השינוי האחרון נעשה בֹ־2 במאי 2010 ב־17:16

הבדלים בין גרסאות בדף "לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע"

(←‏תשובה)
(←‏פתיחת מחברות)
 
(746 גרסאות ביניים של יותר מ־100 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
:::<math>
+
::<math>
 
\begin{bmatrix}
 
\begin{bmatrix}
 
\lambda & 0 & 0 \\
 
\lambda & 0 & 0 \\
שורה 11: שורה 11:
 
'''<nowiki>== כותרת שאלה ==</nowiki>'''
 
'''<nowiki>== כותרת שאלה ==</nowiki>'''
  
−
ולכתוב מתחתיה את השאלה שלכם.
+
לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.
 +
 
 +
(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)
  
 
=ארכיון=
 
=ארכיון=
 
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]''' - שאלות על תרגילים 1-4
 
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]''' - שאלות על תרגילים 1-4
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]''' - שאלות על תרגילים 5-8
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
  
 
= שאלות =
 
= שאלות =
−
==שאלה חשובה לדוגמא ==
+
==פתיחת מחברות==
−
+
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
−
מה זה Span?
+
−
+
−
===תשובה ===
+
−
+
−
אוסף כל הצירופים הלינאריים
+
−
+
−
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)
+
−
+
−
:הבנתי, תודה.
+
−
+
−
::בשמחה
+
−
+
−
:::יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.
+
  
−
==שאלה לארז==
+
:תשאלו את המרצים
−
+
 
−
האם קיימת אפשרות לשמור את כל התוכן של דף זה בדף אחר (שאלות ותשובות 1 - תרגילים 1-4, למשל..), ולמחוק את כל מה שיש כרגע פרט לשאלות שרלוונטיות לתרגיל ולחומר של השבוע, במטרה להקל על הצפייה והטעינה?
+
==מבחן מועד א'==
 +
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
 +
אתם יכולים להעלות את המבחן?
 +
תודה.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
כן, אני אעשה את זה. אני מבקש לא למחוק שום דבר שנרשם אף פעם משום סיבה, אלא אם אתם בעצמכם כתבתם את זה.
+
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
  
−
==תרגיל 1.4==
+
==פתיחת מחברות==
 +
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
  
−
בסעיפים ב' וג' יש הפניה לשאלה 1.1, ואני לא ממש מצליחה למצוא ת'קשר...
+
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
−
יש בעיה עם ההבנה שלי או עם הספר??
+
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
 +
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
 +
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
 +
  ,תודה רבה.
 +
 
 +
 
 +
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
 +
 
 +
==ציוני מבחן==
 +
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
הכוונה לשאלה 1.3 לשני הסעיפים
+
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
−
:העתקתי את השאלה מהארכיון כיון שהיא קשורה לתרגיל של השבוע הזה.
+
 
 +
==מקום הפרסום==
 +
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
 +
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
  
−
==תרגיל 1.9==
 
−
האם  שתי המכפלות הן אותן מכפלות? (בסעיף א'..) או שבג' מתעלמים מסעיף א'? כלומר הנתון היחיד שלי זה 2 התכונות בסעיף ב' ואני צריכה להוכיח שהמכפלה שמוגדרת בסעיף ג' היא למעשה לא מכפלה פנימית?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בסעיף א' נאמר שכל מכפלה פנימית מקיימת את התכונה <math><v,u>=vAu^*</math>. בסעיף ג', צריך להראות שיש מטריצות שעונות על התכונות בסעיף ב' אך עדיין אין מכפלה פנימית שיוצרת אותן כמו בסעיף א'. אם הייתה מכפלה כזו, אז היא הייתה מקיימת את השיוויון <math><v,u>=vAu^*</math>, ולכן הפונקציה הזו הייתה אכן מכפלה פנימית.
+
אני לא יודע, אני אודיע כשאדע
  
 +
== שאלה ==
 +
 +
אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
 +
 +
==שאלה==
 +
 +
אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?
 +
 +
===תשובה===
 +
כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
 +
 +
== הוכח\הפרך == 
 +
 
 +
שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- 
 +
תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>
 +
 +
===תשובה===
 +
אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה
 +
:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
 +
 +
'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל
 +
(סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)
  
 
== שאלה ==
 
== שאלה ==
  
−
יש להביא דוגמא נגדית ב 1.5?
+
אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:
 +
ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>
 +
 
 +
 
 +
===הוכחה===
 +
דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.
 +
 
 +
 
 +
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
  
 +
==השלמה לבסיס==
 +
האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .
 +
למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
יש להראות שאחד מחוקי המכפלה הפנימית לא מתקיים. אפשר לעשות את זה על ידי דוגמא נגדית לחוק שלא מתקיים בעזרת מספרים מרוכבים
+
זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
ארז - האם קיים חוק שאומר : לכל v שונה מאפס מתקיים ש:
+
איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?
−
<v,v> גדול מאפס? (גדול ממש)
+
בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.
 +
אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון
 +
ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?
  
