88-212 תשעז סמסטר ב/פתרון3: הבדלים בין גרסאות בדף
| (גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
| שורה 20: | שורה 20: | ||
===סעיף 4ב=== | ===סעיף 4ב=== | ||
קל לראות שהאידיאלים | |||
<math><x-1>,<x+1>\vartriangleleft\mathbb{Q}[x]</math> | |||
הם קו-מקסימליים. ולכן לפי משפט השאריות הסיני: | |||
<math>S=\mathbb{Q}[x]/_{<x^2-1>}\cong\mathbb{Q}[x]/_{<x+1>}\times\mathbb{Q}[x]/_{<x-1>}\cong\mathbb{Q^2}</math>. | |||
ב-S אין איברים נילפוטנטיים אבל ב-R יש (<math>x^2</math>), לכן הם לא איזומורפיים. | |||
===סעיף 4ג=== | ===סעיף 4ג=== | ||
גרסה אחרונה מ־11:24, 5 ביוני 2017
כאן אפשר לשאול ולענות על תרגיל בית 3 בקורס מבוא לחוגים ומודלים בשנת תשע"ז.
פתרונות סרוקים
שאלה 1
שאלה 2
שאלה 3
שאלה 4
סעיף 4א
נגדיר [math]\displaystyle{ \phi:\mathbb{F}_2[x]\longrightarrow\mathbb{F}_2[x]/_{\lt x^2\gt } }[/math] לפי [math]\displaystyle{ \phi(x+1)=\phi(x-1)=x }[/math] (השאר ישלח לעצמו). זה הומ' עם גרעין [math]\displaystyle{ \lt x^2-1\gt }[/math], ולכן לפי איזו' 1 נקבל את הדרוש.
סעיף 4ב
קל לראות שהאידיאלים [math]\displaystyle{ \lt x-1\gt ,\lt x+1\gt \vartriangleleft\mathbb{Q}[x] }[/math] הם קו-מקסימליים. ולכן לפי משפט השאריות הסיני: [math]\displaystyle{ S=\mathbb{Q}[x]/_{\lt x^2-1\gt }\cong\mathbb{Q}[x]/_{\lt x+1\gt }\times\mathbb{Q}[x]/_{\lt x-1\gt }\cong\mathbb{Q^2} }[/math]. ב-S אין איברים נילפוטנטיים אבל ב-R יש ([math]\displaystyle{ x^2 }[/math]), לכן הם לא איזומורפיים.