קוד:נגזרות חד צדדיות: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
| (2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
לפעמים משני צידי נקודה $x_0 $ הפונקציה מתנהגת באופן שונה לגמרי ובין היתר קצב השינוי בפונקציה נראה שונה משני הצדדים. לדוגמה במקרה של מכונית שנוסעת בקצב קבוע ואז פתאום תנועתה נעצרת. לפני רגע העצירה הפתאומית השינוי במיקומה לפי הזמן היה המהירות אבל אחרי העצירה הפתאומית השינוי הוא $0$. כדי להבחין בהבדל בשינוי לפני ואחרי נק' שבהן קורים דברים "פתאומיים" מגדירים את הנגזרות החד צדדיות: | |||
\begin{definition} | \begin{definition} | ||
מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ להיות הנגזרות החד צדדיות (נגזרת מימין ומשמאל) של $f(x) $ | מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ להיות הנגזרות החד צדדיות (נגזרת מימין ומשמאל) של $f(x) $ | ||
| שורה 7: | שורה 9: | ||
$f(x)=|x| \Rightarrow f'_+(0)=\frac{x-0}{x-0}=1 , f'_-(0)=\frac{-x-0}{x-0}=-1 $ ולפי המשפט הבא קל לראות מזה מדוע אין נגזרת בנקודה $x=0$ לפונקציית הערך המוחלט. | $f(x)=|x| \Rightarrow f'_+(0)=\frac{x-0}{x-0}=1 , f'_-(0)=\frac{-x-0}{x-0}=-1 $ ולפי המשפט הבא קל לראות מזה מדוע אין נגזרת בנקודה $x=0$ לפונקציית הערך המוחלט. | ||
\begin{ | \begin{thm} | ||
$f'(x_0) $ קיים אם ורק אם קיימות הנגזרות החד צדדיות (והן שוות לנגזרת). | $f'(x_0) $ קיים אם ורק אם קיימות הנגזרות החד צדדיות (והן שוות לנגזרת). | ||
\end{ | \end{thm} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
ראינו כי גבול קיים אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שווים, בפרט לפונקציה $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ | ראינו כי גבול קיים אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שווים, בפרט לפונקציה $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
לפעמים משני צידי נקודה $x_0 $ הפונקציה מתנהגת באופן שונה לגמרי ובין היתר קצב השינוי בפונקציה נראה שונה משני הצדדים. לדוגמה במקרה של מכונית שנוסעת בקצב קבוע ואז פתאום תנועתה נעצרת. לפני רגע העצירה הפתאומית השינוי במיקומה לפי הזמן היה המהירות אבל אחרי העצירה הפתאומית השינוי הוא $0$. כדי להבחין בהבדל בשינוי לפני ואחרי נק' שבהן קורים דברים "פתאומיים" מגדירים את הנגזרות החד צדדיות:
\begin{definition} מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ להיות הנגזרות החד צדדיות (נגזרת מימין ומשמאל) של $f(x) $ \end{definition}
דוגמה:
$f(x)=|x| \Rightarrow f'_+(0)=\frac{x-0}{x-0}=1 , f'_-(0)=\frac{-x-0}{x-0}=-1 $ ולפי המשפט הבא קל לראות מזה מדוע אין נגזרת בנקודה $x=0$ לפונקציית הערך המוחלט.
\begin{thm} $f'(x_0) $ קיים אם ורק אם קיימות הנגזרות החד צדדיות (והן שוות לנגזרת). \end{thm}
\begin{proof} ראינו כי גבול קיים אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שווים, בפרט לפונקציה $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ \end{proof}