−
===תשובה===
+
::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
−
כן, חוק אי שליליות אומר ש <math><v,v> \geq 0</math> ושיוויון מתקיים <math> v=0 \iff</math>. במילים אחרות, אם <math>v\neq 0</math> אזי <math><v,v> > 0</math> ממש
+
 
 +
===תשובה===  
 +
תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V=
 +
אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
האם מותר לי להשתמש בשעורי הבית בכל המשפטים שנלמדו בהרצאה? (בהנחה שלא מבקשים להוכיח אותם)
+
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
 +
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
 +
 
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
עקרונית כן, אבל זו שאלה דיי כללית
+
צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
  
−
==שאלה 4.12.0.5==
+
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
−
האם מתכוונים בשאלה להוכחה רק לגבי המכפלה הפניימית הסטנדרטית או לכל מכפלה פנימית?
+
<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
  
−
===תשובה===
+
==שאלה==
−
המכפלה הפנימית הסטנדרטית, אבל שים לב שזו הסטנדרטית מעל <math>\mathbb{C}</math>, כלומר <math><(z_1,...,z_n),(w_1,...,w_n)> = z_1\overline{w_1}+...+z_n\overline{w_n}</math>
+
א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
−
:בסדר אבל אני לא מתייחס כל כך בהוכחה שזה C כי זה נכון גם ל C  וגם לr ההוכחה שלי
+
 
−
::<math> A^* = \overline{A^t}</math>, איך אפשר לא להתייחס למרוכבים כשמדובר על הצמדה?
+
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
 +
לכל V שייך ל- V.
  
−
==לארז - בקשר לשאלת הבונוס שנתת בכיתה==
 
−
כל הדרך הביתה ישבתי על ההוכחה, אח"כ ישבתי כמעט כל הלילה בשביל הבונוס הזה. בסה"כ ישנתי קצת פחות מ-4 שעות. האם אתה יכול לומר לנו סוף סוף אם מישהו הצליח להוכיח, אם קבלת, ואם מישהו כבר קבלת את הבונוס?
 
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
יש כבר פותרים, אני אפרסם את הפתרונות בקרוב, אני עוד עובר על הוכחות.
+
א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
  
−
==שאלה 5.7==
+
אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.
−
ניסיתי לחלק ל-3 מקרים אבל לא ממש יצא לי.. אפשר איזשהו רמז?
+
 
 +
ב. זה משפט ההצגה של ריס.
  
−
===תשובה===
 
−
אילו מקרים? מה התנאי למרחב ניצב? תבדוק אותו מפורשות
 
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
האם מותר בשאלה זו (5.7) להשלים את הקבוצה S לבסיס אורתונורמלי, לפי המשפט שאומר שכל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להשלמה לבסיס אורתונורמלי?
+
איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
זה מותר ונכון אבל אין צורך בזה, התשובה פשוטה יותר. כמו שרשמתי למעלה, צריך לבדוק את התנאי לניצבות, וזו תשובה של שתי שורות.
+
בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש
−
===בתגובה לתשובה===
+
<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
−
תודה רבה. לא הצלחתי לעלות על התשובה, אז ספקתי תשובה די ארוכה של עמוד שלם של הוכחה, למרות שהוכחה הייתה מאוד קלה.
+
  
 +
החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
  
−
==שאלה - 5.10 ==
+
==שאלה==
−
האם קיימת סיבה לכך שההדרכה אומרת לבחור בסיס, ורק אח"כ לבצע גרם-שמידט? האם לא יכלנו לבחור מראש בסיס אורתונורמלי?
+
אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
−
דבר נוסף, רק לשם בדיקה: האם גם לכם ייצא שהמכפלה הפנימית: <v,w> שווה לאלפא-i בריבוע?
+
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אתה צודק אפשר לקחת ישר בסיס אורתונורמלי, אבל חשוב מאד לקחת בסיס לU ולהשלים אותו להיות בסיס למרחב כולו.
+
מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
  
−
==שאלה 5.14==
+
==שאלה==
−
איך מוצאים בסיס ומימד למרחב הניצב רק ע"י span של המרחב?
+
הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
 +
האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
 +
TT=I
 +
TT*=I
 +
ואז T=T* משמע שזה אמת
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אם וקטור הוא אורתוגונלי לבסיס של הspan, מה המכפלה הפנימית שלו עם שאר איברי הspan?
+
בוודאי שההופכית יחידה...
  
−
ושאלה נוספת, למה שווה הסכום <math>W+W^\perp</math>?
+
וזו הוכחה נכונה.
  
−
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:45, 26 בנובמבר 2009 (UTC)
+
:תודה! (:
  
−
:אני יכולה בעצם לומר: כדי שוקטור יהיה בW+, הוא צריך לקיים שהמכפלה הפנימית שלו עם 2 הוקטורים הנתונים הם 0.. ואז להגדיר V =(x,y,z) ולמצוא לאיזה ערכים של x,y,z שמובעים לדוגמה באמצעות Z זה מתקיים? ומשם גם להוציא את הבסיס..?
+
== 2 שאלות==
 +
1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?
  
−
::כן. וההסבר לכך הוא מה שרשמתי למעלה (זה לגבי מציאת הבסיס, ולא לגבי המימד. את המימד ניתן לומר מיד).
+
2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
 +
 
 +
תודה!
  
