הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מטריצת מעבר בין בסיסים אורתונורמליים היא אוניטרית"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "נציג עוד קשר בין מטריצות אוניטריות לבין בסיסים אורתונורמליים. \begin{thm} מטריצת המעבר מבסי...") |
מ (4 גרסאות יובאו) |
||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
\end{thm} | \end{thm} | ||
| − | \begin{ | + | \begin{proof} |
כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$. | כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$. | ||
| − | נניח ש-$B,B'$ בסיסים אורתונורמלים, אזי $G=G'=I$. לכן מתקיים $\Leftarrow C^ | + | נניח ש-$B,B'$ בסיסים אורתונורמלים, אזי $G=G'=I$. לכן מתקיים |
| + | $I=C^tI\overline{C}$ | ||
| + | $\Leftarrow$ | ||
| + | $C^t\overline{C}=I$ | ||
| + | $\Leftarrow$ | ||
| + | $\overline{C}^tC=I$ | ||
| + | $\Leftarrow$ | ||
| + | $C^*C=I$ | ||
| + | $\Leftarrow$ | ||
$C$ אוניטרית. | $C$ אוניטרית. | ||
| − | \end{ | + | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
נציג עוד קשר בין מטריצות אוניטריות לבין בסיסים אורתונורמליים.
\begin{thm}
מטריצת המעבר מבסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר היא מטריצה אוניטרית.
\end{thm}
\begin{proof}
כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$.
נניח ש-$B,B'$ בסיסים אורתונורמלים, אזי $G=G'=I$. לכן מתקיים $I=C^tI\overline{C}$ $\Leftarrow$ $C^t\overline{C}=I$ $\Leftarrow$ $\overline{C}^tC=I$ $\Leftarrow$ $C^*C=I$ $\Leftarrow$ $C$ אוניטרית.
\end{proof}
