אינפי1 מדמח שאלות ותשובות

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

חזרה לעמוד הקורס: סמסטר א' תשע"ט - מדמ"ח

הנחיות

ראשית, קיראו את ההנחיות בעמוד הראשי. דף זה מיועד לשאלות בנוגע לחומר הנלמד, התרגילים, וכו'..

רוצים לכתוב נוסחאות מתמטיות כאן ולא יודעים איך? אתם יכולים להעזר בעורך LaTeX הבא: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php זה גם עוזר ללמוד קצת LaTeX, תוך כדי, אבל לא חייבים להפנים אם לא רוצים. כדי להכניס את הנוסחה שערכתם, בעת עריכת ההודעה לחצו על ה-[math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math] שמופיע ב-toolbar מעל תיבת העריכה והדביקו את הנוסחה במקום הטקסט formula שיופיע.

שאלות

גיבוי הגשת תרגילים

בקורסים של לינארית ובדידה ישנה אופציה לגיבוי הגשת התרגילים ע"י שליחת התרגילים סרוקים במייל, נאמר גם שזה הנחיה של ראש המחלקה לאפשר זאת. האם אפשרי ליצור מייל עבור גיבוי הגשת התרגילים באינפי כנ"ל?

• באופן אישי אני לא חושב שיש סיבה שתרגיל ילך לאיבוד. יחד עם זאת מי שחושש יכול לשלוח למתרגל שלו במייל את התרגיל (כלומר, כגיבוי, בנוסף להגשה הידנית הרגילה).

הוכחות

האם צריך לדעת לעשות לבד את כל ההוכחות שעשינו בהרצאה?

• צריך להבין את ההוכחות, וכדאי מאוד לדעת להוכיח לבד את כל הטענות והמשפטים שהוכחנו (אלה שהוכחתם היא כמה שורות עד חצי עמוד), כי דברים אלה בדיוק או דומים להם יכולים להופיע כשאלה בבוחן או בבחינה הסופית. --לואי

יש לי 3 שאלות בבקשה :)

1. בהוכחה כגון: "אם a אינסופי אז b אינסופי" האם יש צורך להוכיח את הטענה גם לצד החיובי וגם לצד השלילי? ומדוע?

2. לפעמים הst במכנה באופן פשוט הוא 0, אבל אז עושים כמה פעולות חשבון ו'מתגברים' על זה. כיצד אוכל לדעת בבטחה שבמקרה בו אני לא מצליח לפשט את הביטוי לצורה נוחה שבאמת אין דרך לפשט אותו? (הרי אני עלול תמיד לחשוש שכן יש אפשרות לפשט אותו אלא שאני לא מצליח לזהות אותה).

3. אמרנו במשפט השינוי בהרצאה ש"בסביבה של X המשיק והפונקציה קרובית אין סופית" - מדוע זה נקרא "בסביבה של X" ?

תודה!

• לגבי שאלה 1: כאשר יש טענה מהצורה "אם a אז b" יש להוכיח את אחד משני הכיוונים: "a גורר b" או "לא-b גורר לא-a". אין צורך להוכיח את שניהם (שכן הם שקולים מבחינה לוגית).
• לגבי שאלה 2: שימו לב שאנחנו מפשטים (באמצעות פעולות אלגבריות) רק כאשר גם החלק הסטנדרטי של המונה מתאפס! כלומר, רק כאשר יש לנו מצב של "אינפי חלקי אינפי".בכל שאר המצבים ניתן להכריע לגבי הביטוי (למשל, סופי חלקי אינפי זה אינסופי, אינסופי חלקי אינפי זה אינסופי). אז כאשר יש ביטוי מהצורה "אינפי חלקי אינפי" יש צורך בפישוט אלגברי על מנת להפוך אותו למוגדר. ובמסגרת התרגילים של הקורס שלנו - אתם צריכים להיות מסוגלים להגיע לתשובה בכל מצב כזה. אם לא הגעתם - כנראה שיש משהו שלא ניסיתם/פספסתם.
• לגבי שאלה 3: למעשה, זה קורה בסביבה אינפיניטסימלית של x. סביבה זו כרגע מילה לא מוגדרת עבורכם (היא תוגדר בקרוב) ואפשר בשלב זה להסתפק בהבנה האינטואיטיבית והלא פורמלית של מושג זה. כלומר, "סביבה אינפיניטסימלית" זה הערכים שקרובים אינפיניטסימלית ל-x. --לואי