−
==שאלת בונוס==
 
−
לגבי ההוכחה הראשונה שניתנה.. למה מותר להניח שבפולינום האופייני של A^2 - המעלה הגבוהה ביותר של (x-alpha)לע"ע alpha כלשהו היא 1?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
<math>A^2</math> לכסינה. לפי התיקון השני לתרגיל, הפולינום האופייני שלה מכיל גורמים לינאריים בלבד. (אחרת היה בלוק ז'ורדן בגודל גדול מ1 ואז צורת הז'ורדן לא הייתה אלכסונית).
+
1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
  
−
:נכון, אבל למה זה אומר שלא יכול להיות (x-alpha)^3 למשל..? זה מתפרק ל(x-alpha)(x-alpha)(x-alpha(
+
לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.  
  
−
::עשיתי שני בלבולים:
+
זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
−
* מדובר על הפולינום המינימלי ולא האופייני של <math>A^2</math>
+
−
* התיקון השני אמר שהחזקה של הגורמים הלינאריים בפולינום המינימלי חייבת להיות אחד. הסיבה לפי צורת ז'ורדן היא כפי שרשמתי למעלה, כי גודל הבלוק המקסימלי הוא בגודל חזקת הגורם הלינארי בפולינום המינימלי.
+
  
−
==אי שיוויון בסל==
+
2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה,  ולכן המכפלה יוצאת
−
ניסיתי להוכיח בבית ששיוויון מתקיים אם ורק אם v שייך לspan{v1,..vk} אבל הצלחתי להוכיח רק את הכיוון <==. אפשר רעיון לכיוון השני?
+
  
−
===תשובה===
+
<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.  
−
ההוכחה צריך להיות דו כיוונית בעיקרון. משלימים את הקבוצה האורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי, ואז לכל וקטור יש הצגה יחידה לפי הבסיס הזה. מפרקים את המכפלות הפנימיות של הוקטור לפי חוקי הלינאריות ומקבלים את תנאי שיוויון פרסבל (זה השיוויון באי שיוויון בסל). 
+
  
−
==בנוגע לתרגיל הנוסף==
+
בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
−
בתרגיל הנוסף יש כמות נכבדת של אינטגרלים שצריך לחשב. האם מותר לבצע את תהליך האינטגרצייה במחשבון, מבלי לנמק?
+
 
−
וזה רק אני, או שהוקטורים שמתקבלים ממש לא יפים?
+
:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
−
:זה אשכרה התעללות, הוקטורים שיוצאים אחרי הג"ש ממש, ממש לא נוחים לחישוב..
+
 
−
::חישוב במחשבון הוא בסדר, המטרה היא לא לראות שאתם יודעים אינטגרלים (אפשר לעשות חישוב שניים והשאר במחשבון). דבר שני, היה צריך לזכור שכל החזקות האי זוגיות אוטומטית נמחקות, ושלישית למדנו בגרם שמידט שאפשר לשמור על מספרים יפים ורק בסוף לחלק בנורמה. לכן אין צורך להסחב עם מספרים לא יפים, הכי הרבה לרשום חלקי נורמה, ורק בתשובה הסופית להציב אותה.
+
:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.
 +
 
 +
::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
 +
::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
 +
:::::: אוקי, שוב תודה :)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
איך אפשר להוכיח ש2 הוא החסם מילרע הגדול ביותר של הקבוצה {2x^2} כאשר x>1??
+
יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...
 +
הוכח\הפרך:
  
−
===תשובה===
+
1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.
−
כבר אני יכול לראות מהשאלה ששכחת שהנורמה היא שורש המכפלה הפנימית של הוקטור בעצמו, כלומר <math>||v||= \sqrt{<v,v>}</math>.
+
  
−
שנית, אין צורך בהוכחה מלאה באינפי, אלא הסבר יספק (למצוא את המרחק עבור x=1, ולהסביר שעם x מתקרב ל1 אזי המרחק של הוקטור מתקרב למרחק עבור x=1)
+
2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
  
−
==שאלה 2 תרגיל 7==
+
תודה לעוזר הנחמד.
−
הכוונה לנפח של הפוליטופ, לא לפוליטופ עצמו, כן?
+
−
| (אדם אחר): מצטרף לשאלה, הרי שבתרגול עשינו את התרגיל על בדיוק אותו רעיון ושם היה נפח, ואיך אפשר לחשב פוליטופ? זה רק קבוצה אז אין פה תרגיל (אם זה לא נפח)... לכן זה חייב להיות נפח.
+
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
קודם כל, פוליטופ אינו נפח. יש הגדרה לפוליטופ:  
+
1. הוכחה:
  
−
<math>P(v_1,...,v_n)=\{\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n | 0 \leq \alpha_1,...,\alpha_n \leq 1\}</math>
+
אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
  
−
זה קבוצה של וקטורים (אמנם לא תת מרחב). נפח הוא מספר.
+
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
  
−
שנית, אתם צודקים, יש טעות בתרגיל. זה צריך להיות נפח. אני אפרסם תיקון.
+
2. הפרכה:
  
 +
ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
 +
:תודה רבה רבה רבה
  
−
'''שאלה:'''
 
−
פוליטופ הוא קבוצה של וקטורים, זאת אומרת שאם X שייך לפוליטופ הנ"ל מלמעלה אז ניתן להציגו כצירוף לינארי של הוקטורים v1....vn עם סקלרים בין 0 ל-1? זאת אומרת X=a1v1+.....anvn ?
 
−
ופוליטופ זה קבוצה, אז איך בתרגיל 1 a יש העתקה לינארית של קבוצה?
 
