תרגול 9 תשעז: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־12:13, 8 בינואר 2020

יחסי סדר

הגדרה: יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] על קבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא יחס סדר חלקי אם [math]\displaystyle{ R }[/math] רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:

היחס 'קטן-שווה' על המספרים השלמים
היחס 'מוכל-שווה' על קבוצת החזקה [math]\displaystyle{ P(\{4,5,100\}) }[/math]
היחס 'מחלק את' על הטבעיים

הערה: עבור [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה ויחס סדר חלקי [math]\displaystyle{ \leq }[/math] עליה, נסמן [math]\displaystyle{ (A,\leq ) }[/math] את הקבוצה עם היחס.

הגדרה: דיאגרמת הסה (או תרשים הסה, Hasse diagram) הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר [math]\displaystyle{ x }[/math] מחובר בקשת לאיבר [math]\displaystyle{ y }[/math] מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס (כלומר [math]\displaystyle{ x\gt y }[/math]), ובינם אין עוד איברים (כלומר אין [math]\displaystyle{ z }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ x\gt z\gt y }[/math]). נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\} }[/math].

הגדרות: יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי על הקבוצה:

איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מינימלי ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x }[/math]. כלומר, אין איבר 'קטן' מ-[math]\displaystyle{ x }[/math]. לא חייב להתקיים ש-[math]\displaystyle{ x }[/math] ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מקסימלי ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x }[/math]. כלומר, אין איבר 'גדול' מ-[math]\displaystyle{ x }[/math]. לא חייב להתקיים ש-[math]\displaystyle{ x }[/math] ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא קטן ביותר ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(x,y)\in R }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ x }[/math] 'קטן' מכל האיברים. [math]\displaystyle{ x }[/math] חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה.
איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא גדול ביותר ביחס ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(y,x)\in R }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ x }[/math] 'גדול' מכל האיברים. [math]\displaystyle{ x }[/math] חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math] תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של [math]\displaystyle{ B }[/math].

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר גם לגבי איבר גדול ביותר.

הערה: קטן ביותר גורר מינימלי, וכן גדול ביותר גורר מקסימלי. אבל לא להיפך!

צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,...,10\} }[/math] מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר? צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. מצא את הקבוצה [math]\displaystyle{ \{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal } \} }[/math]

פתרון

נראה שיש רק יחס אחד כזה, והוא הזהות. יחס הזהות אכן מקיים את התנאי. נניח ש-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר המקיים את התנאי ונראה ש-[math]\displaystyle{ R=I_A }[/math]:

כיוון ראשון: כל יחס סדר [math]\displaystyle{ R }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ I_A\subseteq R }[/math].

כיוון שני: יהי [math]\displaystyle{ (a,b) \in R }[/math], אזי כיון ש-[math]\displaystyle{ a }[/math] מקסימלי נובע [math]\displaystyle{ b=a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (a,b)=(a,a) \in I_A }[/math] כדרוש.

תרגיל

הוכח שאם [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] יחס סדר חלקי.

פתרון

רפלקסיביות: לכל איבר [math]\displaystyle{ a }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a,a)\in R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (a,a)\in R^{-1} }[/math].
טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y),(y,z)\in R^{-1} }[/math] לכן מתקיים [math]\displaystyle{ (y,x),(z,y)\in R }[/math] לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים [math]\displaystyle{ (z,x)\in R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (x,z)\in R^{-1} }[/math].
אנטי-סימטריות: אם [math]\displaystyle{ x }[/math] ביחס ל-[math]\displaystyle{ y }[/math] וגם [math]\displaystyle{ y }[/math] ביחס ל-[math]\displaystyle{ x }[/math] הדבר נכון באופן זהה ל-[math]\displaystyle{ R }[/math] וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן [math]\displaystyle{ x=y }[/math].

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי על [math]\displaystyle{ A }[/math]. אם לכל שני איברים [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ R }[/math] נקרא יחס סדר מלא.

דוגמה: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.

דוגמא ליחס סדר מעניין

היחס המילוני.

