הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 4"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "=לפני שמתחילים= תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא 1 (אחרת פשוט נחלק בו). תמיד אפשר לה...") |
(←דרך ב) |
||
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=לפני שמתחילים= | =לפני שמתחילים= | ||
− | תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא 1 (אחרת פשוט נחלק בו). | + | תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא <math>1</math> (אחרת פשוט נחלק בו). |
− | תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^3</math> הוא 0. למה? נניח נתון הפולינום <math>x^4+ax^3+bx^2+c+d</math> אז נעשה הצבה <math>x=y-\frac{a}{4}</math> ונקבל פולינום <math>y^4+(*)y^2+\dots</math>. | + | תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^3</math> הוא <math>0</math>. למה? נניח נתון הפולינום <math>x^4+ax^3+bx^2+c+d</math> אז נעשה הצבה <math>x=y-\frac{a}{4}</math> ונקבל פולינום <math>y^4+(*)y^2+\dots</math>. |
סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>. | סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>. | ||
שורה 15: | שורה 15: | ||
משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את <math>b,c,d</math> כביטוי של <math>a</math>, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום <math>a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0</math> --- פולינום מדרגה '''3''' ב<math>a^2</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור. | משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את <math>b,c,d</math> כביטוי של <math>a</math>, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום <math>a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0</math> --- פולינום מדרגה '''3''' ב<math>a^2</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור. | ||
+ | |||
+ | =דרך ב= | ||
+ | ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה <math>u</math>: | ||
+ | |||
+ | <math>x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0</math> | ||
+ | |||
+ | נעביר אגפים <math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2-r</math> | ||
+ | |||
+ | נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה <math>(*)^2=(\circ)^2</math> וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.) | ||
+ | |||
+ | <math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2</math> | ||
+ | |||
+ | כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה <math>(*)^2=(\circ)^2</math> נרצה ש | ||
+ | <math>-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2=0</math> | ||
+ | |||
+ | וזה פולינום מדרגה '''3''' ב <math>u</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור. |
גרסה אחרונה מ־06:40, 14 בנובמבר 2016
לפני שמתחילים
תמיד אפשר להניח שהמקדם של הוא (אחרת פשוט נחלק בו).
תמיד אפשר להניח שהמקדם של הוא . למה? נניח נתון הפולינום אז נעשה הצבה ונקבל פולינום .
סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה .
דרך א
ננסה לפרק את הפולינום לגורמים ריבועיים
נפתח ונשווה מקדמים ונקבל את המערכת: .
משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את כביטוי של , ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום --- פולינום מדרגה 3 ב שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.
דרך ב
ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה :
נעביר אגפים
נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)
כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה נרצה ש
וזה פולינום מדרגה 3 ב שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.