  
−
קודם כל כן, זה נובע ישירות מההגדרה של פוליטופ שציינתי למעלה.  
+
==שאלה==
 +
בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..
  
−
שנית, זו לא העתקה לינראית מהקבוצה. זו העתקה לינארית מהמרחב שמכיל את הקבוצה. עכשיו אפשר להסתכל על הקבוצה של הוקטורים שמתקבלים ע"י הפעלת ההעתקה הלינארית על הפוליטופ. כלומר לקבוצה כללית <math>S \subset V</math> והעתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math> נגדיר את <math>T(S)=\{Ts \in W|s \in S\}</math>
+
===תשובה===
 +
שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
ארז שלום,
+
:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
−
בתרגיל שעשית בכיתה, חישבת נפח פוליטופ בעזרת מטריצת מעבר, והבסיס שלפיו הצגת את הווקטורים הנתונים היה הבסיס הסטנדרטי.
+
:A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
−
האם זה מותר בגלל שהבסיס הסטנדרטי הוא בא"נ?
+
:A(A^2+I)(A-2I)=0
−
ואם כן, למה נועד תהליך גרם שמידט, למה אי אפשר פשוט תמיד לקחת את הבסיס הסטנדרטי בתור הבא"נ שלפיו אנו פועלים?
+
:הוכח: A לכסינה.
−
תודה.
+
  
  
−
===תשובה===
+
תשובה  
−
כן, היה מותר כי הבסיס הסטנדרטי הינו בא"נ.
+
זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:
 +
x(x-i)(x+i)(x-2)      z
 +
אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.
 +
מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)
 +
ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה
 +
http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png
 +
וזה אם ורק אם A לכסינה
 +
 
 +
::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
  
−
הבסיס הסטדנדרטי הוא בא"נ למרחבים המוכרים. אבל לתתי מרחבים אין בדר"כ בסיסים סטנדרטיים, ולשם כך צריך את תהליך גרם שמידט. למשל אם תיקח את המרחב הנפרש ע"י <math>\{(1,1,0),(-1,0,1)\}</math>. אין לו בסיס סטנדרטי. איך תחשב מרחק של וקטורים מתת מרחב זה?
+
:: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
איך אני אמור לדעת מה המספר הרציונלי הקרוב ביותר ל-שורש 2??
+
שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
−
קשור לשאלה מס' 3 סעיף ב
+
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בעזרת כוח המחשבה :)
+
אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.
−
זה אמנם לא קורס אינפי, אבל זו שאלה שאתם יכולים לענות עליה.
+
  
−
==מספר שאלות די בסיסיות בנושאים שונים==
+
תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
−
1. האם המכפלה הפנימית הסטנדרטית היא מכפלה רגילה של סקלרים, או השורש של מכפלת הסקלרים (בדומה לנורמה המושרית), כלומר האם: <(1,2),(3,7)> יהיה שווה ל- 17, או לשורש של 17?
+
  
−
2. בתרגיל 1.a יצאה לי הוכחה די קצרה, של חצי עמוד שהשתמשה רק בהגדרת הפוליטופ (כלומר בטאתי את הקבוצה שנוצרת אם מפעילים עליה את ההעתקה, ולכן הסקלרים נשארים אותם סקלרים ורק הוקטורים עלולים להשתנות). האם זה בסדר?
 
  
−
3. כדי לחשב הטלה יש להשתמש בבסיס אורתונורמלי כלשהו, נכון? אבל בכיתה כשחישבת איתנו את הנפח של שלושה וקטורים לפי ההגדרה באינדוקציה רק נרמלנו את הוקטורים כדי לחשב את ההטלה. עכשיו אני מבולבל ולא יודע איך נכון לפתור את תרגיל 2.a.
+
:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
 +
::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
  
−
תודה רבה!!
+
אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)
  
 +
זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
  
−
1. יהיה שווה 3+14
+
תודה I GUESS...
  
−
2. ההוכחה די קצרה בעזרת הכלה דו כיוונית.
+
==שאלה==
 +
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
  
−
3. אם יש לך בסיס לא אורתונורמלי עליך לנרמל אותו ואז לחשב את ההטלה.
+
*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
  
−
===תשובה===
+
::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
−
התשובות שענו לך נכונות פרט ל3. בכיתה לא נרמלנו את הוקטורים בלבד אלא ביצענו תהליך גרם שמידט מלא. את הוקטור הראשון נרמלנו בלבד, כי ככה עובד תהליך גרם שמידט. בכיתה נתתי נוסחא להטלה על מרחב לפי בא"נ, ולכן יש לבצע תהליך גרם שמידט על מנת שיהיה בא"נ. (לא מספיק רק לנרמל את הבסיס, צריך להפוך אותו לאורתונורמלי)
+
::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
  
−
:אז בעצם בשביל לחשב את ההטלות צריך לבצע תהליך גרם שמידט על ארבעת הוקטורים בתרגיל 2?
 
