תרגול 10 תשעז: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־14:35, 16 ביולי 2019

יחסי שקילות

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס עליה. [math]\displaystyle{ R }[/math] יקרא יחס שקילות (יח"ש) אם הוא

רפלקסיבי
סימטרי
טרנזיטיבי

סימון מקובל: אם [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות מסמנים גם [math]\displaystyle{ x \sim y }[/math] עבור [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math].

וכן נסמן [math]\displaystyle{ (A,\sim) }[/math] את הקבוצה עם יחס השקילות.

תרגיל

על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] נגדיר ארבעה יחסים [math]\displaystyle{ Q,R,S,T }[/math] באופן הבא: לכל [math]\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R} }[/math]:

[math]\displaystyle{ xQy\iff x-y=17 }[/math]

[math]\displaystyle{ xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\} }[/math]

[math]\displaystyle{ xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z} }[/math].

[math]\displaystyle{ xTy\iff x-y\in \mathbb{Z} }[/math].

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

פתרון

[math]\displaystyle{ Q }[/math] לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] (ובפרט קיים לפחות אחד) [math]\displaystyle{ x-x=0\neq 17 }[/math].

[math]\displaystyle{ R }[/math] אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

[math]\displaystyle{ S }[/math] לא טרנזיטיבי: [math]\displaystyle{ 2S6\land 6S3 }[/math] אבל לא נכון ש-[math]\displaystyle{ 2S3 }[/math].

[math]\displaystyle{ T }[/math] כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], אז [math]\displaystyle{ x-x=0\in \mathbb{Z} }[/math].

סימטריות: [math]\displaystyle{ xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx }[/math].

טרנזיטיביות: [math]\displaystyle{ xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z} }[/math].

מחלקות שקילות וחלוקה

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. חלוקה של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא אוסף של תת קבוצות זרות של [math]\displaystyle{ A }[/math] המכסות את [math]\displaystyle{ A }[/math]. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] כך שמתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall i\in I: A_i \neq \varnothing }[/math].
[math]\displaystyle{ \bigcup _{i\in I} A_i =A }[/math] כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
הקבוצות [math]\displaystyle{ A_i }[/math] הן זרות בזוגות. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק ([math]\displaystyle{ \forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing }[/math]).

הגדרה:

יהא [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות על [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי

לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מוגדרת מחלקת השקילות של [math]\displaystyle{ x }[/math] להיות [math]\displaystyle{ \bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} }[/math].
קבוצת המנה מוגדרת [math]\displaystyle{ A/R := \{ [x]_R | x\in A\} }[/math].

משפט: יהא [math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות על [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [x]=[y] }[/math] או [math]\displaystyle{ [x]\cap [y] =\varnothing }[/math] (כלומר מחלקות השקילות זרות).
[math]\displaystyle{ A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x] }[/math] (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל [math]\displaystyle{ A }[/math]).

הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של [math]\displaystyle{ A }[/math].

מסקנה: תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה אזי יש התאמה {[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות על [math]\displaystyle{ A }[/math]} [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] {חלוקות של [math]\displaystyle{ A }[/math]}.

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

תרגיל

ראינו לעיל יחס [math]\displaystyle{ T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R} }[/math] והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q} }[/math].

ב. אם [math]\displaystyle{ x,y\in [0,1) }[/math] שונים אז [math]\displaystyle{ [x]_T\neq [y]_T }[/math].

ג. [math]\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T }[/math].

פתרון

א.נוכיח בשלילה: יהי [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q} }[/math] ונניח בשלילה שקיים [math]\displaystyle{ q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T }[/math]. נקבל שקיים [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{Z} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x-q=a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=a+q\in \mathbb{Q} }[/math] בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בהינתן כל [math]\displaystyle{ x\gt y }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x-y\gt 0 }[/math] ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל [math]\displaystyle{ x-y\lt 1 }[/math], ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

תרגיל

על [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\times \mathbb{R} }[/math] נגדיר יחס [math]\displaystyle{ \sim }[/math] לפי זה שלכל [math]\displaystyle{ (x_1,y_1),(x_2,y_2) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2 }[/math].

קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

פתרון

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-===יחסי שקילות===
+חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
-הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יחס שקילות אם הוא
+==יחסי שקילות==
+הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
 #רפלקסיבי
 #סימטרי
@@ שורה 6: / שורה 8: @@
 '''סימון מקובל:'''
+אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.
+וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.
+====תרגיל====
+על <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:
-אם R יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>
+<math>xQy\iff x-y=17</math>
-וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות
+<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>
-דוגמא נוספת:
+<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.
-נגדיר יחס שקילות R על <math>\mathbb{Z}</math> ע"י  <math>3|(x-y) \Leftrightarrow xRy</math>
+<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.
-טענה: R אכן יחס שקילות
+בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.
-הוכחה:
+=====פתרון=====
-. רפלקסיביות - נניח <math>\forall x\in \mathbb{Z}:3|0=x-x</math> לכן <math>xRx</math>
+<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.
-. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>3|(x-y)</math> ולכן גם <math>3|(y-x)=-(x-y)</math>
+<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.
-. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי <math>3|(x-y)\and 3|(y-z) </math>
+<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.
-ולכן גם <math>3|(z-x)=(z-y)+(y-x)</math>
-הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
+<math>T</math> כן יחס שקילות:
-כך ש:
-* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
-* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה
-* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)
-הגדרה:
+רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.
+סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.
+טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.
-יהא R יחס שקילות על A  אזי
+===מחלקות שקילות וחלוקה===
-# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות  <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
+הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
-# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>
+כך שמתקיים:
+* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
+* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
+* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).
+הגדרה:
-למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>
+יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
-בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}</math> וקבוצת המנה היא
+# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות  <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.
-<math>\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
+# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.
-משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
+'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
-# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
+# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
-# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
+# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
-הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A
+הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.
 מסקנה:
-תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }
+תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
-<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}
+<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.
 חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
+====תרגיל====
+ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:
+א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.
+ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.
+ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.
+=====פתרון=====
+א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).
+ב. בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.
+ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.
+====תרגיל====
+על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:
+<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
+קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?
+=====פתרון=====
+מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.