תרגיל

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר מלא על [math]\displaystyle{ A }[/math], ו- [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] איבר מינימלי יחיד אז הוא גם קטן ביותר.

חסמים (בד"כ לא מלמדים בהנדסה)

הגדרות. יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה, [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] תת קבוצה המוכלת בה ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס סדר חלקי:

חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall y\in B:(y,x)\in R }[/math]
חסם מלרע של B הוא איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall y\in B:(x,y)\in R }[/math]
החסם העליון (סופרמום) של [math]\displaystyle{ B }[/math] הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן [math]\displaystyle{ \mathrm{sup}(B) }[/math]
החסם התחתון (אינפימום) של [math]\displaystyle{ B }[/math] הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן [math]\displaystyle{ \mathrm{inf}(B) }[/math]

דוגמאות

דוגמה: עבור [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא [math]\displaystyle{ \bigcup _{i\in I} A_i }[/math].

דוגמה: נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3,4,5\} }[/math] ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

[math]\displaystyle{ R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),\\(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\} }[/math]

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד [math]\displaystyle{ B=\{1,3,5\} }[/math]. קבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math] הינה [math]\displaystyle{ \{2,4\} }[/math]. המינימום של קבוצה זו הוא [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ולכן הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ B }[/math]. אין חסם מלרע ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ (A,\leq),(B,\preceq) }[/math] שתי קבוצות סדורות חלקית.

על [math]\displaystyle{ A\times B }[/math] נגדיר יחס סדר חלקי הנקרא היחס המילוני [math]\displaystyle{ R }[/math] לפי

[math]\displaystyle{ (a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 \lt a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2) }[/math]

דוגמה: עבור היחס 'קטן שווה' על [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] נסתכל על [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\times \mathbb{N} }[/math] עם הסדר המילוני.

אם [math]\displaystyle{ B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathrm{inf}(B)=(1,1) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathrm{sup}(B)=(2,1) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathrm{inf}(B)=(1,1) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \mathrm{sup}(B) }[/math] לא קיים.

