קוד:כלל לופיטל

נניח שאנו מחפשים את הגבול של $\lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} $ . אם אחת הפונקציות שואפת ל-0 או אחת הפונקציות שואפת לאינסוף אנו יודעים די בקלות למה הגבול הזה שווה, ואם שתי הפונקציות שואפות למספר שהוא לא $0$ גם קל מאריתמטיקה פשוטה של גבולות למצוא את הגבול של המנה. אבל מה קורה במצב של $\frac{0}{0} $ או $\frac{\infty}{\infty} $ ? אנחנו בבעיה, ופה נכנס כלל לופיטל (L'hospital) שבכלל התגלה ע"י ברנולי.

\begin{definition} עבור $p \in \mathbb{R} $ נגדיר את הסביבה $U_\delta (p) $ להיות $(p-\delta ,p+\delta) $ . אם $p=\infty $ אז $U_\delta (p)=(\frac{1}{\delta} , \infty ) $ ועבור $p=-\infty $ נגדיר $U_\delta (p) = (-\infty , -\frac{1}{\delta}) $ \end{definition}

\begin{thm} נניח $f,g $ גזירות ב- $U_{\delta_0} (p) $ עבור $\delta_0>0 $ . נניח גם ש- $\lim_{x\to p} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L $ קיים במובן הרחב (יכול להיות $\infty $ או $-\infty $ ).

אם אחד מהבאים מתקיים:

\begin{enumerate}

\item $\lim_{x\to p} f(x)=\lim_{x\to p} g(x)= 0 $

\item $\lim_{x\to p} g(x)=\infty $

\end{enumerate}

אזי גם קיים הגבול של המנה והוא שווה ל- $L$ \end{thm}

צריך לשים לב שהדרישה שהגבול של מנת הנגזרות קיים הוא הכרחי. לדוגמה, אם ניקח את $f(x)=x+\sin x $ ו- $g(x)=x $ אז בקלות נראה ש- $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1 $ אבל $\lim_{x\to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to \infty} \frac{1+\cos x}{1} $ לא קיים!

\begin{proof} תהי $(\alpha,\beta) $ סביבה של $L$ . אזי עבור תת סביבה $(\alpha' ,\beta') \subset (\alpha, \beta) $ מהגדרת הגבול ידוע שקיים $\delta<\delta_0 $ כך ש- $\forall x\in U_\delta (p) : \alpha'<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta' $

כעת יהיו $x,x_1\in U_\delta (p) $ אבל מצד אחד בלבד! (אם $p=\pm\infty $ כמובן שזה לא בעיה). לפי קושי $\exists c : \frac{f'(c)}{g'(c)} =\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)} $ (פה נכנס העובדה שהם רק מצד אחד, משום שאחרת אולי $c=p $ ואנחנו רוצים להמנע ממצב כזה).

(בה"כ $g$ לא מתאפסת בסביבת $p $ משום שאם מתאפסת אינסוף פעמים אז אפשר לפי רול למצוא נקודה בה $g'(c)=0 $ ואם היא מתאפסת מספר סופי של פעמים פשוט נצמצם את הסביבה ($\delta $ ) מספיק כך שכבר לא יהיה כך.)

נוכיח את מצב 1:

בגבול בו $x_1\to p $ מקבלים ש-

$$\lim_{c\to p} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x)-0}{g(x)-0} $$

אבל

$$\alpha<\alpha'<\frac{f'(c)}{g'(c)}<\beta'<\beta \Rightarrow $$

$$\alpha<\alpha'\leq \lim_{c\to p} \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(x)}{g(x)}\leq \beta'<\beta $$

ואז קיבלנו שלכל סביבה של $L$ יש סביבה מנוקבת של $p$ בה $\frac{f(x)}{g(x)} $ נמצא בסביבה של $L$ , ומהגדרת הגבול נקבל ש- $\lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} = L $

נוכיח את מצב 2:

ראינו ש-

$$\alpha'(g(x)-g(x_1))<f(x)-f(x_1)<\beta'(g(x)-g(x_1))$$

$$\alpha'\left(1-\frac{g(x_1)}{g(x)}\right)+\frac{f(x_1)}{g(x)}<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta'\left(1-\frac{g(x_1)}{g(x)}\right)+\frac{f(x_1)}{g(x)} $$

ונשים לב שהצדדים שואפים ל- $\alpha',\beta' $ ומכאן שעבור סביבה מספיק קטנה של $p$ נקבל עדיין ש-

$$\alpha<\frac{f(x)}{g(x)}<\beta $$

ומאותה סיבה קודם נקבל את הדרוש

\end{proof}