88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1

שאלה 1 (30 נק)

סעיף א

תהיינה שתי סדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] כך ש:

1. [math]\displaystyle{ \lim a_n-b_n=0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R} }[/math]

הוכיחו/הפריכו:

[math]\displaystyle{ \lim a_n^2-b_n^2= 0 }[/math]

סעיף ב

תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] וקבוע [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}| }[/math]

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

שאלה 2 (40 נק)

סעיף א

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\} }[/math]

2. הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\} }[/math]

סעיף ב

נניח [math]\displaystyle{ \lim a_n-b_n=0 }[/math].

הוכיחו/הפריכו: [math]\displaystyle{ \overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n }[/math]

שאלה 3 (30 נק)

סעיף א

תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2} }[/math]

הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה

סעיף ב

קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n} }[/math]