88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 11

חזרה למערכי התרגול

הגדרות בסיסיות

הגדרה: גרף [math]\displaystyle{ G }[/math] מעל קבוצה [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא זוג סדור [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ E \subseteq V\times V }[/math] - כלומר קבוצה המכילה זוגות סדורים מאיברי [math]\displaystyle{ V }[/math].

הקבוצה [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצת הקדקודים של הגרף, והקבוצה [math]\displaystyle{ E }[/math] היא קבוצת הקשתות/צלעות של הגרף.

הגדרה: הסדר של גרף [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ |V| }[/math]. גרף יקרא סופי אם הסדר שלו סופי, וקבוצת הקשתות [math]\displaystyle{ E }[/math] סופית.

הגדרה: גרף [math]\displaystyle{ G }[/math] ייקרא לא מכוון אם היחס [math]\displaystyle{ E }[/math] הוא סימטרי, כלומר אין משמעות לכיוון הצלע. אחרת הגרף ייקרא מכוון. בגרף לא מכוון, אין משמעות לכיוון הצלע, ולכן לעתים מסמנים [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math] בתור [math]\displaystyle{ \{u,v\} }[/math].

דוגמא: [math]\displaystyle{ V=\{1,2,3\}, E=\Big\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\Big\} }[/math] מייצג משולש. הסדר שלו הוא 3, כמספר הקדקודים במשולש. זהו גרף סופי.

דוגמא: נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} }[/math], ובגרף [math]\displaystyle{ G }[/math] מעליה, בו מחברים בין כל שני קדקודים במרחק 1 זה מזה - מתקבלת רשת אינסופית. זהו גרף אינסופי, בו לכל קדקוד יש ארבעה שכנים.

הערה: שימו לב שמהניסוח לעיל נובע-

1. בגרף יכולה להיות קשת מקדקוד אל עצמו (לולאה). זה שקול ל- [math]\displaystyle{ \exists (v,v) \in E }[/math].
2. צלע בין שני קדקודים יכולה להופיע אך ורק פעם אחת (כי [math]\displaystyle{ E }[/math] קבוצה). בפועל, יש גרפים שבהם מופיעה יותר מצלע אחת בין שני קדקודים (למשל שתי לולאות סביב נקודה). נסו לחשוב איך להגדיר את זה פורמלית.

הבהרה: אנחנו נעסוק בגרפים סופיים, לא מכוונים, בלי צלעות כפולות ובלי לולאות.

הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math]. נאמר כי [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] שכנים אם [math]\displaystyle{ (v,w)\in E }[/math]. במקרה זה נאמר כי הצלע [math]\displaystyle{ \{v,w\}\in E }[/math] חלה ב [math]\displaystyle{ w }[/math] (או חלה ב [math]\displaystyle{ v }[/math])

את קבוצת השכנים של [math]\displaystyle{ u }[/math] מסמנים [math]\displaystyle{ \Gamma(u)=\{v\in V \; :\; \{v,u\}\in E\} }[/math].

הדרגה של [math]\displaystyle{ u }[/math], המסומנת [math]\displaystyle{ \text{degree}(u) }[/math], היא מספר הצלעות החלות ב [math]\displaystyle{ u }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ |\Gamma(u)| }[/math].

דוגמא: במשולש, כל 2 קדקודים שכנים. כל קדקוד מדרגה 2: השכנים של כל קדקוד הם שני הקדקודים האחרים.

משפט (לחיצת הידיים)

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף לא מכוון. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{v\in V}\text{degree}(v)=2|E| }[/math].

תרגיל

נאמר כי גרף [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ k }[/math]-רגולרי אם הדרגה של כל קדקוד שווה ל-[math]\displaystyle{ k }[/math]. למשל, משולש הוא גרף 2-רגולרי.

הוכח כי אם [math]\displaystyle{ k,n }[/math] אי-זוגיים, לא קיים גרף [math]\displaystyle{ k }[/math]-רגולרי מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math].

הוכחה:

לפי משפט לחיצת הידיים [math]\displaystyle{ 2|E|=\sum_{v\in V}\text{degree}(v)=n\cdot k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ nk }[/math] זוגי, ולכן [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגי או [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי.

