(←מבחנים לדוגמא) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←מבחנים לדוגמא) |
||
(64 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות]] | ||
+ | |||
=מבחנים לדוגמא= | =מבחנים לדוגמא= | ||
− | *[[מדיה:18EngODEExmpTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1]] | + | *[[מדיה:18EngODEExmpTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1]], [[מדיה:18EngODEExmpTest1Sol.pdf|פתרון]] |
− | + | *[[מדיה:18EngODEExmpTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2]], [[מדיה:18EngODEExmpTest2Sol.pdf|פתרון]] | |
− | *[[מדיה:18EngODEExmpTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2]] | + | *[[מדיה:18EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestASol.pdf|פתרון]] |
− | + | *[[מדיה:18EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]] | |
− | *[[מדיה:18EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]] | + | *[[מדיה:19ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestASol.pdf|פתרון]] |
− | + | *[[מדיה:19ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט]] | |
− | + | *[[מדיה:21ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]] | |
− | *[[מדיה:19ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]] | + | *[[מדיה:21ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א]] |
− | + | *[[מדיה:22ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב]] | |
− | + | *[[מדיה:22ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב]] | |
− | *[[מדיה:21ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]] | + | *[[מדיה:23ODEQuiz.pdf|בוחן תשפ"ג]], [[מדיה:23ODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן תשפ"ג]] |
− | *[[מדיה:21ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]] | + | *[[מדיה:23ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג]] |
+ | *[[מדיה:23ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23EngODEQuiz.pdf|בוחן הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestASol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:23EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestBSol.pdf|פתרון]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===מבחנים של מד"ר למדעי המוח=== | ||
+ | *[[מדיה:23BSODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestAPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד א' תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23BSODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestBPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד ב' תשפ"ג]] | ||
=הרצאות= | =הרצאות= | ||
שורה 25: | שורה 36: | ||
*כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה. | *כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה. | ||
+ | |||
+ | *המלצה: ניתן להעזר בספר המצויין על מד"ר של סמי זעפרני ב[https://samyzaf.com/technion/ode/ode.pdf קישור הבא]. | ||
===נפילה חופשית=== | ===נפילה חופשית=== | ||
שורה 75: | שורה 88: | ||
− | ===סדר | + | ===סדר המד"ר=== |
*משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n. | *משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n. | ||
שורה 112: | שורה 125: | ||
*בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה. | *בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה. | ||
*בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה. | *בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה. | ||
+ | |||
+ | ====המרדף==== | ||
+ | *דוגמא יפה וחשובה מ[http://people.uncw.edu/hermanr/mat361/ODEBook/ODE1.pdf הספר הזה] עמוד 19 של הספר (33 של הPDF) | ||
+ | *מרצה צועד במהירות קבועה <math>b</math> בקו ישר בשדרה שמוביל אל בניין 507. | ||
+ | *סטודנט שרוצה עוד שתי נקודות לעובר רואה את המרצה, ונע לכיוון המרצה במהירות קבועה <math>c</math>. | ||
+ | *המרצה מתחיל בנקודה <math>(0,0)</math> ונע בכיוון החיובי של ציר y, הסטודנט מתחיל בנקודה <math>(a,0)</math> עבור <math>a>0</math>. | ||
+ | *באיזה מסלול ינוע הסטודנט? באילו תנאים הוא יתפוס את המרצה? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן את פונקצית המסלול של הסטודנט ב<math>y(x)</math> | ||
+ | *כיוון שהסטודנט תמיד נע בכיוון המרצה, המשיק של הפונקציה בכל נקודה במסלול הסטודנט צריך לפגוש את המרצה באותו הזמן. | ||
+ | *בזמן <math>t</math> המרצה נמצא בנקודה <math>(0,b\cdot t)</math> והסטודנט נמצא בנקודה <math>(x,y)</math>. | ||
+ | *השיפוע בין המרצה לסטודנט הוא הנגזרת של פונקצית המסלול, כלומר <math>y'=\frac{y-bt}{x}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת יש לנו שלושה משתנים <math>t,x,y</math>, כיצד נפטר מאחד מהם? לא השתמשנו במהירות הסטודנט! | ||
+ | *המסלול שהסטודנט עבר צריך להיות שווה ל<math>c\cdot t</math>, כלומר <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=ct</math> | ||
+ | *מהמשוואה לעיל אנו יודעים כי <math>t=\frac{y-xy'}{b}</math> | ||
