי: | |||
# אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על. | |||
# אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>|A|\leq |B|</math> | |||
# אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> על אמ"מ <math>|B|\leq |A|</math> | |||
=== פונקציות המכבדות יחס שקילות === | |||
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math> | |||
כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>. | |||
למה זה טוב? | |||
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math> | |||
באופן מפורש <math>g=\{([a],f(a))|a\in A\}</math>. | |||
טענה: g אכן פונקציה | |||
הוכחה: | |||
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם. | |||
2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>. | |||
==== דוגמא ==== | |||
נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x. | |||
בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים: | |||
# <math>\{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \}</math> | |||
# <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math> | |||
====דוגמא ==== | |||
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב? | |||
'''פתרון''' | |||
לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N}</math>. לפי היחס שהגדרנו מתקיים <math>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}</math> אבל לא מתקיים <math>f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)</math> | |||
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש! | |||
'' | הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד. | ||
===פונקציה מצומצמת=== | |||
''' | '''הגדרה.''' | ||
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש-<math>f|_A(a)=f(a)</math>. | |||
'''דוגמא.''' | |||
נביט ב-<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע. | |||
''' | '''תרגיל.''' | ||
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-<math>f|_A</math> חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math>). | |||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math> | |||
כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y | y\in im (f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>. | |||
<math> | '''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך) | ||
==== תרגיל ==== | |||
תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g|_{Im(f)}</math> חח"ע. | |||
הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע. | |||
גרסה אחרונה מ־14:49, 27 ביולי 2021
המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות
תמונות חלקיות
הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] פונקציה, ויהיו תת קבוצות [math]\displaystyle{ A\subseteq X,B\subseteq Y }[/math]. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה [math]\displaystyle{ f(A)=\{f(a)|a\in A\} }[/math], והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה [math]\displaystyle{ f^{-1}(B)=\{a\in X|f(a)\in B\} }[/math].
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1}(B) }[/math] לבין הפונקציה ההופכית [math]\displaystyle{ f^{-1}(y) }[/math]. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math]) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו [math]\displaystyle{ B\subseteq Y }[/math]).
דוגמאות
תהא [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] פונקצית דריכלה. אזי [math]\displaystyle{ D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18)) }[/math]
תהא [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] פונקצית . אזי [math]\displaystyle{ f^{-1}(Y)=X }[/math]
תהא [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z} }[/math] פונקצית הערך השלם התחתון. אזי [math]\displaystyle{ f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2) }[/math]
תכונות
- אם [math]\displaystyle{ A_1\subseteq A_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(A_1)\subseteq f(A_2) }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ B_1\subseteq B_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2) }[/math]
- הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות.
תרגיל
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה [math]\displaystyle{ f:X \to Y }[/math] ותהיינה [math]\displaystyle{ Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B] }[/math]
- [math]\displaystyle{ f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B] }[/math]
- [math]\displaystyle{ f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B] }[/math]
- [math]\displaystyle{ f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B] }[/math]
- [math]\displaystyle{ f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W] }[/math]
פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה.
תרגיל
הוכח/הפרך: תהיינה [math]\displaystyle{ A,B \subseteq X }[/math] ותהי f פונקציה [math]\displaystyle{ f:X \to Y }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(A)\cap f(B)=f(A\cap B) }[/math]
פתרון.
נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים [math]\displaystyle{ x\neq y }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)=f(y) }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ A=\{x\},B=\{y\} }[/math] אזי:
[math]\displaystyle{ f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B) }[/math]
הערה תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) }[/math]
הערה הטענה נכונה אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע. הוכיחו!
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math]. הוכח [math]\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}(f(A)) }[/math]. וקיים שיוויון אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע
פתרון.
יהא [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(a)\in f(A) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a\in f^{-1}(f(A)) }[/math].
נראה את ההכלה בכיוון השני אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע:
יהא [math]\displaystyle{ x\in f^{-1}(f(A)) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ f(x) \in f(A) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \exists a\in A : f(x)=f(a) }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע נובע כי [math]\displaystyle{ x=a\in A }[/math]
דוגמא שלא מתקיים שיוויון [math]\displaystyle{ f:\{1,2\}\to \{1\} }[/math] (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר [math]\displaystyle{ A=\{2\} }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A }[/math]
תרגיל (בXI)
תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq Y }[/math]. הוכח [math]\displaystyle{ f(f^{-1}(A)) \subseteq A }[/math]. וקיים שיוויון אם [math]\displaystyle{ f }[/math] על
פתרון.
יהא [math]\displaystyle{ f(x) \in f(f^{-1}(A)) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in f^{-1}(A) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\in A }[/math].