הגדרות נוספות

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף לא מכוון. סדרת קדקודים (סדורה) [math]\displaystyle{ (v_0,v_1,\dots,v_n) }[/math] נקראת מסלול אם [math]\displaystyle{ \forall i : \{v_i,v_{i+1}\}\in E }[/math] וגם כל הצלעות שונות - כלומר לכל [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (v_i,v_{i+1}) \neq (v_j,v_{j+1}) }[/math].

מסלול יקרא פשוט אם כל הקדקודים [math]\displaystyle{ (v_0,v_1,\dots,v_n) }[/math] שונים זה מזה, פרט אולי ל [math]\displaystyle{ v_0=v_n }[/math], ובמקרה זה המסלול נקרא מעגל. אורך המסלול [math]\displaystyle{ (v_0,v_1,\dots,v_n) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ n }[/math], והנקודות [math]\displaystyle{ v_0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ v_n }[/math] נקראות נקודות ההתחלה והסיום של המסלול.

הגדרה: המרחק בין [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math] הוא המסלול עם אורך מינימלי בין [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math]. אם אין מסלול בין הנקודות, אומרים שהמרחק הוא אינסוף. מסמנים את המרחק [math]\displaystyle{ d(u,v) }[/math], ואם יש צורך להדגיש את הגרפים אז מסמנים [math]\displaystyle{ d_G(u,v) }[/math].

הקוטר של גרף [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] מוגדר כמרחק המקסימאלי בין זוגות קדקודים - כלומר [math]\displaystyle{ \operatorname{diam}(G)=\max_{u,v\in V}{d(v,u)} }[/math]

בניה

עבור גרף לא מכוון [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] נגדיר יחס שקילות [math]\displaystyle{ \to }[/math] על [math]\displaystyle{ V }[/math], כך: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ v\to u }[/math] אמ"מ קיים מסלול מ[math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ u }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ u \to v \iff d(u,v)\lt \infty }[/math]).

תרגיל: הוכח כי זהו יחס שקילות.

פתרון:

1. רפלקסיבי - לכל קדקוד [math]\displaystyle{ v }[/math], המסלול [math]\displaystyle{ (v) }[/math] עושה את העבודה.
2. סימטרי - אם [math]\displaystyle{ u\to v }[/math], אז יש מסלול [math]\displaystyle{ (v_0,\dots,v_n) }[/math] בין [math]\displaystyle{ u }[/math] ל-[math]\displaystyle{ v }[/math]. נביט במסלול ההפוך - [math]\displaystyle{ (v_n, v_{n-1}\dots ,v_1,v_0) }[/math] - זהו מסלול בין [math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ u }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v \to u }[/math].
3. טרנזיטיבי - אם [math]\displaystyle{ u\to v }[/math] וגם [math]\displaystyle{ v\to w }[/math], אז יש מסלולים [math]\displaystyle{ (v_1,\dots,v_n) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (v_1',\dots,v_n') }[/math]. היות ש-[math]\displaystyle{ v_n=v=v_1' }[/math], נביט במסלול [math]\displaystyle{ (v_1,\dots,v_n=v_1',\dots,v_n') }[/math] - זהו מסלול המעיד על כך ש-[math]\displaystyle{ u\to w }[/math].

הגדרה מחלקות השקילות של יחס זה נקראים רכיבי קשירות.

הגדרה: G יקרא קשיר אם בין כל שני קודקודים יש מסלול. זה שקול לכך שיש רכיב קשירות או באופן שקול [math]\displaystyle{ \forall v\in V:[v]_{\to}=V }[/math]

דוגמא: ציור חביב לפי דעת המתרגל.

תרגילים נוספים

תרגיל

נניח כ בגרף מתקיים [math]\displaystyle{ \forall v\in V : \operatorname{degre}(v)\geq 2 }[/math] אז בגרף יש מעגל.

פתרון: נבחר [math]\displaystyle{ v_0\in V }[/math] ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ [math]\displaystyle{ v\to u }[/math] הצעד הבא לא יהיה [math]\displaystyle{ u\to v }[/math] (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף, ונסמן [math]\displaystyle{ \delta_G=\underset{v\in V}{\min}\{deg(V)\} }[/math] את הדרגה המינימלית בגרף. נניח [math]\displaystyle{ \delta_G\geq 1 }[/math]. הוכיחו:

א. יש בגרף מסלול פשוט מאורך לפחות [math]\displaystyle{ \delta_G }[/math].