+ | *ביחד נקבל כי <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=c\cdot \frac{y-xy'}{b}</math> | ||
+ | *נגזור את שני הצדדים ונקבל כי: | ||
+ | *<math>-\sqrt{y'^2+1}=\frac{c}{b}\cdot (-xy'')</math> | ||
+ | *<math>\frac{c}{b}xy''=\sqrt{y'^2+1}</math> | ||
+ | *נסמן <math>y'=z</math> ונקבל <math>\frac{c}{b}xz'=\sqrt{z^2+1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *זו מד"ר פרידה | ||
+ | *<math>\frac{c}{b\sqrt{z^2+1}}dz=\frac{1}{x}dx</math> | ||
+ | *באמצעות [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|ההצבה האוניברסאלית המתאימה]] <math>z=tan(t)</math> נפתור את האינטגרל של הצד השמאלי ונקבל כי | ||
+ | *<math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)+D</math> | ||
+ | *ברגע הראשון התקיים כי <math>x=a</math> והתלמיד כיוון לראשית הצירים כלומר <math>y'(a)=0</math> כלומר <math>z(a)=0</math> | ||
+ | *לכן <math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)-ln(a)</math> | ||
+ | *<math>ln(\sqrt{z^2+1}+z)=\frac{b}{c}ln(\frac{x}{a})</math> | ||
+ | *<math>\sqrt{z^2+1}+z=\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת קצת אלגברה: | ||
+ | *<math>z+\sqrt{z^2+1}=A</math> | ||
+ | *<math>\frac{-1}{z-\sqrt{z^2+1}}=A</math> | ||
+ | *<math>z-\sqrt{z^2+1}=-\frac{1}{A}</math> | ||
+ | *נחבר למשוואה הראשונה | ||
+ | *<math>z=\frac{1}{2}\left(A-\frac{1}{A}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הרי <math>z=y'</math>, ולכן ביחד: | ||
+ | *<math>y'=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}-\left(\frac{x}{a}\right)^{-\frac{b}{c}}\right)</math> | ||
+ | *ולכן אחרי אינטגרציה נקבל כי: | ||
+ | *<math>y=\frac{a}{2}\left(\frac{1}{\frac{b}{c}+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}+1} - | ||
+ | \frac{1}{1-\frac{b}{c}}\left(\frac{x}{a}\right)^{1-\frac{b}{c}}\right) + K</math> | ||
+ | *כאשר אנחנו מקבלים את הקבוע <math>K</math> מהנתון <math>y(a)=0</math> | ||
+ | |||
+ | *באופן טבעי, אם מהירות המרצה גדולה ממהירות הסטודנט <math>b>c</math> נקבל שאיפה לאינסוף כאשר <math>x\to 0</math> והסטודנט לא יגיע למרצה. | ||
+ | *אם <math>b<c</math> הסטודנט יגיע לשדירה ויתפוס את המרצה. | ||
+ | *אם <math>b=c</math> האינטגרציה שלנו שגוייה, וכאשר נחשב אותה נכון שוב נקבל שאיפה לאינסוף (באופן טבעי) | ||
===הפיכת משוואה לפרידה=== | ===הפיכת משוואה לפרידה=== | ||
שורה 129: | שורה 195: | ||
*על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות. | *על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות. | ||
*אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס. | *אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס. | ||
− | |||
− | |||
==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי== | ==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי== | ||
שורה 175: | שורה 239: | ||
===מד"ר לינארית מסדר ראשון=== | ===מד"ר לינארית מסדר ראשון=== | ||
− | *הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+ | + | *הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math>. |
− | *מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+ | + | *מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=0</math>. |
*נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים. | *נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים. | ||
− | *נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+ | + | *נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+a(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''. |
− | *נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=- | + | *נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-a(x)dx</math>. |
− | *נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=- | + | *נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-A(x) +C</math>. |
− | *ולכן <math>y=C\cdot e^{- | + | *ולכן <math>y=C\cdot e^{-A(x)}</math> |
שורה 191: | שורה 255: | ||
− | *כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{- | + | *כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-A(x)}</math> במשוואה <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. |
− | *נקבל <math>C'(x)\cdot e^{- | + | *נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}-a(x)\cdot C(x)\cdot e^{-A(x)} + a(x)\cdot C(x) \cdot e^{-A(x)}=b(x)</math> |
− | *משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{- | + | *משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}=b(x)</math>. |
− | *כלומר <math>C'(x)= | + | *כלומר <math>C'(x)=b(x)\cdot e^{A(x)}</math>. |
− | *לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[ | + | *לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[b(x)\cdot e^{A(x)}\right]dx+C</math> |
− | *סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+ | + | *סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math> הוא: |
