אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־11:50, 10 בדצמבר 2019

פונקציות

ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math], כמו למשל [math]\displaystyle{ f(z)=Re(z) }[/math] וכדו'.

הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] צריך להבין מה עושה פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math]. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

לדוג': [math]\displaystyle{ f(x,y)=\sin(x+y)-x }[/math] ועוד כהנה וכהנה.

במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2ab-ba^2i }[/math], זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: [math]\displaystyle{ U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2 }[/math] ואז נקבל: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i }[/math].

רציפות

הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ z_n\to z_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z_0)|\to 0 }[/math]. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

תרגיל

הוכיחו שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=\overline{z} }[/math] היא רציפה.

פתרון

לפי הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math], צריך להראות ש- [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z)|\to 0 }[/math]. ואכן: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.

משפטים

כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

משפט חשוב: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b) }[/math] רציפה אם ורק אם [math]\displaystyle{ U,V }[/math] רציפות.

רציפות של פונקציות בשני משתנים

פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בנק' [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אם לכל זוג סדרות [math]\displaystyle{ x_n\to x_0,y_n\to y_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0 }[/math]. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.

תרגיל

האם הפונקציות הבאות רציפות:

1. [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ f(z)=Im(z)-Re(z)i }[/math]

3. [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1} }[/math]

4. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i }[/math]

5. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y) }[/math]

6. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|+5}-x\text{cis}y }[/math]

תרגיל

הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: [math]\displaystyle{ f(z)=\begin{cases} \frac{z}{\overline{z}} & z\neq0\\ 1 & z=0 \end{cases} }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
-==הגדרה==
+==פונקציות==
-כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
+ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>, כמו למשל <math>f(z)=Re(z)</math> וכדו'.
+הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
 לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.
@@ שורה 10: / שורה 12: @@
 ==רציפות==
 הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
+====תרגיל====
+הוכיחו שהפונקציה <math>f(z)=\overline{z}</math> היא רציפה.
+=====פתרון=====
+לפי הגדרה: תהי <math>z_n\to z</math>, צריך להראות ש- <math>|f(z_n)-f(z)|\to 0</math>. ואכן: <math>|f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0</math>, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.
 ===משפטים===
-כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
+כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
 משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.
-לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.
 ===רציפות של פונקציות בשני משתנים===
@@ שורה 22: / שורה 28: @@
 ====תרגיל====
+האם הפונקציות הבאות רציפות:
+. <math>f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2}</math>
-האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}
+. <math>f(z)=Im(z)-Re(z)i</math>
-\frac{\sin x}{y} & y\neq0\\
-& y=0
-\end{cases}</math>
-אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב<math>(0,0)</math> כדי שכן תהיה רציפה שם?
+. <math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math>
-=====פתרון=====
-לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות <math>x_{n}\to 0,y_{n}\to 0</math> עבורן לא מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. וזה מה שנעשה כאן:
-אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, <math>x_{n}=0</math>, וניקח למשל <math>y_{n}=\frac{1}{n}</math>, אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin0}{\frac{1}{n}}=0</math>). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב<math>(0,0)</math> נובע שהפונקציה לא רציפה.
+. <math>f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i</math>
-הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
+. <math>f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y)</math>
-====תרגיל====
+. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|+5}-x\text{cis}y</math>
-האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}
+===תרגיל===
-\frac{\sin(x\cdot y)}{x} & x\neq0\\
+הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases}
-& x=0
+\frac{z}{\overline{z}} & z\neq0\\
+& z=0
 \end{cases}</math>
-=====פתרון=====
-אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. נראה זאת:
-<math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|=|\frac{\sin(x_{n}y_{n})}{x_{n}}|=\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}</math>. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים <math>|\sin x|\leq|x|</math>, ולכן אצלנו נקבל <math>|\sin(xy)|\leq|xy|</math> ונוכל להמשיך:
-<math>\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}\leq\frac{|x_{n}y_{n}|}{|x_{n}|}=\frac{|x_{n}|\cdot|y_{n}|}{|x_{n}|}=|y_{n}|\to 0</math>
-===רציפות של פונקציות מרוכבות===
-====תרגיל====
-האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:
-.<math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\}</math>.
-. <math>f(z)=\begin{cases} \frac{3z+\overline{z}}{2z-\overline{z}} & z\neq 0 \\ \frac{2}{10} & z=0 \end{cases}</math> ב<math>z=0</math>.
-=====פתרון=====
-. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.
-. לא! נקבל:
-<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6b^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.
-כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.