קוד:משפט הסנדוויץ' (סדרות)

\begin{thm}[משפט הסנדוויץ'] תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$. \end{thm} \begin{remark} שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום \end{remark} \begin{proof} אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו\\ $\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .\\ אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $$ ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $|x_n-L|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ . \end{proof} \begin{example} נסתכל על הסדרה $a_n=n\cdot \sin \left ( \frac{1}{n^2} \right ) $. אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה הזה, אך נראה כי מתקיים: $$0\leq n\cdot \sin \frac{1}{n^2} \leq n\cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} $$ שימו לב שאי השיוויון השני נובע מכך ש- $\sin x < x $ לכל $x$ חיובי.\\ קיבלנו שהסדרה לכודה בין $0$ (שכמובן שואף ל-$0$) לבין $\frac{1}{n}$ (סדרה שגם היא שואפת ל-$0$) ולכן בסך הכל, ממשפט הסנדוויץ', הסדרה מתכנסת ל-$0$. \end{example}