  
−
::כן, כפי שעשינו בשיעור. שים לב שלא בכל הטלה צריך את 4 הוקטורים. כל פעם מטילים וקטור אחד על קודמיו. את המרחק צריך לחשב בין הוקטור הנתון לבין התת מרחב הנפרש ע"י קודמיו. את הבסיס של התת מרחב הזה אפשר להחליף לבא"נ בעזרת תהליך גרם שמידט
+
::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R        אבל  כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
 +
        מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:
  
−
מישהו אחר- למה צריך הכלה דו כיוונית ולא פשוט שוויון ב2 a?
+
==שאלה==
−
:מתכוון 1 a? צריך להוכיח שיוויון, כל דרך מתמטית נכונה מתקבלת. הכלה דו כיוונית זו דרך נוחה
+
איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:
  
−
==שאלות :)==
+
נתונה מטריצה A:
  
−
1. בשאלה 3 סעיפים א ו-ב צריך לעשות באמצעות הראש?! או להציב בנוסחא או משהו כזה , אי אפשר פשוט להגיד  מתי המרחק מינימלי?
+
0 0 0 5
  
−
בנוסף לכך נגיד בא' כשהמרחק 2 הוא לא נמצא בקבוצת המרחקים הוא רק שואף ל2
+
0 0 4 1
 +
 
 +
0 3 3 2
 +
 
 +
3 6 5 4
 +
 
 +
א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)
 +
 
 +
ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
 +
תודה!
 +
 
 +
:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
 +
::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.
 +
 
 +
== שאלה ==
 +
איפה המבחן מחר?
 +
 
 +
לפי אורי וייס
 +
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
 +
 
 +
== שאלה ==
  
−
2. בשאלה 2 a צריך להפוך את הווקטורים בקבוצה לאורתונורמליים כדי לחשב את ההיטל?
+
סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
  
−
3. אני מסתבך עם 1b אפשר עזרה?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
1. צריך לרשום מה המרחק בין הוקטור הנתון לוקטור כללי בקבוצה, ואז להסביר מה יהיה החסם התחתון של המרחקים הנ"ל. המרחק לא צריך להיות בקבוצת המרחקים, הוא החסם התחתון שלה. וכפי שלמדתם באינפי, חסם תחתון לא חייב להיות בקבוצה. בנוסף אני ממליץ להסתכל על שאלה שכבר שאלו לגבי השאלה הזו, ולהזכר מה היא הגדרת הנורמה.
+
T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון
 +
לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+
 +
כלומר לכל w בU קיים w' כך ש  T(w')=w
 +
נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי
 +
<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>
 +
ולכן Ty גם בU+
  
−
2. כן, לפי הנוסחא בכיתה צריך בא"נ כדי לחשב היטל ומכך מרחק.
 
  
−
3. תחשוב על הדרכים השונות לחשב נפח, אחת מהם תעזור לך להוכיח. צריך להזכר בסוף של לינארית 1 גם.
+
==שאלה==
 +
האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
 +
==תשובה==
 +
לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
המספר הרציונאלי שקרוב ביותר לשורש 2 הוא 1.4?
+
המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?
−
:מה לגבי 1.41? לא קרוב יותר? ואין מספר יותר קרוב מזה?
+
−
::אז אני לא מבין איך אפשר למצוא אותו זה יכול להיות גם 1.414 וכו' , לא?! אני לא מבין איך אפשר להגיע אליו
+
−
:::המרחק המינימלי לא מתקבל. המרחק מוגדר כחסם התחתון של כל המרחקים המתקבלים. בדיוק לפי הגדרת חסם תחתון באינפי. <math>d(v,W)=inf\{d(v,w)|w \in W\}</math>
+
−
 
+
−
==שאלה בקשר למטריצת גראם==
+
−
למה |Gb| = |Gc| כאשר b,c שניהם בסיסים של V?
+
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
זה לא נכון, מי אמר את זה?
+
התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע  במבחן.
  
−
קח בסיס אחד, תכפיל וקטור אחד שלו ב3 ותקבל בסיס שני. הדטרמיננטה של מטריצת גרם של הבסיס השני תהיה פי 9 מהדטרמיננטה של הבסיס הראשון.
 
  
−
:אוקי. אז זה נכון אולי עבור B וB' אחרי שעשינו לו גראם שמידט?
+
רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
  
−
::לא. מטריצה גרהם של בא"נ היא תמיד <math>I</math> והדטרמיננטה שלה תמיד 1. הדטרמיננטה של מטריצת גרהם של בסיס כללי יכולה להיות שונה מאחד
+
==שאלה על התרגיל==
−
:::בהוכחה לגבי מרחקים בהרצאה של צבאן שרצינו למצוא את הקשר למטריצת גראם, הייתה טענה ש|Gb| = |Gb'| כאשר b' הוא לאחר ביצוע תהליך גראם שמידט בלי נירמול.
+
קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )
−
::::זה כבר נשמע הגיוני. הרי מותר במטריצה להוסיף לשורה מסוימת שורה אחרת כפול סקלר (כנ"ל לגבי עמודות) והדטרמיננטה תשאר אותו דבר. תהליך גרם שמידט מוסיף לכל וקטור צירוף לינארית של הוקטורים הקודמים. ולכן אם תבצע את ההתליך על מטריצת הגרהם (קודם לשורות, אחר כך לעמודות), לפי לינאריות המכפלה הפנימית, תקבל את מטריצת הגרהם של הבסיס לאחר גרם שמידט ללא נרמול. ולכן הדטרמיננטה תהיה זהה.
+
  