נראה את ההכלה בכיוון השני אם [math]\displaystyle{ f }[/math] על:
יהא [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כיוון ש f על [math]\displaystyle{ \exists x\in X : f(x)=a }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x \in f^{-1}(A) }[/math]. ואז [math]\displaystyle{ a=f(x)\in f(f^{-1}(A)) }[/math]
דוגמא שלא מתקיים שיוויון [math]\displaystyle{ f:\{1\}\to \{1,2\} }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ 1\mapsto 1 }[/math]. אזי נגדיר [math]\displaystyle{ B=\{1,2\} }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B }[/math].
תרגיל ממבחן (קצת משודרג)
יהיו [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] שתי קבוצות, ותהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ g:P(Y)\rightarrow P(X) }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ g(B)=f^{-1}(B) }[/math]. בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
פתרון.
1. נמצא ב XI הטענה f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח [math]\displaystyle{ f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A) }[/math] נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) [math]\displaystyle{ B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A }[/math]
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי [math]\displaystyle{ \exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y }[/math] לכן [math]\displaystyle{ g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\}) }[/math] בסתירה לחח"ע של g.
2. f חח"ע אמ"מ g על
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי [math]\displaystyle{ g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A }[/math] ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] )
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים [math]\displaystyle{ x,y \in X }[/math] שונים כך ש [math]\displaystyle{ f(x)=f(y) }[/math]. נביט בנקודון [math]\displaystyle{ A=\{x\} }[/math]
כיוון ש g על קיימת [math]\displaystyle{ B\in P(Y) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f^{-1}(B)=g(B)=A }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ \{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\} }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ \{y,x\}\subseteq \{x\} }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ x=y }[/math]. סתירה.
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:
- ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
- יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
- ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
- ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)
אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל
למשל: יהיו [math]\displaystyle{ X=\mathbb{Z}, Y=\{0\} }[/math]. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן [math]\displaystyle{ g(\{\})\neq g(\{0\}) }[/math] ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:
- אם קיימת [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] חח"ע אזי קיימת [math]\displaystyle{ g:B\to A }[/math] על.
- אם A,B סופיות: קיימת [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] חח"ע אמ"מ [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math]
- אם A,B סופיות: קיימת [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] על אמ"מ [math]\displaystyle{ |B|\leq |A| }[/math]
פונקציות המכבדות יחס שקילות
הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math], ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על [math]\displaystyle{ A/R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b) }[/math]
כלומר אם a שקול ל b אזי [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math].
למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה [math]\displaystyle{ g:A/R \to B }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ [a]_R \mapsto f(a) }[/math]
באופן מפורש [math]\displaystyle{ g=\{([a],f(a))|a\in A\} }[/math].
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח [math]\displaystyle{ [a]=[b] }[/math], צ"ל [math]\displaystyle{ g([a])=g([b]) }[/math]. מהנתון ש [math]\displaystyle{ [a]=[b] }[/math] נובע ש [math]\displaystyle{ (a,b)\in R }[/math], ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math], ולפי הגדרת g מתקיים [math]\displaystyle{ g([a])=f(a)=f(b)=g([b]) }[/math].
דוגמא
נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x.
בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:
- [math]\displaystyle{ \{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \} }[/math]
דוגמא
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p }[/math] מוגדרת היטב?
פתרון לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times \mathbb{N} }[/math]. לפי היחס שהגדרנו מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{3}=\frac{2}{6} }[/math] אבל לא מתקיים [math]\displaystyle{ f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg) }[/math]
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
פונקציה מצומצמת
הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math]. הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: [math]\displaystyle{ f|_A:A\rightarrow Y }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f|_A(a)=f(a) }[/math].
דוגמא. נביט ב-[math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} }[/math] המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת [math]\displaystyle{ f|_{\mathbb{N}} }[/math] כן חח"ע.
תרגיל.
תהי [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-[math]\displaystyle{ f|_A }[/math] חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר [math]\displaystyle{ im(f|_A)=im(f) }[/math]).
פתרון.
נגדיר לכל [math]\displaystyle{ y\in im(f) }[/math] את הקבוצה של המקורות שלו [math]\displaystyle{ B_y:=f^{-1}(\{y\}) }[/math] כעת נבחר מכל [math]\displaystyle{ B_y }[/math] איבר יחיד [math]\displaystyle{ x_y\in B_y }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ A=\{x_y | y\in im (f)\} }[/math]. כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי [math]\displaystyle{ f|_A }[/math] חח"ע עם אותו טווח של [math]\displaystyle{ f }[/math].
אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
תרגיל
תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B, g:B\to C }[/math] פונקציות כך ש [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] חח"ע. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ g|_{Im(f)} }[/math] חח"ע.
הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, [math]\displaystyle{ f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C }[/math], נקבל כי [math]\displaystyle{ g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f' }[/math] חח"ע ובנוסף [math]\displaystyle{ f' }[/math] חח"ע ועל. מכאן ש [math]\displaystyle{ g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1} }[/math] חח"ע כהרכבה של חח"ע.