− | <math>e^{- | + | <math>e^{-A(x)}\cdot\left(C+\int\left(b(x)\cdot e^{A(x)}\right)dx\right)</math> |
*דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>: | *דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>: | ||
− | **ראשית, נשים לב כי <math> | + | **ראשית, נשים לב כי <math>a(x)=-r</math> ו<math>b(x)=0</math>. |
**כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא <math>y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}</math> | **כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא <math>y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}</math> | ||
שורה 258: | שורה 322: | ||
**לכן <math>z'-bz=d</math> | **לכן <math>z'-bz=d</math> | ||
**נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית: | **נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית: | ||
− | ***<math>z=e^{bt}\cdot ( | + | ***<math>z=e^{bt}\cdot (\frac{d}{-b}e^{-bt}+C)=Ce^{bt}-\frac{d}{b}</math> |
− | **ולכן <math>v=\frac{1}{ | + | **ולכן <math>v=\frac{1}{Ce^{bt}-\frac{d}{b}}</math> |
**כמובן שכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס. | **כמובן שכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס. | ||
− | ==הרצאה 3 משוואות מדוייקות | + | |
+ | *דוגמא - [https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function#Applications המשוואה הלוגיסטית] | ||
+ | **קצב הגדילה של אוכלוסיה פרופורציונלית לגודל האוכלוסיה כפול כמות המשאבים הפנויים. | ||
+ | **המשאבים קטנים באופן פרופורציונלי לגודל האוכלוסיה. | ||
+ | **<math>y'=a\cdot y\cdot (1-by)</math> | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 3 משוואות מדוייקות== | ||
===הקדמה - פונקציות בשני משתנים=== | ===הקדמה - פונקציות בשני משתנים=== | ||
שורה 297: | שורה 367: | ||
− | *דוגמא: | + | *דוגמא: מצאו משוואה המתארת את הפתרון למד"ר הבאה באופן סתום <math>(2x+6y)dx+(6x+3y^2)dy=0</math>. |
**ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: <math>P_y=Q_x=6</math>. | **ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: <math>P_y=Q_x=6</math>. | ||
**נבצע אינטגרציה <math>U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y)</math>. | **נבצע אינטגרציה <math>U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y)</math>. | ||
שורה 303: | שורה 373: | ||
**לכן <math>c'(y)=Q-6x=3y^2</math>. | **לכן <math>c'(y)=Q-6x=3y^2</math>. | ||
**לכן <math>c(y)=y^3</math> וסה"כ <math>U(x,y)=x^2+6xy+y^3</math>. | **לכן <math>c(y)=y^3</math> וסה"כ <math>U(x,y)=x^2+6xy+y^3</math>. | ||
− | **לכן הפתרון למד"ר | + | **לכן הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>x^2+6xy+y^3=C</math>. |
שורה 350: | שורה 420: | ||
***אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y. | ***אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y. | ||
− | == | + | |
− | + | ||
+ | ==הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות== | ||
+ | |||
+ | ===בעיית קושי=== | ||
*מציאת פתרון למד"ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיימת <math>y(x_0)=y_0</math> | *מציאת פתרון למד"ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיימת <math>y(x_0)=y_0</math> | ||
+ | |||
+ | ===המשוואה האינטגרלית=== | ||
+ | *בעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math> עם <math>y(x_0)=y_0</math> שקולה למשוואה <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | **בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים. | ||
+ | ***אזי <math>\int_{x_0}^x y'(t)dt=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | ***לכן <math>y(x)-y(x_0)=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | ***ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי <math>y(x)-y_0=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | **בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה. | ||
+ | ***נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה). | ||
+ | ***נציב במשוואה האינטגרלית את <math>x_0</math> ונקבל <math>y(x_0)=y_0+\int_{x_0}^{x_0}f(t,y(t))dt=y_0</math>. | ||
+ | |||
− | + | ===שיטת פיקרד=== | |
− | *נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את | + | *נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את קיום הפתרון במשפט הקיום והיחידות. |
− | *נגדיר <math>\varphi_0=y_0</math>, ולכל <math>n</math> נגדיר <math>\ | + | *נבנה נוסחת נסיגה מהמשוואה האינטגרלית, ואז אם הסדרה תתכנס (במ"ש) נקבל את המשוואה האינטגרלית: |
+ | *נגדיר <math>\varphi_0=y_0</math>, ולכל <math>n</math> נגדיר <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>. | ||
*מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר. | *מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר. | ||
שורה 383: | שורה 468: | ||
*מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו. | *מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ===הוכחת הקיום=== | ||