ב. יש בגרף מעגל פשוט מאורך לפחות [math]\displaystyle{ \delta_G+1 }[/math].

פתרון

א. יהי [math]\displaystyle{ (v_1,v_2,\dots ,v_k) }[/math] מסלול פשוט מאורך מקסימלי. מתקיים: [math]\displaystyle{ \deg(v_1)\geq \delta_G }[/math]. טענה: כל שכניו נמצאים במסלול. הוכחה: אחרת אפשר להוסיף שכן שלא במסלול לתחילת המסלול ולקבל מסלול פשוט ארוך יותר בסתירה למקסימליות. לכן אורך המסלול לפחות כמו [math]\displaystyle{ \delta_G }[/math].

ב. יהי [math]\displaystyle{ (v_1,v_2,\dots ,v_k) }[/math] מסלול פשוט מאורך מקסימלי. ראינו שכל שכני הראשון במסלול, ולכן מספיק לקחת את המסלול עד שמגיעים לאחרון השכנים, ואז לחזור חזרה ל [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] ולקבל מעגל פשוט מהאורך המתאים.

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף בעל [math]\displaystyle{ n\ge 3 }[/math] קדקודים. ו-[math]\displaystyle{ m \ge n }[/math] צלעות. אזי בגרף יש מעגל.

פתרון: באינדוקציה.

עבור [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] הגרף הוא בהכרח משולש (לא יכולות להיות יותר מ-3 צלעות עבור 3 קדקודים) ואכן יש מעגל.

נניח כי הטענה נכונה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] ונוכיח עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ G }[/math] בעל [math]\displaystyle{ n+1\gt 3 }[/math] קדקודים ו- [math]\displaystyle{ m\ge n+1 }[/math] צלעות.

אפשרות 0 - קיים קדקוד מדרגה 0 - כלומר אין לו שכנים. אז נביט בגרף בלי הקדקוד הזה, ומהנחת האינדוקציה נקבל שיש בו מעגל; זהו מעגל גם בגרף המקורי.

אפשרות 1: קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת הצלע שחלה בו) ונקבל גרף חדש עם [math]\displaystyle{ n }[/math] קדקודים ו[math]\displaystyle{ m-1 \ge n }[/math] צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו.

אפשרות 2: לכל קדקוד דרגה גדולה שווה 2. ולפי תרגיל קודם יש מעגל

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ G }[/math] גרף מסדר [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math]. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה.

פתרון: נביט בפונקציית הדרגה [math]\displaystyle{ \operatorname{deg}:V \to \{0,1,\dots,n-1\} }[/math] השולחת כל איבר אל הדרגה שלו: [math]\displaystyle{ v\mapsto \operatorname{deg}(v) }[/math]; כדי להבין את התמונה של הפונקציה, נשים לב שיש שני מקרים:

1. אם קיים קדקוד מדרגה [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], אז הוא מחובר לכולם ולכן אין קדקוד מדרגה אפס. במקרה זה מתקיים

[math]\displaystyle{ \operatorname{Im}(f) \subseteq \{1,\dots n-1\} }[/math].

1. אם אין קדקוד מדרגה [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}(f) \subseteq \{0,1,\dots n-2\} }[/math].

בשני המקרים קיבלנו כי [math]\displaystyle{ |\operatorname{dom}(f)|=|V|=n, |\operatorname{Im}(f)|\le n-1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע. כלומר קיימים [math]\displaystyle{ v_1\neq v_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(v_1)=f(v_2) }[/math] כלומר בעלי דרגה שווה.

תרגיל

יהיה [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף פשוט עם 100 קדקודים כך שדרגת כל קדקוד לפחות 50. הוכח כי [math]\displaystyle{ G }[/math] קשיר.

