קוד:מציאת נקודות פיתול ותחומי קמירות וקעירות

\subsection{מציאת נקודות פיתול וקביעת תחומי קמירות וקעירות}

עכשיו רוצים להבין האם לפונקציה יש מצב רוח (ואז היא מחייכת) או שאין לה מצב רוח (ואז היא עצובה).

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה.

\begin{enumerate}

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה}, אם היא מחייכת, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מעל גרף הפונקציה.

בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $>$ תמיד ולא רק $\leq$).

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה}, אם היא עצובה, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\ge f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $<$ תמיד ולא רק $\ge$).

\end{definition}

במילים פשוטות, פונקציה היא קמורה אם היא נראית כמו קערה, והיא קעורה אם היא נראית כמו קערה הפוכה. #מתרגמים_בינוניים_וסבירים.

כדי לקבוע קמירות וקעירות של הפונקציה, נשתמש בשני המשפטים הבאים:

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה.

\begin{enumerate}

\item $f$ היא קמורה אם ורק אם $f'$ עולה.

\item $f$ היא קמורה ממש אם ורק אם $f'$ עולה ממש.

\item $f$ היא קעורה אם ורק אם $f'$ יורדת.

\item $f$ היא קעורה ממש אם ורק אם $f'$ יורדת ממש.

\end{thm}

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה פעמיים.

\begin{enumerate}

\item $f$ היא קמורה אם ורק אם $f$ אי-שלילית.

\item $f$ היא קמורה ממש אם ורק אם $f$ חיובית (ולא מתאפסת).

\item $f$ היא קעורה אם ורק אם $f$ אי-חיובית.

\item $f$ היא קעורה ממש אם ורק אם $f$ שלילית (ולא מתאפסת).

\end{thm}

כעת נתעניין בנקודות שבהן אנו עוברים בין התחומים.

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נקודה $x_0\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת פיתול}, אם מצד אחד שלה הפונקציה קעורה, ומהצד השני הפונקציה קמורה (לא משנה מאיזה צד; העיקר שיש החלפה בין הקעירות לקמירות).

\end{definition}

כדי למצוא נקודות פיתול, יש משפט בדומה לנקודות קיצון:

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה פעמיים, ותהי נקודה $x_0\in(a,b)$. אם $x_0$ נקודת פיתול, אזי $f(x_0)=0$.

\end{thm}

לסיכום, כדי למצוא נקודות פיתול גוזרים את הפונקציה פעמיים. הנקודות החשודות הן כל הנקודות שבהן הנגזרת השנייה מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל $f$ כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ובודקים את תחומי הקמירות והקעירות.

\begin{remark}

במשפט שהיה קודם, לגבי קיצון עם נגזרות מסדר גבוה - אם $n$ זוגי, הנקודה היא נקודת פיתול.

\end{remark}