אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

כידוע אין שורש ממשי למספר [math]\displaystyle{ -1 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \sqrt{-1}\notin \mathbb{R} }[/math].

בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל [math]\displaystyle{ -1 }[/math]: שדה המספרים המרוכבים!

אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:

1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.

2. איך לחבר ביניהם.

3. איך להכפיל ביניהם.

נסמן ב [math]\displaystyle{ i }[/math] איבר מסויים, ונגדיר [math]\displaystyle{ i\cdot i=-1 }[/math]. במילים אחרות [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1} }[/math]. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\} }[/math]. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים [math]\displaystyle{ b=0 }[/math].

חיבור: [math]\displaystyle{ (a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i }[/math].

כפל: [math]\displaystyle{ (a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i }[/math].

לדוגמא: נסמן [math]\displaystyle{ z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i }[/math]. נקבל: [math]\displaystyle{ z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i }[/math], וכן [math]\displaystyle{ z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i }[/math].

חלק ממשי וחלק מדומה

יהי [math]\displaystyle{ z=a+bi\in \mathbb{C} }[/math]. נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math], ואת החלק המדומה שלו להיות [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!

דוגמא: [math]\displaystyle{ Re(\sqrt{2}-\pi i)=\sqrt{2},Im(\sqrt{2}-\pi i)=-\pi }[/math].

שימו לב שמספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] הוא ממשי אם ורק אם [math]\displaystyle{ Im(z)=0 }[/math].

מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] נקרא מדומה טהור אם [math]\displaystyle{ Re(z)=0 }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ 2i }[/math].

נורמה וצמוד

נורמה

במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה [math]\displaystyle{ |\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י: [math]\displaystyle{ |z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.

תכונות הנורמה

1. כפליות: [math]\displaystyle{ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2| }[/math].

2. אי שליליות: [math]\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0 }[/math], ומתקיים: [math]\displaystyle{ |z|=0\iff z=0 }[/math].

3. אי שיוויון המשולש: [math]\displaystyle{ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| }[/math].

אש"מ ההפוך - בהרצאה

הוכיחו: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w|| }[/math].

הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.

פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ a=z-w,b=w }[/math]. נשים לב ש [math]\displaystyle{ z=z-w+w=a+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |z|=|a+b| }[/math]. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: [math]\displaystyle{ |z|=|a+b|\leq |a|+|b|=|z-w|+|w| }[/math]. נעביר אגפים לקבל [math]\displaystyle{ |z|-|w|\leq |z-w| }[/math].

בדומה, נסמן [math]\displaystyle{ a=w-z,b=z }[/math]. נשים לב ש [math]\displaystyle{ w=w-z+z=a+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |w|=|a+b| }[/math]. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: [math]\displaystyle{ |w|=|a+b|\leq |a|+|b|=|w-z|+|z|=|z-w|+|z| }[/math]. נעביר אגפים לקבל [math]\displaystyle{ |w|-|z|\leq |z-w| }[/math].

נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w|| }[/math].

צמוד

לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות [math]\displaystyle{ \overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi }[/math]. לדוג': [math]\displaystyle{ \overline{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i }[/math].

תכונות הצמוד

1. כפליות: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math].

2. חיבוריות: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math].

3. אותה נורמה: [math]\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}| }[/math].

ראיתם בהרצאה:

הוכיחו שלכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math], מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^2 }[/math].

2. [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2Re(z) }[/math].

3. [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2Im(z)i }[/math].

פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], ונחשב:

[math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2 }[/math].

[math]\displaystyle{ z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2Re(z) }[/math].

[math]\displaystyle{ z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i }[/math]

תרגיל

מצאו מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] המקיים: [math]\displaystyle{ |z|=5,Im(z)=2 }[/math], ומקמו אותו על במישור המרוכב.

פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], לכן [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=5\Rightarrow a^2+b^2=25 }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ b=Im(z)=2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a^2=25-4\Rightarrow a=\pm \sqrt{21} }[/math].

מציאת הופכי וחילוק

עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.

ש: איך נמצא את ההופכי?

ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math].

תרגיל

מצא את ההופכי של:

1. [math]\displaystyle{ 7-4i }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \sqrt{2}i }[/math]

פתרון

1. לפי המסקנה נקבל: [math]\displaystyle{ (7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i }[/math].

2. [math]\displaystyle{ (\sqrt{2}i)^{-1}=\frac{\overline{\sqrt{2}i}}{|\sqrt{2}i|}=\frac{-\sqrt{2}i}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2} i }[/math]

תרגיל

הצג את הביטוי הבא בצורה [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] וציין מהם [math]\displaystyle{ Re(z),Im(z),\overline{z},|z| }[/math]. הביטוי הינו: [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]

פתרון

שימו לב: אם במכנה יש מספר ממשי אז זה יהיה קל מאד: כי אז אפשר להפריד את המונה לחלק ממשי וחלק מדומה, וכל אחד לחלק בנפרד בממשי שבמכנה. אז מה נעשה כדי שזה יקרה? אם נכפול את המכנה בצמוד שלו אז נקבל מספר חדש שבו המכנה ממשי. כדי לא להרוס את המספר שלנו נכפול גם את המונה בצמוד של המכנה! כלומר, נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה: [math]\displaystyle{ \frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} }[/math].

