הבדלים בין גרסאות בדף "דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי"
מתוך Math-Wiki
(דף חדש: ==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון== '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\…) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | == | + | ===תרגיל 1=== |
− | '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> | + | '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת. |
− | '''פתרון''': נוכיח | + | '''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. |
+ | :<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&< \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align}</math> | ||
− | <math> | + | ===תרגיל 2=== |
+ | '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת עבור <math>0<p<1</math>. | ||
− | <math>\ | + | '''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. |
− | <math> | + | ראשית, נשים לב כי |
+ | :<math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math> | ||
+ | נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>. | ||
− | <math> | + | כעת |
+ | :<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d\\&=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)\\&=p^{n-1}d\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0\end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | מכיוון ש־<math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math>. |
גרסה אחרונה מ־18:30, 25 בינואר 2021
תרגיל 1
תרגיל: תהי סדרה עבורה . הוכח כי מתכנסת.
פתרון: נוכיח כי סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
תרגיל 2
תרגיל: תהי סדרה עבורה . הוכח כי מתכנסת עבור .
פתרון: נוכיח כי סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
ראשית, נשים לב כי
נסמן ולכן סה"כ .
כעת
מכיוון ש־ עבור .