תרגול 11 תשעז: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת)
שורה 1: שורה 1:
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].


==המשך יחסי שקילות==
==יחסי שקילות - תרגילים נוספים==
 
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך ש:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>
* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה 
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\not= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)
 
הגדרה:
 
יהא R יחס שקילות על A  אזי
 
# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות  <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>
 
 
למשל בדוגמא משבוע שעבר על השלמים עם היחס <math>x~y\iff 3|x-y</math>, מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}</math> וקבוצת המנה היא
<math>\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
 
 
משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A
 
 
מסקנה:
תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}
 
חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
 


===תרגיל===
===תרגיל===
שורה 55: שורה 24:


===שאלה ממבחן===
===שאלה ממבחן===
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.
א. תהי <math>A</math> קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על <math>A</math>. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על <math>A</math>.


ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?
ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?


====פתרון====
====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.
א. רפלקסיביות: מאחר ו-<math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש-<math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.


סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.
סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.
שורה 70: שורה 39:
<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.
<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.


R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)
<math>R</math> הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן <math>R</math> הינו אוסף הזוגות מהצורה <math>(q,q)</math> עבור <math>q</math> מספר שלם. (יחס השיוויון).




גרסה אחרונה מ־15:56, 29 בדצמבר 2017

חזרה לדף מערכי התרגול.

יחסי שקילות - תרגילים נוספים

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס [math]\displaystyle{ \sim \subseteq P(A)\times P(A) }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ C\sim D\iff C\cap B=D\cap B }[/math]. הוכיחו:

א. זהו יחס שקילות.

ב. לכל [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ C\subseteq B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [X]_R=[C]_R }[/math].

ג. אם [math]\displaystyle{ C,D\subseteq B }[/math] שונות, אז [math]\displaystyle{ [C]\neq [D] }[/math].

פיתרון

א. רפלקסיביות: כמובן ש- [math]\displaystyle{ \forall C\subseteq A:C\cap B=C\cap B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ C\sim C }[/math].

סימטריות: נניח [math]\displaystyle{ C\sim D }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C\cap B=D\cap B\iff D\cap B=C\cap B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ D\sim C }[/math].

טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ C\sim D\land D\sim E }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B }[/math] ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.

ב. יהי [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] נשים לב שמתקיים [math]\displaystyle{ (X\cap B)\cap B=X\cap B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [X]_R=[X\cap B]_R }[/math], ובנוסף מתקיים [math]\displaystyle{ X\cap B\subseteq B }[/math] ולכן נוכל לבחור [math]\displaystyle{ C=X\cap B }[/math].

ג. תהיינה [math]\displaystyle{ C,D\subseteq B }[/math] שונות. לכן קיים (בה"כ) [math]\displaystyle{ x\in C\smallsetminus D }[/math] וכמובן [math]\displaystyle{ x\in B }[/math], ולכן נקבל [math]\displaystyle{ x\in C\cap B\land x\notin D\cap B }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ C\cap B\neq D\cap B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [C]\neq [D] }[/math].

שאלה ממבחן

א. תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה לא ריקה ותהי [math]\displaystyle{ \{R_i\}_{i\in I} }[/math] משפחה של יחסי שקילות על [math]\displaystyle{ A }[/math]. הוכיחו כי החיתוך הכללי [math]\displaystyle{ R=\cap_{i\in I}R_i }[/math] הינו יחס שקילויות על [math]\displaystyle{ A }[/math].

ב. נסמן [math]\displaystyle{ R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\} }[/math]. מהם [math]\displaystyle{ R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n }[/math]? מהן קבוצות המנה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2 }[/math]?

פתרון

א. רפלקסיביות: מאחר ו-[math]\displaystyle{ \forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i }[/math] נובע ש-[math]\displaystyle{ \forall a\in A: (a,a)\in R }[/math].

סימטריות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,y)\in R_i }[/math] ולכן נובע מסמטריות היחסים ש [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(y,x)\in R_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (y,x)\in R }[/math].

טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y),(y,z)\in \mathbb R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i }[/math], וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,z)\in R_i }[/math], ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל [math]\displaystyle{ (x,z)\in R }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ R_1 }[/math] הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

[math]\displaystyle{ R_2 }[/math] הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

[math]\displaystyle{ R }[/math] הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן [math]\displaystyle{ R }[/math] הינו אוסף הזוגות מהצורה [math]\displaystyle{ (q,q) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר שלם. (יחס השיוויון).


[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R_1 }[/math] הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R_2 }[/math] מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R }[/math] הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=תרגול_11_תשעז&oldid=74185"