אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
(←פתרון) |
||
| (10 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math> | נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{z_n\to 0}{\lim}\frac{f(z_n+z_0)-f(z_0)}{z_n}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל. | ||
פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה. | פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה. | ||
| שורה 15: | שורה 15: | ||
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה | האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה? | ||
=====פתרון===== | =====פתרון===== | ||
| שורה 23: | שורה 23: | ||
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים! | סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים! | ||
== | ====תרגיל==== | ||
א. תהי <math>f(z)=z^n</math> הוכיחו: <math>f'(z)=nz^{n-1}</math>. | |||
ב. יהי <math>P(z)={\sum}_{k=0}^{n} \alpha_kz^k</math> פולינום. | |||
הוכיחו ש- <math>P'(z)={\sum}_{k=1}^{n} k\alpha_kz^{k-1}</math>. | |||
=====פתרון===== | |||
א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה. | |||
ב. מסעיף קודם וכלל החיבור. | |||
==תנאי קושי-רימן== | |||
===נגזרות חלקיות=== | ===נגזרות חלקיות=== | ||
תהי <math>U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע. | תהי <math>U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע. | ||
'''דוגמא''': <math>U(x,y)=x^2+2xy</math> אז הנגזרות החלקיות הן: <math>U_x=2x+2y,U_y=2x</math>. | '''דוגמא''': <math>U(x,y)=x^2+2xy</math> אז הנגזרות החלקיות הן: <math>U_x=2x+2y,U_y=2x</math>. | ||
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה. | |||
כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של <math>U,V</math> המתאימות. | |||
===תנאי קושי רימן=== | |||
תהי <math>f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i</math> פונקציה מרוכבת. <math>f</math> גזירה בנקודה <math>z_0=x_0+y_0</math> '''אם ורק אם''' הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות: | |||
<math>\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}</math>. | |||
ובמקרה זה מתקיים: <math>f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i</math>. | |||
====תרגיל==== | |||
בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו: | |||
1. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math> | |||
2. <math>f(z)=z+Re(z)</math> | |||
3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math> | |||
4. <math>f(x+yi)=x+y^3i</math> | |||
=====פתרון===== | |||
1. נקבל: <math>U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y</math>. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: <math>U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y</math>. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!! | |||
2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל <math>Re(z)=f(z)-z</math>, ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה. | |||
3. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים: | |||
<math>U_x=V_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>. | |||
<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>. | |||
2. <math> | שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>. | ||
הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>. | |||
4. <math> | 4. נקבל את הנגזרות החלקיות: <math>U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2</math>. נבדוק את התנאי: | ||
<math>U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. | |||
<math>U_y=-V_x</math> תמיד. | |||
לכן רק בנקודות <math>z=x\pm\frac{1}{\sqrt{3}}i</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>. | |||
===משפט=== | |||
פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה. | |||
====תרגיל==== | |||
הוכיחו שאם <math>f=U+Vi</math> גזירה והחלק הממשי של <math>f</math> הוא פונקציה קבועה אז <math>f</math> קבועה. | |||
=====פתרון===== | |||
<math>U</math> קבועה ולכן <math>U_x=U_y=0</math>, וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן <math>V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0</math>, ולכן גם <math>V</math> קבועה. ולכן<math>f</math> קבועה. | |||
גרסה אחרונה מ־09:39, 17 בדצמבר 2019
חזרה ל מערכי תרגול.
הגדרה
נאמר שפונקציה גזירה בנקד' [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ z_n\to 0 }[/math] קיים הגבול [math]\displaystyle{ \underset{z_n\to 0}{\lim}\frac{f(z_n+z_0)-f(z_0)}{z_n} }[/math], ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.
פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.
דוגמאות
תרגיל
האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=z^2 }[/math] גזירה?
פתרון
כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!
תרגיל
האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2a-3bi }[/math] גזירה?
פתרון
לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.
משפטים
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
תרגיל
א. תהי [math]\displaystyle{ f(z)=z^n }[/math] הוכיחו: [math]\displaystyle{ f'(z)=nz^{n-1} }[/math].
ב. יהי [math]\displaystyle{ P(z)={\sum}_{k=0}^{n} \alpha_kz^k }[/math] פולינום. הוכיחו ש- [math]\displaystyle{ P'(z)={\sum}_{k=1}^{n} k\alpha_kz^{k-1} }[/math].
פתרון
א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.
ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.
תנאי קושי-רימן
נגזרות חלקיות
תהי [math]\displaystyle{ U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
דוגמא: [math]\displaystyle{ U(x,y)=x^2+2xy }[/math] אז הנגזרות החלקיות הן: [math]\displaystyle{ U_x=2x+2y,U_y=2x }[/math].
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ U,V }[/math] המתאימות.
תנאי קושי רימן
תהי [math]\displaystyle{ f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i }[/math] פונקציה מרוכבת. [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ z_0=x_0+y_0 }[/math] אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases} }[/math].
ובמקרה זה מתקיים: [math]\displaystyle{ f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i }[/math].
תרגיל
בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:
1. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=e^x\text{cis}y }[/math]
2. [math]\displaystyle{ f(z)=z+Re(z) }[/math]
3. [math]\displaystyle{ f(z)=(z-1)(Re(z))^2 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=x+y^3i }[/math]
פתרון
1. נקבל: [math]\displaystyle{ U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y }[/math]. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: [math]\displaystyle{ U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y }[/math]. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!
2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל [math]\displaystyle{ Re(z)=f(z)-z }[/math], ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.
3. נרשום: [math]\displaystyle{ f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi }[/math]. נמצא נגזרות חלקיות: [math]\displaystyle{ U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2 }[/math]. נבדוק מתי התנאי מתקיים:
[math]\displaystyle{ U_x=V_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2 }[/math].
[math]\displaystyle{ U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0 }[/math].
שני התנאים מתקיים כאשר: [math]\displaystyle{ (x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0) }[/math]. כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math].
הנגזרת שם היא: [math]\displaystyle{ U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi }[/math]. נשים לב שעל הציר המדומה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8 }[/math].
4. נקבל את הנגזרות החלקיות: [math]\displaystyle{ U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2 }[/math]. נבדוק את התנאי:
[math]\displaystyle{ U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} }[/math].
[math]\displaystyle{ U_y=-V_x }[/math] תמיד.
לכן רק בנקודות [math]\displaystyle{ z=x\pm\frac{1}{\sqrt{3}}i }[/math] הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: [math]\displaystyle{ U_x+V_xi=1 }[/math].
משפט
פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.
תרגיל
הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ f=U+Vi }[/math] גזירה והחלק הממשי של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא פונקציה קבועה אז [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה.
פתרון
[math]\displaystyle{ U }[/math] קבועה ולכן [math]\displaystyle{ U_x=U_y=0 }[/math], וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן [math]\displaystyle{ V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0 }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ V }[/math] קבועה. ולכן[math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה.