הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 8"
(←מקרה הפולינום) |
(←מקרה האקספוננט) |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 19: | שורה 19: | ||
3. <math>y''-6y'+4y=0</math> | 3. <math>y''-6y'+4y=0</math> | ||
− | 4. <math>y''-6y'+ | + | 4. <math>y''-6y'+9y=0</math> |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
שורה 43: | שורה 43: | ||
2. <math>y''+2y'=3x^2</math> | 2. <math>y''+2y'=3x^2</math> | ||
+ | |||
+ | ===מקרה האקספוננט=== | ||
+ | |||
+ | אם <math>f(x)=ae^{bx}</math> אז ננחש פתרון פרטי מהצורה <math>y=\alpha e^{bx}</math>, ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-<math>x</math>. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | פתרו את המד"ר הבאות: | ||
+ | |||
+ | 1. <math>y''-9y=5e^{2x}</math> | ||
+ | |||
+ | 2. <math>y''-9y=5e^{3x}</math> |
גרסה אחרונה מ־07:44, 8 בינואר 2019
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הומוגנית עם מקדמים קבועים
המד"ר היא מהצורה , ויש לה משוואה אופיינית: . פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:
1. דסקרמיננטה חיובית: במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית , ופיתרון המד"ר הוא: .
2. דסקרמיננטה שלילית: במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית , ופתרון המד"ר הוא: .
3. דסקרמיננטה = : במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית , ופתרון המד"ר הוא .
תרגילים
נפתור את המד"ר הבאות:
1.
2.
3.
4.
פתרון
1. המשוואה האופיינית היא שזה בעצם , ונקבל ולכן פתרון המד"ר הוא: .
2. המשוואה האופיינית היא , נוסחת השורשים: . ונקבל שהפתרון הוא: .
3. המשוואה האופיינית היא . נוסחת השורשים: וכו'.
4. המשוואה האופיינית היא , ולכן הפתרון הוא: .
לא הומוגנית עם מקדמים קבועים
מד"ר מהצורה פותרים בצורה הבאה: ראשית פותרים את המד"ר כהומוגנית. שנית, מנחשים פתרון פרטי כפי שנלמד במקרים מסויימים, ואז הסכום שלהם הוא פתרון כללי למד"ר. להלן המקרים המסויימים:
מקרה הפולינום
אם פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי (כי זה מה שתמר מצפה מכם בקורס), ואז נפתור שלוש משוואות בשלושה נעלמים. אם אין פתרון למערכת, מכפלים את הניחוש ב-.
תרגיל
פתרו את המד"ר הבאות:
1.
2.
מקרה האקספוננט
אם אז ננחש פתרון פרטי מהצורה , ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-.
תרגיל
פתרו את המד"ר הבאות:
1.
2.