+ | *נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון לבעיית הקושי. | ||
+ | *הערה: נוכיח עבור <math>x\geq x_0</math> ההוכחות עבור <math>x<x_0</math> דומות. | ||
− | |||
− | |||
+ | *ראשית, נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן <math>|x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b</math> שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של <math>f</math>. | ||
+ | *כלומר, עלינו להוכיח כי לכל <math>x</math> המקיים <math>|x-x_0|\leq a'</math> מתקיים כי <math>|\varphi_n(x)-y_0|\leq b</math>. | ||
+ | **הפונקציה הראשונה <math>\varphi_0=y_0</math> כמובן בתוך המלבן. | ||
+ | **כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>. | ||
+ | ***שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום <math>[x_0,x]</math> שנמצא בתחום התחום <math>[x_0,x_0+a']</math>. | ||
+ | **לכן <math>|\varphi_{n+1}(x)-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b</math>. | ||
− | * | + | |
+ | |||
+ | *כעת, נשים לב לתכונה הבאה: | ||
**כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K. | **כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K. | ||
**לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math> | **לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
*כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש): | *כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש): | ||
**ראשית, נשים לב כי <math>\varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0</math>. | **ראשית, נשים לב כי <math>\varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0</math>. | ||
− | **לכן עלינו להוכיח כי הטור <math>\sum_{i=1}^ | + | **לכן עלינו להוכיח כי הטור <math>\sum_{i=1}^\infty\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)</math> מתכנס במ"ש (כי הסס"ח שלו היא <math>\varphi_n</math> פחות קבוע). |
**ראשית, <math>|\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M(x-x_0)</math> | **ראשית, <math>|\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M(x-x_0)</math> | ||
**כעת <math>|\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{(x-x_0)^2}{2}</math> | **כעת <math>|\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{(x-x_0)^2}{2}</math> | ||
שורה 425: | שורה 501: | ||
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!} | \sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!} | ||
</math> | </math> | ||
− | **זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, | + | **זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, וכן לפי מבחן הM של קושי הטור המקורי מתכנס במידה שווה. |
**הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה. | **הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה. | ||
שורה 435: | שורה 511: | ||
**הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש. | **הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש. | ||
+ | ===הוכחת היחידות=== | ||
*טענת עזר - תהי <math>g</math> חסומה כך שלכל <math>x\geq x_0</math> בקטע <math>|x-x_0|\leq a</math> מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> לכל <math>x\geq x_0</math> בקטע. | *טענת עזר - תהי <math>g</math> חסומה כך שלכל <math>x\geq x_0</math> בקטע <math>|x-x_0|\leq a</math> מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> לכל <math>x\geq x_0</math> בקטע. | ||
**<math>|g|\leq M</math>. | **<math>|g|\leq M</math>. | ||
**<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq KM(x-x_0)</math>. | **<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq KM(x-x_0)</math>. | ||
− | **<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq \int_{x_0}^x KM(t-x_0)dt=K^2M\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>. | + | **<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq K\int_{x_0}^x KM(t-x_0)dt=K^2M\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>. |
**נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי <math>|g|\leq K^nM\frac{(x-x_0)^n}{n!}</math>. | **נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי <math>|g|\leq K^nM\frac{(x-x_0)^n}{n!}</math>. | ||
**לכן <math>|g|\leq K^n M\frac{a^n}{n!}\to 0</math>. | **לכן <math>|g|\leq K^n M\frac{a^n}{n!}\to 0</math>. | ||
שורה 447: | שורה 524: | ||
*יהיו שני פתרונות <math>y_1,y_2</math> לבעיית הקושי, נוכיח כי <math>y_1=y_2</math>: | *יהיו שני פתרונות <math>y_1,y_2</math> לבעיית הקושי, נוכיח כי <math>y_1=y_2</math>: | ||
− | **<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t, | + | **<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t,y_2)-f(t,y_1))dt\right|\leq \int_{x_0}^x|f(t,y_2)-f(t,y_1)|dt\leq K\int_{x_0}^x|y_2-y_1|dt</math>. |
**לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>. | **לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>. | ||
− | |||
==הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה== | ==הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה== | ||
שורה 459: | שורה 535: | ||
**הכוח הפועל על המסה הוא <math>-kX</math>. | **הכוח הפועל על המסה הוא <math>-kX</math>. | ||
**לכן לפי החוק השני של ניוטון <math>mX''=-kX</math>. | **לכן לפי החוק השני של ניוטון <math>mX''=-kX</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **נביט בסירה במים המחוברת בקפיץ למזח. | ||
+ | **מלבד הכוח שהקפיץ מפעיל, המים מתנגדים לסירה באופן פרופורציוני למהירות שלה. | ||
+ | **<math>mX''=-kX-dX'</math> | ||
+ | **היחס בין קבוע הקפיץ לקבוע התנגדות המים ישפיע על התנועה - האם הסירה תתקדם בכיוון אחד, או תעשה תנועה מחזורית (בכל מקרה היא תאט). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **מסה מחוברת לקפיץ עם חיכוך | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **מסה תלוייה על קפיץ במאונך עם או בלי התנגדות אוויר ועם השפעת כוח המשיכה (לא הומוגני) | ||
שורה 470: | שורה 561: | ||
**נביט בפונקצית המהירות <math>V=X'</math> ונקבל את המשוואה <math>mV'=C</math> מסדר ראשון. | **נביט בפונקצית המהירות <math>V=X'</math> ונקבל את המשוואה <math>mV'=C</math> מסדר ראשון. | ||
− | ==== | + | ====הורדת סדר למד"ר מסדר שני ללא x==== |
− | * | + | *תהי מד"ר מהצורה <math>y''=f(y',y)</math>. |
− | *ראשית נחפש פונקציה <math>p</math> המקיימת את המד"ר <math>p'(t)p(t)=f(t)</math> | + | *ראשית נחפש פונקציה <math>p</math> המקיימת את המד"ר מסדר ראשון <math>p'(t)p(t)=f(p(t),t)</math> |
**נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר. | **נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר. | ||
*כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו <math>y'=p(y)</math> | *כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו <math>y'=p(y)</math> | ||
− | *פונקציה כזו תקיים כי <math>y''=p'(y)y'=p'(y)p(y)=f(y)</math> | + | *פונקציה כזו תקיים כי <math>y''=p'(y)y'=p'(y)p(y)=f(p(y),y)=f(y',y)</math> |
*כלומר היא מהווה פתרון למד"ר. | *כלומר היא מהווה פתרון למד"ר. | ||
− | + | =====דוגמא - משוואות הקפיץ===== | |
**נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t). | **נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t). | ||
**נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה <math>y''=-ky</math>. | **נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה <math>y''=-ky</math>. | ||
שורה 492: | שורה 583: | ||
***שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון. | ***שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון. | ||
**שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה. | **שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====דוגמא - מהירות מילוט===== | ||
+ | *גוף בעל מסה <math>m</math> נזרק מכדור הארץ כלפי מעלה במהירות <math>v_0</math>, נסמן את מרחק הגוף ממרכז כדור הארץ ב<math>r</math>. | ||
+ | **מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו <math>v(r)</math>. | ||
+ | **מהי מהירות המילוט של הגוף? כלומר עבור איזו מהירות התחלתית מתקיים כי <math>r(t)\to \infty</math> כאשר <math>t\to \infty</math>? | ||
+ | |||
+ | *נסמן את מסת כדור הארץ ב<math>m_e</math>, את רדיוס כדור הארץ ב<math>R_e</math>, את קבוע הכבידה האוניברסאלי ב<math>G</math> ואת תאוצת הנפילה בכדור הארץ ב<math>g</math> | ||
+ | **ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה <math>m</math> הוא בקירוב <math>mg=\frac{Gm_e m}{R_e^2}</math> כלומר <math>g=\frac{Gm_e}{R_e^2}</math> ולכן <math>gR_e^2 = Gm_e</math> | ||
+ | **המשוואה המתארת את תנועת הגוף היא: | ||
+ | ***<math>mr''=-\frac{Gm_e m}{r^2}</math> כלומר <math>r''=-\frac{Gm_e}{r^2}=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math> | ||
+ | **זו משוואה מסדר שני שחסר בה המשתנה <math>t</math> | ||
+ | **נחפש <math>p</math> עבורה <math>p(r)=r'</math> ולכן <math>pp'=r''</math> | ||
+ | ***<math>pp'=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math> | ||
+ | ***נעשה אינטגרציה למד"ר הפרידה שקיבלנו ונקבל | ||
+ | ***<math>\frac{p^2}{2}=\frac{gR_e^2}{r}+C</math> | ||
+ | ***לכן <math>p(r)=\pm\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כיוון שהמהירות ההתחלתית היא חיובית נקבל כי | ||
+ | **<math>r'=\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math> | ||
+ | *על מנת למצוא את הקבוע, נציב את תנאי ההתחלה: | ||
+ | **הגובה הראשוני הוא <math>r=R_e</math> ובו המהירות היא <math>v_0</math> | ||
+ | **<math>v_0=\sqrt{C+2gR_e}</math> | ||
+ | **<math>C=v_0^2-2gR_e</math> | ||
+ | *הערה: ניתן לפתור את המד"ר הזו על מנת למצוא את הגובה כפונקציה של הזמן, אך לא התבקשנו לעשות כן. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ נקבל כי <math>v(r)=\sqrt{v_0^2-2gR_e+\frac{2gR_e^2}{r}}</math> | ||
+ | |||
+ | *מהירות המילוט היא המהירות ההתחלתית הנמוכה ביותר המבטיחה כי הגוף לא יגיע למהירות אפס. | ||
+ | *לכן מהירות המילוט מקיימת כי <math>v_0^2 = 2gR_e</math> ולכן <math>v_0 =\sqrt{2gR_e}</math> | ||
+ | **לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ<math>v_0</math> ושואף למספר שלילי (בהנחת השלילה ש <math>r\to \infty</math>), ולכן יגיע לאפס. במהירות אפס החפץ לא ימשיך לנוע. | ||
+ | **לכל מהירות התחלתית גבוהה יותר, המהירות גדולה יותר מערך חיובי קבוע, ולכן <math>r\to\infty</math>. | ||
+ | **אם המהירות ההתחלתית היא בדיוק מהירות המילוט, ניתן לפתור את המד"ר בקלות ולראות כי <math>r\to\infty</math>. | ||
===מד"ר לינארית=== | ===מד"ר לינארית=== | ||
שורה 499: | שורה 625: | ||
*משפט קיום ויחידות: אם <math>a_i(x),f(x)</math> רציפות בקטע <math>I</math> ויהי <math>x_0\in I</math>, אזי קיים פתרון יחיד בקטע <math>I</math> לבעיית הקושי. | *משפט קיום ויחידות: אם <math>a_i(x),f(x)</math> רציפות בקטע <math>I</math> ויהי <math>x_0\in I</math>, אזי קיים פתרון יחיד בקטע <math>I</math> לבעיית הקושי. | ||
+ | |||
+ | *נגדיר את אופרטור הגזירה <math>D</math> על מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים. | ||
+ | *<math>a(x)D</math> גם הוא אופרטור לינארי | ||
+ | *לכן ניתן לכתוב מד"ר לינארית כ <math>Ty=f(x)</math> כאשר <math>T=D^n+\sum_{k=1}^{n-1} a_k(x)\cdot D^k + I </math> אופרטור לינארי. | ||
====מד"ר לינארית הומוגנית==== | ====מד"ר לינארית הומוגנית==== | ||
*אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי. | *אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי. | ||
− | ** | + | **זה הרי הגרעין של האופרטור <math>T</math> המתואר לעיל |
− | + | ||
שורה 532: | שורה 661: | ||
− | *אם <math>W(x_0)=0</math> עבור <math>x_0\in I</math> כלשהו עבור <math>y_1,...,y_n</math> '''פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית''', אזי הפתרונות ת"ל ו<math>W(x)\equiv 0</math>. | + | *אם <math>W(x_0)=0</math> עבור <math>x_0\in I</math> כלשהו עבור <math>y_1,...,y_n</math> '''פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית''' עם מקדמים רציפים בקטע <math>I</math>, אזי הפתרונות ת"ל ו<math>W(x)\equiv 0</math>. |
**כיוון ש<math>W(x_0)=0</math> קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math> | **כיוון ש<math>W(x_0)=0</math> קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math> | ||
c_1y_1^{(k)}(x_0)+...+c_ny_n^{(k)}(x_0)=0</math>. | c_1y_1^{(k)}(x_0)+...+c_ny_n^{(k)}(x_0)=0</math>. | ||
שורה 625: | שורה 754: | ||
==הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים== | ==הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים== | ||
+ | |||
+ | ראשית נציג גישה אחת לנושא, ומאוחר יותר נציג גרסא מעודכנת (2022) המבוססות יותר על אופרטורים. | ||
===פולינום אופייני=== | ===פולינום אופייני=== | ||
שורה 712: | שורה 843: | ||
***<math>y''(0)=-2+2c_3=0</math> ולכן <math>c_3=1</math>. | ***<math>y''(0)=-2+2c_3=0</math> ולכן <math>c_3=1</math>. | ||
**סה"כ הפתרון הוא <math>y=e^{-x}(x+x^2)</math>. | **סה"כ הפתרון הוא <math>y=e^{-x}(x+x^2)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===גישה מבוססת אופרטורים=== | ||
+ | |||
+ | *נציג את המד"ר הלינארית עם מקדמים קבועים באמצעות אופרטור הגזירה: | ||
+ | *<math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y = (D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0 I)y=Ty</math> | ||
+ | *נגדיר את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
+ | *סה"כ האופרטור של המד"ר הוא <math>T=p(D)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נפרק את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים מעל המרוכבים | ||
+ | *<math>p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n)</math> | ||
+ | *ונקבל כי <math>T=p(D)=(D-\lambda_1 I)\cdots (D-\lambda_n I)</math> | ||
+ | **שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש <math>D,\lambda I</math> אופרטורים מתחלפים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כיוון שמותר להחליף את סדר הגורמים נובע כי אם <math>\lambda</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי <math>k</math> אזי | ||
+ | **<math>\ker\left((D-\lambda I)^k\right)\subseteq \ker T</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | בטקסט לעיל, למדנו איך למצוא בסיס לגרעין הזה. | ||
==הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית== | ==הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית== | ||
שורה 764: | שורה 916: | ||
− | *טענה - עבור פונקציות <math>c_1(x),...,c_n(x)</math> המקיימות את מערכת המשוואות <math>\begin{cases} | + | |
+ | *טענה - עבור פונקציות <math>c_1(x),...,c_n(x)</math> המקיימות את מערכת המשוואות | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{cases} | ||
c_1'y_1+...+c_n'y_n=0 \\ | c_1'y_1+...+c_n'y_n=0 \\ | ||
c_1'y_1'+...+c_n'y_n'=0 \\ | c_1'y_1'+...+c_n'y_n'=0 \\ | ||
שורה 770: | שורה 925: | ||
c_1'y_1^{(n-2)} +...+c_n'y_n^{(n-2)}=0\\ | c_1'y_1^{(n-2)} +...+c_n'y_n^{(n-2)}=0\\ | ||
