קוד:משפט ערך הממוצע של לגרנז'

\begin{thm} תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . \end{thm} באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי שינויים פתאומיים במהירות) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.

\begin{proof} נגדיר $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) $ ונראה כי $F(a)=F(b)=f(a) $ ולכן מתקיים משפט רול וקיימת $c$ כך ש-

$F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Rightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ \end{proof}

\begin{cor} אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה) \end{cor}

\begin{proof} נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$! \end{proof}

\begin{cor} אם $\forall x\in (a,b) : f'(x)=g'(x) $ אזי $\exists c \forall x : g(x)=f(x)+c $ \end{cor}

\begin{proof} נגדיר $F(x)=g(x)-f(x) $ . מתקיים ש- $F'(x)=g'(x)-f'(x)=0 $ ולכן $F(x)=g(x)-f(x)=c $ \end{proof} \begin{cor}[אומדן של שינוי פונקציה] תהי $f\in D(a,b)\cap C[a,b] $ כך ש- $|f'(x)|\leq M $ לכל $x\in (a,b) $ , אזי $|f(b)-f(a)|\leq M(b-a) $ \end{cor}

\begin{proof} לפי לגרנז' $$\exists c : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow |f(b)-f(a)|=|f'(c)|(b-a)\leq M(b-a) $$ \end{proof}