קוד:פולינום טיילור

\section{פולינום טיילור}

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. \textbf{פולינום טיילור} של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$ הוא הפולינום

$$P_n(x,x_0)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

אם $x_0=0$, לפעמים קוראים לפולינום זה \textbf{פולינום טיילור-מקלורן} או \textbf{פולינום מקלורן}.

מסמנים את \textbf{השארית} בתור $R_n(x,x_0)=f(x)-P_n(x,x_0)$

\end{definition}

\begin{remark}

פולינום טיילור הוא הפולינום היחיד ממעלה $n$ כך ש-$n+1$ הנגזרות שלו מזדהות עם הנגזרות של $f$, ולכן הוא מקרב את $f$ בסביבה של $x_0$.

\end{remark}

\begin{example}

ניתן כמה דוגמאות לפולינומי טיילור של פונקציות מוכרות:

\begin{enumerate}

\item פולינום טיילור של $e^x$ סביב $x_0=0$ מסדר $n$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}x^k}$.

\item פולינום טיילור של $\ln(1+x)$ סביב $x_0=0$ מסדר $n$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k}$.

\item פולינום טיילור של $\sin(x)$ סביב $x_0=0$ מסדר $2n+1$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}}$.

\item פולינום טיילור של $\cos(x)$ סביב $x_0=0$ מסדר $2n$ הוא $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}}$.

\end{enumerate}

\end{example}

רוצים להבין \underline{כמה} פולינום טיילור קרוב לפונקציה. יש שני משפטים הנותנים לנו את היכולת למדוד את הקירוב:

\begin{thm}[פיתוח טיילור עם שארית בצורת פיאנו]

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$. אזי

$$\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x,x_0)}{(x-x_0)^n}}=}=0$$

\end{thm}

\begin{thm}[פיתוח טיילור עם שארית בצורת לגראנז']

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n+1$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$. אזי קיימת נקודה $c$ בין $x_0$ ל-$x$ שעבורה

$$f(x)-P_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)(c)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

(כמובן, $c$ תלוי ב-$x$).

\end{thm}

מהמשפט האחרון אפשר להגיע למסקנה לגבי אומדן השארית בחישוב עם פולינום טיילור:

\begin{cor}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה הגזירה $n+1$ פעמים, ותהי $x_0\in(a,b)$. נניח ש-\(P_n(x,x_0)\) פולינום טיילור של $f$ סביב $x_0$ מסדר $n$, ונרשום $R_n(x,x_0)=f(x)-P_n(x,x_0)$. עוד נניח שהנגזרת ה-$n+1$ של $f$ חסומה בין $x_0$ ל-$x$, כלומר קיים \(M>0\) שעבורו לכל $c$ בין $x_0$ ל-$x$, $\left|f^{(n+1)}(c)\right|\leq M$. אזי השגיאה מקיימת

$$|f(x)-P_n(x,x_0)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$$

\end{cor}

\begin{example} נחשב את $\log 1.5 $ בקירוב של 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

נסתכל על $f(x)=\log(1+x) $ . אנו זוכרים כי פולינום טיילור של $f$ מסדר $7$ סביב $x_0=0$ הוא:

$$P_7(x,0)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}$$

לפי לגרנז' השארית היא מהצורה $f(0.5)-P_7(0.5,0)=R_7(0.5,0)=\frac{f^{(8)}(c)}{8!} (0.5-0)^8 $ עבור $0<c<0.5$; אבל

$$|f^{(8)}(c)|=\left |-\frac{5040}{(1+c)^8}\right | \leq \frac{5040}{(1+0)^5} = 5040 $$

(אי השוויון נכון משום ש-$c\in (0,0.5) $). מכאן שהשגיאה חסומה על ידי

$$|f(0.5)-P_7(0.5,0)|\leq \frac{5040}{8!} 0.5^8 < 0.001 $$

לכן הפולינום מסדר 7 נותן קירוב טוב מספיק, ואז אם נציב $x=0.5$ נקבל מספר ש-3 הספרות הראשונות שלו אחרי הנקודה הן $0.405$ ולכן אם ניקח את הקירוב ל-2 ספרות אחרי הנקודה נקבל $0.41$ . \end{example}

נראה שימוש נוסף של פולינום טיילור, והפעם - לחישוב גבולות.

\begin{example}

נרצה לחשב את $$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x-e^{\frac{-x^2}{2}}}{x^4}$$

נזכור כי פולינומי טיילור מסדר $4$ של הפונקציות הם:

$$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+R_1(x) , e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}+R_2(x)$$

כאשר ידוע, לפי השארית בצורת פיאנו,

$$\lim_{x\to0}\frac{R_1(x)}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{R_2(x)}{x^4}=0$$

נציב את הפיתוחים בגבול, ונקבל:

$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x-e^{\frac{x^2}{2}}}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+R_1(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-R_2(x)}{x^4}=$$ $$=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^4}{12}+R_1(x)-R_2(x)}{x^4}=-\frac{1}{12}$$

\end{example}