פתרון: יהיו [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math]. צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ [v]=[u] }[/math] (כך נסמן את רכיב הקשירות). נניח כי הם שונים, אזי ב[math]\displaystyle{ |[v]|,|[u]|\geq 51 }[/math] ( הקודוקד + לפחות 50 שכנים). אלו הם שני מרכיבי קשירות שונים ולכן הם זרים, ומכך שבגרף יש לכל הפחות 102 קדקודים, סתירה.

הערה: אפשר להכליל את התרגיל, ולהפוך אותו לתרגיל על קוטר של גרף: יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף עם [math]\displaystyle{ |V|=n }[/math]. הוכיחו שאם דרגת כל קודקוד היא לפחות [math]\displaystyle{ \frac{n-1}{2} }[/math] אז [math]\displaystyle{ diam(G)\leq 2 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ G }[/math] קשיר.

הוכחה: יהיו [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math]. אם הם שכנים אז [math]\displaystyle{ d(v,u)=1 }[/math]. אם לא, אז נניח בשלילה שאין להם שכן משותף ונקבל ש- [math]\displaystyle{ \Gamma(v)\cap \Gamma(u)=\varnothing }[/math], ובנוסף [math]\displaystyle{ |\Gamma(v)|,|\Gamma(u)|\geq \frac{n-1}{2} }[/math], ולכן יש בגרף לפחות [math]\displaystyle{ |\Gamma(v)\cup \Gamma(u)\cup \{v,u\}|=2\cdot \frac{n-1}{2}+2=n+1 }[/math] קודקודים (נובע מכך שהאיחוד זר) בסתירה. לכן יש להם שכן משותף ולכן [math]\displaystyle{ d(v,u)=2 }[/math]. בסה"כ נקבל [math]\displaystyle{ \forall v,u:d(v,u)\leq 2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ diam(G)\leq 2 }[/math].

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף ללא מעגלים עם [math]\displaystyle{ |V|\geq 2 }[/math]. הוכח כי קיימים [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V }[/math] כך שדרגתם לכל היותר 1.

פתרון: לפי תרגיל קודם קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודם).

נמשיך באינדוקציה על [math]\displaystyle{ n }[/math], מספר הקדקודים בגרף.

אם [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] אזי או שהגרף הוא 2 נקודות ללא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע. בכל מקרה 2 הנקודות של הגרף הן מדרגה קטנה שווה ל-1.

כעת נניח כי הטענה נכונה עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math]. נוכיח את הטענה עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math].

נבחר את הקדקוד [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] שדרגתו לכל היותר 1. נוריד אותו ואת הצלע שחלה בו (אם קיימת), ונקבל גרף עם [math]\displaystyle{ n }[/math] קדקודים. לפי הנחת האינדוקציה יש בו 2 קדקודים[math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] בעלי דרגה 1 לכל היותר. כעת נשוב לגרף המקורי (הכולל את [math]\displaystyle{ v }[/math] שהשמטנו). יש מספר מקרים:

1. אם [math]\displaystyle{ v }[/math] שכן של [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v,v_2 }[/math] בעלי דרגה לכל היותר 1.
2. אם [math]\displaystyle{ v }[/math] שכן של [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v,v_1 }[/math] בעלי דרגה לכל היותר 1.
3. אם [math]\displaystyle{ v }[/math] שכן של [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] - סתירה כי הדרגה של [math]\displaystyle{ v }[/math] היא 1 לכל היותר.
4. אם [math]\displaystyle{ v }[/math] לא שכן של [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v,v_1,v_2 }[/math] בעלי דרגה לכל היותר 1.

בכל מקרה קיבלנו כי קיימים 2 קדקודים בעלי דרגה 1 לכל היותר!

תרגיל

הוכח/הפרך:

1. אם מתקיים [math]\displaystyle{ \forall v \in V: \operatorname{deg}(v)\ge2 }[/math], אז [math]\displaystyle{ G }[/math] קשיר.
2. קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,4,5.
3. קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,5,5.

פתרון:

1. לא נכון, למשל שני משולשים מופרדים.
2. לא נכון, כי סכום הדרגות אי-זוגי, בסתירה למשפט לחיצת הידיים.
3. הפעם משפט לחיצת הידיים לא נכשל, אך זה עדיין לא נכון - אילו היו שני קדקודים מדרגה 5, הר שכל הקדקודים היו מחוברים אל שניהם, ולכן אין קדקוד מדרגה 1.