−
== שאלה ==
+
:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
−
לא הבנתי מה הכוונה בשאלה 4. צריך למצוא את ערכם של המקדמים <math>\alpha _{1},...,\alpha _{n}</math> שתקיים שלכל מט' A מגודל n זה יתקיים? איך זה יכול להיות? או שצריך לתת דוגמא לA ואז למצוא את הפוליטופ כך שזה מתקיים? תוזה רבה על העזרה.
+
  
 +
=תודה!!=
 +
ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.
 +
תבוא לתרגל באינפי 2 (:
  
−
===תשובה===
+
: בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
−
'''נתונה''' מטריצה A ריבועית כלשהי. עכשיו צריך למצוא וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> כך שיתקיים <math>vol(P(v_1,...,v_n))=|detA|</math>.
+
  
 +
:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח
  
−
==שאלה==
 
−
נניח B בסיס כלשהו לW. ניקח וקטור v שלא נמצא בW. אזי {v1,..,vk,v} (נקרא לקבוצה זו B') כמובן בת"ל אך קבוצה זו אינה בסיס, נכון? אני יכולה להציג את גראם שמיט לפי B'? זה מוגדר בכלל? כי השתמשנו בזה באחת ההרצאות.
 
  
−
===תשובה===
+
תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.
−
היא בסיס, למרחב <math>span(B')=W+span\{v\}</math>. ואת מתכוונת למטריצת גרהם של <math>B'</math> לא גראם שמידט.  
+
  
−
מטריצת גרהם מוגדרת לכל קבוצה של וקטורים, פשוט היא מעניינת יותר כאשר הוקטורים בת"ל.
+
-מצטרף לתשבוחות
 +
רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש
  
−
חשוב לזכור שקבוצה בת"ל היא תמיד בסיס למרחב שהיא פורסת (הspan שלה).
+
:חחחחחחחחחחחח גדוללל!
  
−
==שאלה==
+
:מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)
  
−
ארז,אנחנו רוצים אותך בתור המרצה שלנו!!!!!!
+
חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!
−
==שאלה==
+
  
−
אפשר בבקשה עזרה בתרגיל 1 ב - יש לי כיוון מסוים לגבי מטריצת המעבר אבל אני לא מצליח ליישם אותו...
+
=שאלה=
 +
בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.
 +
מה לעשות?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
תנסה לרשום במפורש את מטריצת המעבר של הנפח של הפוליטופ מצד ימין ושל הפוליטופ מצד שמאל. בצד שמאל, השתמש בסעיף a. מה זו המטריצה שהתקבלה בצד שמאל? 
+
אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
−
זכור שעל מנת לזהות מטריצת מעבר או מטריצה של העתקה צריך להראות מה המטריצה עושה לוקטורי הבסיס (בדומה להוכחות שעשינו בסוף לינארית אחד לגבי מטריצות מעבר ומטריצות מייצגות העתקה).
+
  
−
== שאלה 2 ==
+
==שאלה==
−
אתה יכול להזכיר איך בדיוק מוצאים את הנפח של הפוליטופ לפי הגדרה?
+
היי ארז,
 +
ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?
 +
תודה רבה!
 +
נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
  
−
===תשובה===
 
−
קודם כל, שימו לב שכותרת מתחילה ב== ונגמרת ב==. אל תעתיקו את התג <nowiki><nowiki></nowiki> מהדוגמא. הוא נמצא בתוך הטקסט על מנת שאחרי שנשמור את הדף נראה איך רושמים כותרת ולא את הכותרת עצמה.
 
  
−
ולעניין,
+
סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
−
מגדירים נפח פוליטופ ברקורסיה. לכל פוליטופ המורכב מוקטור אחד בלבד אנו מגדירים:
+
  
−
<math>vol(P(v_1)):=||v_1||</math>.
+
:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
  
−
כעת, לכל פוליטופ המורכב מk וקטורים, אנו מגדירים:
 
  
−
<math>vol(P(v_1,...v_k)):=vol(P(v_1,...,v_{k-1}))\cdot d(v_k,span\{v_1,...,v_{k-1}\})</math>
+
::אחרי שהמבחנים יבדקו
  
−
==שאלה 1 ב==
+
:::לא מאמינים. תוכיח :)
−
האם n הוא המימד של V? האם הוקטורים v1,....,vn בת"ל? יש לי הרגשה שמשהו חסר.
+
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
 +
==שאלה==
 +
מה מס' הקורס? :P
 +
==אמירה==
 +
יש ציונים!!!
  
 +
למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
  
−
===תשובה===
+
הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
−
לא חסר כלום. אם הוקטורים ת"ל ממילא הנפח של הפוליטופ שווה אפס ואז התשובה טריוויאלית.
+
−
*האם n הוא המימד של V?
+
−
::אוקיי, אני רואה את הבעייתיות, ואני אסביר. המרחב שמכיל את <math>v_1,..,v_n</math> לא חייב ללהיות ממימד n כי יכול להיות שהוקטורים ת"ל. ניקח את המרחב שנפרש ע"י הוקטורים האלה, ואת <math>T</math> להיות העתקה מהמרחב הזה לאנשהו.
+
  
−
::אחרת, באמת, אפשר לקחת <math>T</math> שאת הוקטורים האלה משאיר כמו שהם, אבל וקטורים אחרים במרחב מאפסת, ולכן הדטרמיננטה שלה תהיה אפס בסתירה.
+
איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
  
−
::בקיצור, <math>T:span\{v_1,...,v_n\}\rightarrow W</math>
+
18/11
  
−
::: ארז, תקן אותי אם אני טועה... אבל T חייב להיות אופרטור לינארי, כי דטרמיננטה של העתקה מוגדרת רק עבור אופרטור. לכן אני חושב שהאפשרות היחידה לפתור את התרגיל הזה היא להניח ש n=dimV.
+
מה 18 ומה 11  עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?
  
