קוד:גבולות חלקיים

\subsection{תתי סדרות} \begin{definition} תהי $A\subseteq \mathbb{N} $ אינסופית אז הצמצום של הסדרה $ x_n:\mathbb{N}\to \mathbb{R} $ אל הקבוצה A נקראת תת סדרה של $x_n$. עוד דרך להסתכל על זה היא לקחת סדרה חד חד ערכית של טבעיים שמונוטונית עולה, $n_k$ (לדוגמה $n(k)=2k $ היא סדרת הזוגיים $2,4,6,\cdots $) ואז להסתכל על $f(n(k)) $ או $ x_{n_k} $ . \end{definition}

\begin{example} נסתכל על הסדרה $1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots $ נסתכל על הסדרה שנמצאת במקומות הזוגיים, כלומר ניקח את $A=\mathbb{N}_{\text{even}} $ ואז $n(k)=2k$ ו- $x_{n_k}$ נראית ככה: $0,0,0,0,\cdots $ . הסדרה המקורי לא מתכנסת, אבל תת הסדרה הזאת כן מתכנסת, ל-0. זה הרעיון של גבול חלקי. \end{example}

\subsection{גבולות חלקיים} \begin{definition} $l \in \mathbb{R} $ נקרא גבול חלקי של סדרה אם קיימת תת סדרה שלה שמתכנסת ל- $l$ \end{definition}

\begin{thm} אם $x_n \to L$ אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-$L$. \end{thm}

\begin{proof} תהי תת סדרה $x_{n_k}$ ויהי אפסילון גדול מ-0. עפ"י הנתון$\exists n_0 \forall n>n_0 |x_n-L|<\epsilon $ . ידוע ש- $n_k$ סדרה חח"ע מונוטונית עולה של טבעיים, ולכן היא לא חסומה וקיים $k_0 $ כך ש- $\forall k>k_0: n_{k_0} > n_0 $ . מכאן ש- $ \forall k>k_0 : |x_{n_k}-L|<\varepsilon $ \end{proof}

\begin{thm} תהי סדרה שכל תת סדרה שלה מתכנסת ל- $L$, אזי $x_n \to L$. \end{thm}

\begin{proof} נניח בשלילה שהסדרה לא מתכנסת ל- $L$, אזי $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N} \exists_{n>N} : |x_n-L|\geq \epsilon $ . אם כך, נבנה תת סדרה $x_{n_k} $ באופן הבא: לכל $N$ קיים $n>N$ שעבורו $|x_n-L|\geq \epsilon $ ולכן ניקח את אותם $n$ים עבור $N=1,2,3,\cdots $ ואלה יהיו ה- $n_k $. באופן הזה נקבל תת סדרה שהמרחק בין איבר בה ל-$L$ גדול או שווה לאפסילון אבל זה סותר את הנתון שכל תתי הסדרות שואפות ל- $L$. \end{proof}

\subsection{קשר בין גבולות חלקיים לגבול עליון ותחתון} \begin{thm} כל גבול חלקי של סדרה הוא בין הגבול התחתון שלה לגבול העליון שלה. \end{thm}

\begin{proof} יהי $l$ גבול חלקי אז קיימת תת סדרה $x_{n_k} \to l$. מתקיים ש- $l_{n_k}\leq x_{n_k} \leq L_{n_k} $ וממשפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש. \end{proof}

\begin{thm} הגבול העליון והתחתון הם גבולות חלקיים \end{thm}

\begin{proof} $L_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\} $ ואז לכל $k$ מתקיים $\exists_{n_k} : L_k-\frac{1}{k}<x_{n_k}<L_k $ ואז קיימת תת סדרה מונוטונית שלפי משפט הסנדוויץ' מתכנסת לגבול העליון. עבור הגבול התחתון באופן אנלוגי. \end{proof}

\subsection{משפט בולצאנו ווירשטראס} \begin{thm} לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת \end{thm}

\begin{proof} רעיון ההוכחה: הגבול התחתון הוא גבול של סדרה מונוטונית עולה (סדרת האינפימומים), והסדרה המקורית $x_n$ חסומה מלעיל. לכן, גם סדרת האינפימומים חסומה מלעיל, ואז הגבול החלקי הוא מספר סופי משום שהוא גבול של סדרה מונוטונית וחסומה. משום שהגבול התחתון הוא גבול חלקי, קיימת תת סדרה שמתכנסת אליו. משל. בצורה יותר פורמלית: $-M\leq x_n\leq M \Rightarrow -M\leq l_n \leq M$ ואז $l_n$ מונו' עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת, אז הגבול התחתון קיים, והוא גבול חלקי, ולכן יש תת סדרה מתכנסת. \end{proof}