הוכחת המשפט "נגזרת הפונקציה ההופכית" מהרצאה 7

הקדמה: המשפט אומר שכשהפונקציות הפיכות והנגזרות שלהן קיימות ושונות מ0 אז מתקיים שמכפלת הנגזרות היא 1.

ז"א, שבבואנו להוכיח אנחנו מניחים:

1. f הפיכה וg ההופכית שלה

2. נגזרותיהן קיימות ושונות מ0

שאלתי היא:

מדוע נצרכנו בהוכחה להראות שדלתא y הוא אינפי ושונה מ0 ורק אז יכולנו לומר שהנגזרת של g היא החלק הסטנדרטי של דלתא x חלקי דלתא y ?

הרי אמרנו שהיא גזירה, וההגדרה של הנגזרת היא שקיים חלק סטנדרטי במקרה בו זזנו אינפי.

האם עשינו זאת כדי להראות שהאינפי שזזנו הוא בדיוק הדלתא y ש"השתמשנו" בו בהצגת הנגזרת של f רק בשביל שבאמת מכפלת הביטויים תצא לנו 1 ולא מספר אחר?

תודה מראש.

• שימו לב שכדי להשתמש בהגדרת הנגזרת, יש צורך שהאינפי במכנה (השינוי במשתנה הבלתי-תלוי) יהיה שונה מאפס. לשם כך היינו צריכים להראות ש-[math]\displaystyle{ \Delta y \neq 0 }[/math].--לואי

ביצוע פעולות חשבון כאשר הסימון "קרוב אינסופית" הוא הסימון המפריד בין 2 חלקי ה"משוואה"

מתי ואיזה פעולות חשבון אני יכול לעשות כאשר יש לי 2 ביטויים קרובים אין סופית ואת סימן ה= המסולסל ביניהם?

• ניתן לעשות רק את הפעולות שהוכחנו שהן חוקיות. למשל, הוכחתם שבמקרים מסוימים מכך ש- [math]\displaystyle{ a \approx b }[/math] ניתן להסיק ש- [math]\displaystyle{ \frac{1}{a} \approx \frac{1}{b} }[/math]. או, למשל, אם [math]\displaystyle{ a \approx b }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a' \approx b' }[/math] אז [math]\displaystyle{ a+a' \approx b+b' }[/math]. --לואי

האם רציפות חד צדדית בפונקציה מספיקה כדי להגדיר פונקציה כרציפה במידה ותחום ההגדרה תואם?

נגיד בפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt x }[/math] אם מוגדר שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא x גדול שווה 0, אז הפונקציה נחשבת רציפה בתחום ההגדרה שלה? או שבגלל שעבור דלתא x שלילי [math]\displaystyle{ \sqrt x }[/math] לא מוגדר אז היא לא רציפה (למרות שדלתא איקס שלילי אינו בתחום ההגדרה). השאלה היותר רחבה היא האם כשאני בוחן רציפות של פונקציה בתחום הגדרה נתון אני נדרש לבחון גם את הגבול שמעבר לתחום ההגדרה (נגיד אם התחום הוא [a,b] אז האם נדרש לבדוק את a משמאל ו-b מימין) כדי לקבוע שהפונקציה רציפה?

