הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:המרחק המושרה מנורמה"
(יצירת דף עם התוכן "\begin{remark} המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא $\rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$. \end{remark} \begin{proof} נוכיח שז...") |
מ (4 גרסאות יובאו) |
||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
\item\underline{אי-שליליות} - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה. | \item\underline{אי-שליליות} - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה. | ||
| − | \ | + | \begin{enumerate} נורמה היא אי-שלילית, ולכן המרחק המושרה הוא אי-שלילי. |
| − | $\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\ | + | \end{enumerate} $$\rho\left(x,y \right )=0\Leftrightarrow\left \| x-y \right \|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y$$ |
| − | \item\underline{ | + | \item\underline{סימטריות} - לכל $x,y\in V$, |
| + | $$\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\left \| \left ( -1 \right )\left(y-x \right ) \right \|=\left|-1\right|\left \| y-x \right \|=\rho\left(y,x \right )$$ | ||
| − | $\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$ | + | \item\underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $x,y,z\in V$, |
| + | $$\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$$ | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{remark}
המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא $\rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$.
\end{remark}
\begin{proof}
נוכיח שזה אכן מרחק.
\begin{enumerate}
\item\underline{אי-שליליות} - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה.
\begin{enumerate} נורמה היא אי-שלילית, ולכן המרחק המושרה הוא אי-שלילי.
\end{enumerate} $$\rho\left(x,y \right )=0\Leftrightarrow\left \| x-y \right \|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y$$
\item\underline{סימטריות} - לכל $x,y\in V$, $$\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\left \| \left ( -1 \right )\left(y-x \right ) \right \|=\left|-1\right|\left \| y-x \right \|=\rho\left(y,x \right )$$
\item\underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $x,y,z\in V$, $$\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$$
\end{enumerate}
\end{proof}