תרגיל

יהא [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף פשוט סופי לא מכוון. נניח כי [math]\displaystyle{ V=V_1\cup V_2 }[/math] איחוד זר (כלומר החיתוך [math]\displaystyle{ V_1\cap V_2=\emptyset }[/math]. עוד נניח כי קיים [math]\displaystyle{ v_i\in V_i }[/math] כך שקיימת קשת [math]\displaystyle{ (v_1,v_2)\in E }[/math] והיא הקשת היחידה בין [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] ל [math]\displaystyle{ V_2 }[/math].

הוכיחו שקיים קודקוד בעל דרגה אי זוגית.

פתרון: נסתכל על תת הגרף [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] בעל דרגה זוגית בו אז הוא יהיה בעל דרגה אי זוגית ב V. אחרת דרגתו ב V1 אי זוגית ולכן לפי משפט לחיצת הידיים שסכום הדרגות זוגיות, קיים עוד קודוד בעל דרגה אי זוגית ב V1. כיוון שהקשת היחידה בין [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] ל [math]\displaystyle{ V_2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ (v_1,v_2)\in E }[/math] נקבל כי קודקוד זה בעל דרגה אי זוגית גם ב G.

תרגיל

יהא [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף פשוט סופי לא מכוון קשיר בעל מעגל יחיד עם [math]\displaystyle{ 3\leq |V| }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ |E|=|V| }[/math]

פתרון: נסמן את המעגל היחידי ב G ב [math]\displaystyle{ C=(v_0,\dots,v_n) }[/math].

טענה: [math]\displaystyle{ |V|\leq |E| }[/math]

הוכחה: נסתכל על הגרף [math]\displaystyle{ G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\}) }[/math] הוא בעל [math]\displaystyle{ |E|-1 }[/math] קשתות אך עדיין קשיר (כי אם יש מסלול המערב את הקשת שהורדה ניתן להחליף אותה [math]\displaystyle{ C=(v_0,\dots,v_{n-1}) }[/math].) לכן לפי הרצאה יש לו לפחות [math]\displaystyle{ |V|-1 }[/math] קשתות ולכן [math]\displaystyle{ |V|-1\leq |E|-1 }[/math] ואחרי העברת אגפים נקבל את המבוקש.

טענה: [math]\displaystyle{ |E|\leq |V| }[/math]

הוכחה: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ |V|+1\leq |E| }[/math]

נסתכל על הגרף [math]\displaystyle{ G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\}) }[/math] הוא בעל [math]\displaystyle{ |V| \leq|E|-1 }[/math] קשתות אך הרסנו את המעגל היחידי שהיה ב G אבל לפי תרגיל ממקודם אם מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקודקודים יש בו מעגל. סתירה.

תרגיל

א. מהו הקוטר המקסימלי של גרף קשיר עם [math]\displaystyle{ n }[/math] קודקודים?

ב. מהו המספר המינימלי של קשתות בגרף עם [math]\displaystyle{ n }[/math] קודקודים וקוטר 2?

פתרון:

א. [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]. לא יכול להיות יותר כי הקוטר מוגדר כמרחק המקסימלי בין קודקודים, ומרחק הוא אורך המסלול הקצר, ומסלול קצר לא מכיל מעגלים, ולכן מכיל לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] קודקודים, ולכן לכל היותר [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] קשתות. גרף קו הוא עם קוטר [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] כי זה המרחק בין הימני ביותר לשמאלי ביותר, לכן זה הקוטר המקסימלי.

ב. [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]. לא יכול להיות פחות כי אז הגרף לא יהיה קשיר וקטרו יהיה אינסוף ולא 2. גרף כוכב (יש קודקוד [math]\displaystyle{ u }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ E=\{\{u,v\}:u\neq v\} }[/math] כלומר, הוא מחובר לכולם ואין עוד קשתות) הוא עם [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] קשתות וקוטר 2, כי המרחק בין שני קודקודים שאינם [math]\displaystyle{ u }[/math] הוא 2 (ואם אחד מהם הוא [math]\displaystyle{ u }[/math] אז 1).