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1} }[/math] וכעת רשמנו [math]\displaystyle{ (5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}] }[/math]

לפיכך נקבל:

[math]\displaystyle{ z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i }[/math].

[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}} }[/math].

[math]\displaystyle{ Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13} }[/math].

[math]\displaystyle{ \overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i }[/math].

תרגיל

א. פתרו את המשוואה [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=z+2i }[/math].

ב. הוכיחו שלמשוואה [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=Re(z)+2i }[/math] אין פתרון.

פתרון

נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math], וניזכר שמתקיים [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2Re(z) }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ 2a=a+bi+2i }[/math]. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:

[math]\displaystyle{ 2a=a }[/math]

[math]\displaystyle{ 0=b+2 }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ a=0,b=-2 }[/math], כלומר, [math]\displaystyle{ z=-2i }[/math].

ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי [math]\displaystyle{ Re(z) }[/math] תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) [math]\displaystyle{ Im(Re(z)+2i)=2 }[/math] לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math]. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה [math]\displaystyle{ 0=2 }[/math] אין פתרון.

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ z,w }[/math] מספרים מרוכיבם המקיימים: [math]\displaystyle{ |z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1 }[/math]. הוכיחו שהמספר [math]\displaystyle{ \frac{z+w}{1-z\cdot w} }[/math] הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0).

פתרון

נכפול בצמוד למכנה:

[math]\displaystyle{ \frac{z+w}{1-z\cdot w}=\frac{(z+w)(\overline{1-zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+w)(1-\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{z+w-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2} }[/math]

כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: [math]\displaystyle{ z\overline{z}\overline{w}=\overline{w},\overline{z}w\overline{w}=\overline{z} }[/math]. לכן במונה כתוב בעצם: [math]\displaystyle{ z-\overline{z}+w-\overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i }[/math] שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל.

שורשים ומשוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות עם מקדמים ממשיים

תרגיל

פתרו את המשוואה: [math]\displaystyle{ x^2-6x+13=0 }[/math].

משוואות ריבועיות עם מקדמים מרוכבים

תרגיל

מצא את [math]\displaystyle{ \sqrt{2i} }[/math].

פתרון

איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו [math]\displaystyle{ w=a+bi }[/math], כלומר, [math]\displaystyle{ (a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i }[/math]. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם [math]\displaystyle{ i }[/math] ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:

[math]\displaystyle{ a^2-b^2=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2ab=2 }[/math].

מהמשוואה השנייה נקבל [math]\displaystyle{ ab=1\Rightarrow a^2b^2=1 }[/math], ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל [math]\displaystyle{ a^2a^2=1\Rightarrow a^4=1\Rightarrow a=\pm 1 }[/math]. קיבלנו שני פתרונות:

[math]\displaystyle{ a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow w=1+i }[/math]

[math]\displaystyle{ a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i }[/math].

תרגיל

מצא את [math]\displaystyle{ \sqrt{-5+12i} }[/math].

פתרון

נסמן [math]\displaystyle{ w=a+bi }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ a^2+2abi-b^2=-5+12i }[/math]. לכן:

[math]\displaystyle{ a^2-b^2=-5 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2ab=12\Rightarrow b=\frac{6}{a} }[/math].

נציב את המשוואה השנייה בראשונה ונקבל: [math]\displaystyle{ a^2-(\frac{6}{a})^2=-5\Rightarrow a^4+5a^2-36=0 }[/math]. נפתור את המשוואה הדו ריבועית (אתם יכולים לסמן [math]\displaystyle{ x=a^2\Rightarrow x^2+5x-36=0 }[/math] ולפתור. נקבל [math]\displaystyle{ a^2=-9\lor a^2=4 }[/math]. כיון ש-[math]\displaystyle{ a }[/math] הוא מספר ממשי נקבל [math]\displaystyle{ a^2=4\Rightarrow a=\pm 2 }[/math]. נחזור חזרה למשוואה השנייה: [math]\displaystyle{ a=2\Rightarrow b=3,a=-2\Rightarrow b=-3 }[/math]. קיבלנו שני מספרים מרוכבים: [math]\displaystyle{ z_1=2+3i,z_2=-2-3i }[/math].

תרגיל

פתור את המשוואה הבאה:

[math]\displaystyle{ z^2-(4+6i)z-5+10i=0 }[/math].

פתרון

נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:

[math]\displaystyle{ z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i} }[/math].

מתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, ונקבל: [math]\displaystyle{ z_{1,2}=2+3i\pm 1+i }[/math], ולכן בסה"כ: [math]\displaystyle{ z_1=3+4i,z_2=1+2i }[/math].