−
::::האמת שכנראה שאתה צודק לגבי ההגדרה של דטרמיננטה של ההעתקה ולכן זה חייב להיות אופרטור (אני צריך לרענן את זכרוני). מה שבטוח הוא, שהמימד לא חייב להיות n. יכול להיות שכל הוקטורים הנתונים הם בעצם אותו וקטור.
+
:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...
  
−
::::: אם כך, יכול להיות ש v1,...,vn אינם בסיס. כיצד נדבר על מטריצת מעבר? אפשר רמז?
 
  
−
:::::: אם הם ת"ל אז הנפח הוא אפס
+
:ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
  
−
==שאלה קטנה (בנוגע לכתיבה)==
+
::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות
  
−
תגיד שיינר, כאשר אנחנו סתם מחשבים דברים (ולא בהוכחות או משהו כזה) האם באמת צריך לכתוב כל פעם ליניאריות ברכיב I או כמו-לינ' ברכיב II? זה די מסרבל, וזה די ברור...
+
מתי הפתיחת מחברות?
  
−
*מתי היינו צריכים לכתוב את זה בתרגיל של השבוע??
+
תשאלו את המרצים
  
−
===תשובה===
+
==הכרזה==
−
אין צורך לרשום את זה. אפשר פשוט להוציא את הסקלר (או הצמוד של הסקלר כשצריך)
+
יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')
  
−
== שאלה 1 סעיף ב ==
+
יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?
 +
הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)
  
−
ב1 b האם הכוונה לאופרטור לינארי כי יוצא לי נכון רק עבור אופרטורים.
 
  
−
בנוסף, הוכחתי שהנפח של הפוליטופ של TV1 עד TVn שווה ל |detQ| כפול הפוליטופ של V1 עד Vn בהנחה שהוקטורים בת"ל
+
הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..
−
הוכחתי ש Q היא ההצגה של T מV1 עד Vn לV1 עד Vn.  
+
  
−
V1 עד Vn הוא בסיס לתת מרחב של V. האם אני יכול שההצגה הזו היא ההצגה המייצגת של T?
+
==שאלה==
 +
מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
  
−
תודה!
+
===תשובה===
 +
את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
  
−
*תשובה : ב-1b אני השתמשתי בנוסחת חישוב נפח פוליטופ לפי מטריצת המעבר.
+
==הצעה==
 +
לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
זה נכון להעתקה לינארית ולא רק לאופרטור
+
ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
  
−
==שאלה - בנוגע לשאלה 4==
+
:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
−
ב-a - מה צריך לעשות? באופן כללי, כל מטריצה A שנקח שוקטוריה הם v1,...,vn תתאים כאן. בנוסף, אפשר לקחת וקטורים שנפח הפוליטופ שלהם הוא 1, ואת מטריצת היחידה. יש אינספור אפשרויות. מה בדיוק רצית שנעשה?
+
 
−
-ב-b : אם הבנתי נכון, בעצם צריך ממש לכתוב את הגדרת נפח הפוליטופ כביטוי מפורש, אבל קבלתי תשובה של שורה אחת. זה בסדר?
+
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
 +
 
 +
מתי יהיו ציונים סופיים?
 +
 
 +
לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.
 +
 
 +
===פתיחת מחברות===
 +
מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?
 +
 
 +
 
 +
אני ממליץ לשאול את בוריס :)
 +
 
 +
===לגבי מועד ב'===
 +
אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??
 +
 
 +
 
 +
רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
שימו לב לשאלה. A '''נתונה''' מה זאת אומרת כל מטריצה תתאים? לא ביקשו ממך לבחור מטריצה. בקשו ממך לבחור '''וקטורים''' בהנתן מטריצה. אי אפשר לקחת את מטריצת היחידה, כי לא נתון שA היא מטריצת היחידה. ומה הכוונה ב"וקטורי המטריצה"?
+
מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').
 +
 
 +
===תשובה של דר' צבאן===
 +
לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
 +
 +
לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון
 +
נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום
 +
ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.
 +
 
 +
לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.
 +
 
 +
סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
 +
את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.
 +
מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.
 +
בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
 +
המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.
 +
 
 +
מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):
 +
 
 +
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html
 +
 
 +
בהצלחה,
  
−
בב', אם זה הביטוי הנכון זה בסדר, צריך להסביר בשתי מילים איך הגעת אליו.
+
ד"ר בועז צבאן
  
−
*אוקיי, אז אם A מסדר nxn, אני יכול לקחת את הוקטורים של A עצמה? כלומר, העמודה ה1 של A תהיה v1, ... העמודה ה-n של A תהיה vn, וכך לקבל שוויון נכון לכל A? (כי אם נחשב את הצגת מטריצת המעבר של הוקטורים שמצאנו (שהיא, ממש במקרה, A) לפי הבסיס הסטנדרטי נקבל שהדטרמיננטה שלה מן הסתם שווה לדטרמיננטה של A)
+
: תודה רבה
−
**כן יפה
+

גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010

\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

ארכיון 6 - שאלות על המבחן

שאלות

פתיחת מחברות

מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?