שימו לב ש-[math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] הוא איבר קטן ביותר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
+==יחסי סדר==
+'''הגדרה:''' יחס <math>R</math> על קבוצה <math>A</math> נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם <math>R</math> רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
+דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
+*היחס 'קטן-שווה' על המספרים השלמים
+*היחס 'מוכל-שווה' על קבוצת החזקה <math>P(\{4,5,100\})</math>
+*היחס 'מחלק את' על הטבעיים
+'''הערה:'''
+עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי <math>\leq</math> עליה, נסמן <math>(A,\leq )</math>  את הקבוצה עם היחס.
+'''הגדרה:''' דיאגרמת הסה (או תרשים הסה, Hasse diagram) הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר <math>x</math> מחובר בקשת לאיבר <math>y</math> מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס (כלומר <math>x>y</math>), ובינם אין עוד איברים (כלומר אין <math>z</math> כך ש-<math>x>z>y</math>). נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.
+'''הגדרות:''' יהיו <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי על הקבוצה:
+*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
+*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
+*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''קטן ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'קטן' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה.
+*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''גדול ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'גדול' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה <math>B</math> תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של <math>B</math>.
+הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר גם לגבי איבר גדול ביותר.
+הערה: קטן ביותר גורר מינימלי, וכן גדול ביותר גורר מקסימלי. אבל לא להיפך!
+צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה <math>A=\{1,2,...,10\}</math> מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
+צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
 ===תרגיל===
-יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם:
-א. <math>R^{-1}\circ R=I_A</math>
+תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal } \}</math>
+====פתרון====
+נראה שיש רק יחס אחד כזה, והוא הזהות. יחס הזהות אכן מקיים את התנאי. נניח ש-<math>R</math> יחס סדר המקיים את התנאי ונראה ש-<math>R=I_A</math>:
+כיוון ראשון: כל יחס סדר <math>R</math> מקיים <math>I_A\subseteq R</math>.
-ב. <math>R\circ R^{-1}=I_B</math>
+כיוון שני: יהי <math>(a,b) \in R</math>, אזי כיון ש-<math>a</math> מקסימלי נובע <math>b=a</math> ולכן <math>(a,b)=(a,a)
+\in I_A</math> כדרוש.
 ===תרגיל===
-תהיינה <math>A,B,C</math> קבוצות, <math>R\subseteq A\times B,T,S\subseteq B\times C</math>. הוכח או הפרך:
-א. <math>T\circ R=S\circ R\iff T=S</math>.
+הוכח שאם <math>R</math> יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו <math>R^{-1}</math> יחס סדר חלקי.
+====פתרון====
+*רפלקסיביות: לכל איבר <math>a</math> מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>.
+*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
+*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.
+'''הגדרה:''' יהי <math>R</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math>. אם לכל שני איברים <math>a,b\in A</math> מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי <math>R</math> נקרא '''יחס סדר מלא'''.
+'''דוגמה''':
+היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.
+====דוגמא ליחס סדר מעניין====
+היחס המילוני.
+====תרגיל====
+הוכיחו שאם <math>R</math> יחס סדר מלא על <math>A</math>, ו- <math>a\in A</math> איבר מינימלי יחיד אז הוא גם קטן ביותר.
+==חסמים (בד"כ לא מלמדים בהנדסה)==
+'''הגדרות.''' יהיו <math>A</math> קבוצה, <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:
+*חסם מלעיל של <math>B</math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
+*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
+*החסם העליון (סופרמום) של <math>B</math> הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{sup}(B)</math>
+*החסם התחתון (אינפימום) של <math>B</math> הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{inf}(B)</math>
+=== דוגמאות ===
+'''דוגמה''':
+עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא
+<math>\bigcup _{i\in I} A_i </math>.
+'''דוגמה''':
+נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:
+<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),\\(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>
-ב. <math>T\subseteq S\Rightarrow T\circ R\subseteq S\circ R</math>
+(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)
-'''פיתרון:'''
+נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של <math>B</math> הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא <math>2</math> ולכן הוא החסם העליון של <math>B</math>. אין חסם מלרע ל-<math>B</math> ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.
-א. הכיוון <math>\Leftarrow</math> בוודאי נכון. אבל הכיוון השני לא מתקיים. דוגמא נגדית: ניקח:
+'''הגדרה:'''
- <math>A=\{ 1,2\} ,R=T=\{ (1,1)\} \subseteq A\times A,S=\{ (1,1),(2,2)\} \subseteq A\times A</math>
+יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.
-ונקבל: <math>T\circ R=S\circ R=\{ (1,1)\}</math> אבל כמובן <math>S\neq T</math>.
+על <math>A\times B</math> נגדיר יחס סדר חלקי הנקרא '''היחס המילוני''' <math>R</math> לפי
-ב. הוכחה: יהי <math>(x,z)\in T\circ R</math> אזי לפי הגדרה קיים <math>y\in B</math> כך ש- <math>(x,y)\in R\land (y,z)\in T</math>. כעת, כיון ש-<math>T\subseteq S</math> נובע ש- <math>(y,z)\in S</math>, ולכן לפי הגדרת ההרכבה נקבל <math>(x,z)\in S\circ R</math>.
+<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>
-==תכונות של יחסים על קבוצה==
+'''דוגמה''':
-הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו  <math>R\subseteq A\times A</math>
+עבור היחס 'קטן שווה' על <math>\mathbb{N}</math> נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.
-תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי
+אם <math>B = \{(1,x) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math>, <math>\mathrm{sup}(B)=(2,1)</math>.
-#R נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>)
-#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
-#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
-#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A: \lnot (aRb\land bRa)</math>)
-דוגמאות:
+אם <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math> ו-<math>\mathrm{sup}(B)</math> לא קיים.
-*יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
-*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי
-*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
-*יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
-*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
-*יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
-*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי
-'''הערה:''' יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמא: <math>A=\{ 1,2,3\} , R=\{ (1,1)\} , S=\{ (1,2),(2,1),(3,2)\}</math> ואז R גם וגם, S לא ולא.
+שימו לב ש-<math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.