• בואו נעשה סדר.
  • אם שואלים אותנו באיזה נקודות הפונקציה רציפה, הכוונה לרשום לאיזה x-ים הפונקציה רציפה. למשל בפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt x }[/math] התשובה היא לכל x המקיים [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]. בנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] הפונקציה לא רציפה כפי שאמרתם, כי לא קיים הגבול בנקודה זו כי לא קיים גבול משמאל בנקודה זו כי אין ערכים בפונקציה משמאל לנקודה זו.
  • אם שואלים אותנו האם הפונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [0, \infty) }[/math], כפי שלמדנו, משמעות השאלה היא: האם הפונקציה רציפה לכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] ובנוסף האם היא רציפה מימין בנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], והתשובה לשתי השאלות האלה היא כן, לכן הפונקציה היא רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [0, \infty) }[/math].
  • ומה אם שואלים אותנו "האם הפונקציה רציפה בתחום הגדרתה?" זו שאלה שלא נשאל אותה כי היא לא מנוסחת בצורה מספיק ברורה - כפי ששמת לב - האם הכוונה לכל x בתחום ההגדרה (הנקודה הראשונה לעיל) או להסתכלות על תחום ההגדרה כעל הקטע [math]\displaystyle{ [0, \infty) }[/math] (הנקודה השניה לעיל)? לכן, אם מתישהו כן שאלנו שאלה בניסוח לא ברור כזה, צריך לשאול אותנו מה כוונתנו. אם רשום "האם הפונקציה רציפה לכל x בתחום הגדרתה" אז הכוונה הפירוש הראשון. אך גם ככה נשתדל לא לשאול. בדר"כ נהיה מאוד ברורים - או שנשאל באיזה נקודות הפונקציה רציפה (ואז בהכרח שואלים על רציפות נקודתית, הנקודה הראשונה לעיל) או שנתן לכם קטע מסוים ונשאל האם היא רציפה שם (הנקודה השניה לעיל).
  • לסיכום, אם שואלים "באיזה נקודות הפונקציה רציפה?" או "איפה הפונקציה רציפה?" שואלים על רציפות נקודתית. אם נתון קטע מסוים בשאלה, ורק אז, שואלים על רציפות בקטע. ואת השאלה "האם הפונקציה רציפה בתחום הגדרתה" לא נשאל, ואם אי פעם ישאלו אתכם שאלה זו, תשאלו בחזרה - "האם התכוונתם במובן זה, או במובן זה?" דורון פרלמן (שיחה)

הסבר מורחב מדוע היה צורך להמיר טורים לסס"ח(סכום סדרה חלקית)?

עדיין לא בדיוק הבנתי מדוע כשאנו מעבירים את הטור לצורה של סס"ח אנו כן מסוגלים לקבוע האם הוא מתכנס או לא. לכאורה זה 'אותה גברת בשינוי אדרת', מה שיכולנו לקבוע לגבי הסס"ח יכולנו לקבוע גם בצורה של הטור?!

• לסכום הטור אין משמעות לפני שמגדירים מה המשמעות שלו. הגדרנו את המשמעות שלו להיות לפי הסס"ח (סדרת הסכומים החלקיים) שלו. אמרנו שאם הסס"ח מתכנסת, זו המשמעות שאנחנו נותנים לביטוי "הטור מתכנס", אם הסס"ח מתבדרת, זו המשמעות שאנחנו נותנים לביטוי "הטור מתבדר", ואם הסס"ח מתכנסת למס' הממשי L זו המשמעות לביטוי "סכום הטור שווה L". מדוע אין לסכום טור משמעות לפני שעושים את ההגדרה הזו? כי סכום טור זה חיבור של אינסוף מספרים זה לזה ואין לזה משמעות מתמטית עד שלא מסבירים מה הכוונה. אנחנו יודעים איך לחבר 1000 מספרים זה לזה, או מיליון מספרים זה לזה, אבל איך מחברים אינסוף מספרים זה לזה? המשמעות הטבעית היא: בואו נסתכל מה קורה כאשר מחברים 2 איברים ראשונים, 3 איברים ראשונים, 4 איברים ראשונים, וכו', כך לכל n, מחברים את ה-n האיברים הראשונים. זו למעשה הסס"ח. ואז הגיוני לומר שסכום הטור הוא L אם סדרת הסכומים החלקיים הזו שואפת ל-L. וכבר הגדרנו מה משמעות התכנסות סדרה, לכן אפשר לתת את משמעות סכום הטור לפי התכנסות הסדרה הזו. דורון פרלמן (שיחה)