תשאלו את המרצים

מבחן מועד א'

העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. אתם יכולים להעלות את המבחן? תודה.

תשובה

תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו

פתיחת מחברות

מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?

פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים

תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'. 

  ,תודה רבה.


פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.

ציוני מבחן

מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?

תשובה

הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא

מקום הפרסום

היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט? ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


תשובה

אני לא יודע, אני אודיע כשאדע

שאלה

אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??

שאלה

אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?

תשובה

כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.

הוכח\הפרך

שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-degA=2 <= rkA=1(

תשובה

אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה

גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).

תשובה: (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- im(T)=im(T^*)


הוכחה

דבר ראשון נוכיח שker(T)=ker(T^*). נניח v \in kerT לכן Tv=0 ולכן \forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0 אבל T^*T=TT^* ולכן \forall u: <TT^*v,u>=0 ולכן \forall u: <T^*v,T^*u>=0 ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <T^*v,T^*v>=0 ולכן T^*v=0 כלומר v \in ker T^*. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


עכשיו נוכיח את הטענה. v \in kerT אם"ם \forall u: <Tv,u>=0 אם"ם \forall u: <v,T^*u>=0 אם"ם v \in (ImT^*)^\bot ולכן kerT = (ImT^*)^\bot. בצורה דומה kerT^*=(ImT)^\bot. אבל הגרעינים שווים ולכן (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).

השלמה לבסיס

האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור v_1 לבסיס עבור F^n . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?

תשובה

זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם v_1,...v_n בא"נ אזי גם Tv_1,..Tv_n בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן TT^*=T^*T=I. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: <Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.


שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה A=PJP^{-1} נשחלף לקבל ש A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס v_3,v_2,v_1,v_5,v_4.

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!


תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך לw_1,...,w_{i-1}. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <w_i,w_j>=0 לכל j<i. אבל לפי ההנחה, הוקטורים w_1,...,w_{i-1} מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

<w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0 כפי שרצינו.

בנוסף, w_i\neq 0 מכיוון שאחרת v_i ת"ל בv_1,...,v_{i-1} בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}.
עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
אוקי, שוב תודה :)

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים שA^*A הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש \lambda ע"ע של A^*A אזי \lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0 ולכן \lambda \geq 0.

כעת, נניח בשלילה שI+A^*A סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר |I+A^*A+0\cdot I|=0 כלומר, |A^*A-(-1)\cdot I|=0 כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של A^*A בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי (-1)^2 הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A

תודה רבה רבה רבה


שאלה

בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..

תשובה

שים לב ש\lambda הינו ע"ע של A^*A ולכן A^*Av=\lambda v

שאלה

עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
A(A^2+I)(A-2I)=0
הוכח: A לכסינה.


תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו: x(x-i)(x+i)(x-2) z אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A) ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png וזה אם ורק אם A לכסינה

איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..

שאלה

שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?

תשובה

אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.

תנסו להבין כמה שאתם יכולים.


אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.

אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)

זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.

תודה I GUESS...

שאלה

למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0?? 

*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)


תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
       מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:

שאלה

איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:

נתונה מטריצה A:

0 0 0 5

0 0 4 1

0 3 3 2

3 6 5 4

א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)

ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. תודה!

למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.

שאלה

איפה המבחן מחר?

לפי אורי וייס 505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...

שאלה

סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...


תשובה

T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+ כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=w נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי <w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0> ולכן Ty גם בU+


שאלה

האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?

תשובה

לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.

שאלה

המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?

תשובה

התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן. 


רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...

שאלה על התרגיל

קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )

לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?

תודה!!

ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם. תבוא לתרגל באינפי 2 (:

בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.

-מצטרף לתשבוחות רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש

חחחחחחחחחחחח גדוללל!
מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)

חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!

שאלה

בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות?

תשובה

אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל שישנה את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.

שאלה

היי ארז, ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן? תודה רבה! נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...

מתי יפורסמו פתרונות למבחן?


אחרי שהמבחנים יבדקו
לא מאמינים. תוכיח :)
אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל

שאלה

מה מס' הקורס? :P

אמירה

יש ציונים!!!

למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?

הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות

איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?

18/11

מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?

כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות

מתי הפתיחת מחברות?

תשאלו את המרצים

הכרזה

יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')

יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<? הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)


הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..

שאלה

מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.

תשובה

את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.

הצעה

לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.

תשובה

ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.

אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.

מתי יהיו ציונים סופיים?

לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.

פתיחת מחברות

מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


אני ממליץ לשאול את בוריס :)

לגבי מועד ב'

אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??


רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..

תשובה

מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').

תשובה של דר' צבאן

לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.

לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.

לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.

סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה). המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.

מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html

בהצלחה,

ד"ר בועז צבאן

תודה רבה