תרגול 11 תשעז: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 24: | שורה 24: | ||
===שאלה ממבחן=== | ===שאלה ממבחן=== | ||
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי | א. תהי <math>A</math> קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על <math>A</math>. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על <math>A</math>. | ||
ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>? | ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>? | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>. | א. רפלקסיביות: מאחר ו-<math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש-<math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>. | ||
סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>. | סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>. | ||
| שורה 39: | שורה 39: | ||
<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי. | <math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי. | ||
R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון. | <math>R</math> הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן <math>R</math> הינו אוסף הזוגות מהצורה <math>(q,q)</math> עבור <math>q</math> מספר שלם. (יחס השיוויון). | ||
גרסה אחרונה מ־15:56, 29 בדצמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
יחסי שקילות - תרגילים נוספים
תרגיל
תהא [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס [math]\displaystyle{ \sim \subseteq P(A)\times P(A) }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ C\sim D\iff C\cap B=D\cap B }[/math]. הוכיחו:
א. זהו יחס שקילות.
ב. לכל [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ C\subseteq B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ [X]_R=[C]_R }[/math].
ג. אם [math]\displaystyle{ C,D\subseteq B }[/math] שונות, אז [math]\displaystyle{ [C]\neq [D] }[/math].
פיתרון
א. רפלקסיביות: כמובן ש- [math]\displaystyle{ \forall C\subseteq A:C\cap B=C\cap B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ C\sim C }[/math].
סימטריות: נניח [math]\displaystyle{ C\sim D }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C\cap B=D\cap B\iff D\cap B=C\cap B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ D\sim C }[/math].
טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ C\sim D\land D\sim E }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B }[/math] ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.
ב. יהי [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] נשים לב שמתקיים [math]\displaystyle{ (X\cap B)\cap B=X\cap B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [X]_R=[X\cap B]_R }[/math], ובנוסף מתקיים [math]\displaystyle{ X\cap B\subseteq B }[/math] ולכן נוכל לבחור [math]\displaystyle{ C=X\cap B }[/math].
ג. תהיינה [math]\displaystyle{ C,D\subseteq B }[/math] שונות. לכן קיים (בה"כ) [math]\displaystyle{ x\in C\smallsetminus D }[/math] וכמובן [math]\displaystyle{ x\in B }[/math], ולכן נקבל [math]\displaystyle{ x\in C\cap B\land x\notin D\cap B }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ C\cap B\neq D\cap B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [C]\neq [D] }[/math].
שאלה ממבחן
א. תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה לא ריקה ותהי [math]\displaystyle{ \{R_i\}_{i\in I} }[/math] משפחה של יחסי שקילות על [math]\displaystyle{ A }[/math]. הוכיחו כי החיתוך הכללי [math]\displaystyle{ R=\cap_{i\in I}R_i }[/math] הינו יחס שקילויות על [math]\displaystyle{ A }[/math].
ב. נסמן [math]\displaystyle{ R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\} }[/math]. מהם [math]\displaystyle{ R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n }[/math]? מהן קבוצות המנה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2 }[/math]?
פתרון
א. רפלקסיביות: מאחר ו-[math]\displaystyle{ \forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i }[/math] נובע ש-[math]\displaystyle{ \forall a\in A: (a,a)\in R }[/math].
סימטריות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,y)\in R_i }[/math] ולכן נובע מסמטריות היחסים ש [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(y,x)\in R_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (y,x)\in R }[/math].
טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y),(y,z)\in \mathbb R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i }[/math], וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע [math]\displaystyle{ \forall i\in I:(x,z)\in R_i }[/math], ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל [math]\displaystyle{ (x,z)\in R }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ R_1 }[/math] הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.
[math]\displaystyle{ R_2 }[/math] הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.
[math]\displaystyle{ R }[/math] הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן [math]\displaystyle{ R }[/math] הינו אוסף הזוגות מהצורה [math]\displaystyle{ (q,q) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר שלם. (יחס השיוויון).
[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R_1 }[/math] הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.
[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R_2 }[/math] מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).
[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R }[/math] הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.