c_1'y_1^{(n-1)}+...+c_n'y_n^{(n-1)}=f(x) | c_1'y_1^{(n-1)}+...+c_n'y_n^{(n-1)}=f(x) | ||
− | \end{cases}</math> | + | \end{cases}</math> |
− | + | ||
+ | מתקיים כי <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math> הוא פתרון פרטי של המד"ר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
**<math>y_p'=c_1'y_1+\cdots+c_n'y_n+c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'=c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'</math>. (לפי המשוואה הראשונה.) | **<math>y_p'=c_1'y_1+\cdots+c_n'y_n+c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'=c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'</math>. (לפי המשוואה הראשונה.) | ||
**באופן דומה <math>y_p''=c_1y_1''+\cdots+c_ny_n''</math>. (לפי המשוואה השנייה.) | **באופן דומה <math>y_p''=c_1y_1''+\cdots+c_ny_n''</math>. (לפי המשוואה השנייה.) | ||
שורה 780: | שורה 938: | ||
***<math>y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+\cdots + a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)+c_1(y_1^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_1)+\cdots+c_n(y_n^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_n)</math> | ***<math>y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+\cdots + a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)+c_1(y_1^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_1)+\cdots+c_n(y_n^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_n)</math> | ||
**כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן <math>y_p'''+a_2(x)y_p''+a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)</math>. | **כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן <math>y_p'''+a_2(x)y_p''+a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נכתוב '''שוב''' את ההוכחה, בעזרת סימן הסכימה (עשוי להיות נוח יותר או פחות): | ||
+ | **ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל <math>0\leq m\leq n-1</math> מתקיים כי | ||
+ | **<math>D^m y_p = D^m \sum_{k=1}^n c_k(x)y_k = \sum_{k=1}^n c_k(x)D^m y_k</math> | ||
+ | **כעת בעזרת המשוואה האחרונה נקבל כי | ||
+ | **<math>D^n y_p = D D^{n-1}y_p = D\sum_{k=1}^nc_k(x)D^{n-1}y_k=\sum_{k=1}^n c'_k(x)D^{n-1}y_k + \sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k</math> | ||
+ | **נציב במד"ר ונקבל | ||
+ | **<math>Ty_p=D^ny_p +\sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^ty_p=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)\left(\sum_{k=1}^n c_k(x)D^t y_k\right)=</math> | ||
+ | **<math>=f(x)+\sum_{k=1}^n c_k(x)\left(D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^t y_k\right) = f(x)+0</math> | ||
שורה 971: | שורה 1,139: | ||
====שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני==== | ====שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני==== | ||
*נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ. | *נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ. | ||
− | *נניח כי <math> | + | *נניח כי <math>y_2<y_1</math> מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן. |
*נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה. | *נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה. | ||
*נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד. | *נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד. | ||
− | *לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''= | + | *לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''=k(y_1-y_2)\end{cases}</math> |
+ | *שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי) | ||
*נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>. | *נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>. | ||
שורה 1,018: | שורה 1,187: | ||
==הרצאה 10 התמרת לפלס== | ==הרצאה 10 התמרת לפלס== | ||
*התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות. | *התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות. | ||
− | *עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st} | + | *עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>. |
*שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s. | *שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s. | ||
*אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>. | *אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>. | ||
שורה 1,024: | שורה 1,193: | ||
**הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>. | **הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>. | ||
*נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה. | *נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
שורה 1,091: | שורה 1,234: | ||
*כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>. | *כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>. | ||
*וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה. | *וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===דוגמאות=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט | ||
+ | *נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> את <math>y=e^{ax}</math> | ||
+ | *<math>\mathcal{L}(ae^{ax})=s\mathcal{L}(e^{ax})-1</math> | ||
+ | *סה"כ נקבל כי <math>\mathcal{L}(e^{ax})=\frac{1}{s-a}</math> | ||
שורה 1,098: | שורה 1,250: | ||
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math> | **<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math> | ||
**לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math> | **לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס | ||
+ | *נסמן <math>F(s)=\mathcal{L}(\sin(ax))</math>, <math>G(s)=\mathcal{L}(\cos(ax))</math> | ||
+ | *נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>: | ||
+ | **נציב <math>y=\sin(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(a\cos(ax))=s\mathcal{L}(\sin(ax))-0</math> כלומר <math>aG(s)=sF(s)</math> | ||
+ | **נציב <math>y=\cos(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(-a\sin(ax))=s\mathcal{L}(\cos(ax))-1</math> כלומר <math>-aF(s)=sG(s)-1</math> | ||
+ | *נקבל סה"כ כי | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(sin(ax))=F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}</math> | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(cos(ax))=G(s)=\frac{s}{s^2+a^2}</math> | ||
==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס== | ==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס== | ||
שורה 1,270: | שורה 1,432: | ||
*משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה: | *משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה: | ||
**<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> | **<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> | ||
− | * | + | |
+ | *נסמן את פונקצית האקפוננט <math>\exp(t)=e^t</math> | ||
+ | *נפתור את המד"ר ל<math>x>0</math> | ||
+ | *נגדיר <math>u=y\circ \exp</math> כלומר <math>u(t)=y(e^t)</math>. | ||
*נקבל כי | *נקבל כי | ||
**<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math> | **<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math> | ||
שורה 1,276: | שורה 1,441: | ||
**<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t) = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math> | **<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t) = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math> | ||
**באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם. | **באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם. | ||
− | * | + | |
− | * | + | |
− | + | *נסמן את האופרטור המתאים למד"ר: | |
− | + | **<math>H=a_n x^n D^n +...+a_0 I</math> | |
− | ** | + | **לכן <math>Hy\circ\exp (t)=a_n e^{nt}y^{(n)}(e^t)+...+a_0y(e^t)</math> |
− | ** | + | **לפי הפיתוח לעיל, זה שווה ל<math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> עבור קבועים כלשהם. |
− | + | *נסמן את האופרטור המתאים למד"ר זו ב<math>K=c_nD^n+...+c_0I</math> | |
− | + | **סה"כ הוכחנו כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)</math> | |
− | * | + | |
− | + | ||
+ | *את הגרעין של <math>K</math> אנחנו יודעים למצוא כיוון שזו מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים. | ||
+ | *אם <math>u</math> פתרון למד"ר המתאים ל<math>K</math> אז עבור <math>y=u\circ \ln</math> מתקיים כי <math>K(y\circ\exp)=0</math> | ||
+ | *לכן <math>Hy\circ \exp =0</math> ולכן <math>Hy=0</math> בחיוביים, שהרי זו התמונה של <math>\exp</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אבל איך נמצא את הפתרונות ל<math>Ku=0</math>? צריך למצוא את הפולינום האופייני. | ||
+ | *עבור <math>y=x^r</math> נקבל כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)=K(e^{rt})=c_nr^n e^{rt}+...+c_0 e^{rt}</math> | ||
+ | *אם נחלק ב<math>e^{rt}</math> נקבל את הפולינום האופייני של המד"ר <math>Ku=0</math>, זו נקראת '''המשוואה האינדנציאלית''' של משוואת האוילר המקורית. | ||
+ | *במילים פשוטות, על מנת לחשב את המשוואה האינדנציאלית: | ||
+ | **נציב <math>x^r</math> במשוואת האוילר | ||
+ | **נציב <math>x=e^t</math> ונחלק ב<math>e^{rt}</math> (או בעצם נחלק מראש ב<math>x^r</math> שזה שקול) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *השורשים של המשוואה האינדנציאלית נותנים לנו את הפתרונות לגרעין של <math>K</math>, נרכיב אותם על <math>ln(x)</math> ונקבל את הפתרונות למשוואת האוילר. | ||
גרסה אחרונה מ־22:03, 28 בינואר 2024
מבחנים לדוגמא
- מבחן לדוגמא 1, פתרון
- מבחן לדוגמא 2, פתרון
- מבחן מועד א' תשע"ח, פתרון
- מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח, פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח
- מבחן מועד א' תשע"ט, פתרון
- מבחן מועד ב' תשע"ט, פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט
- מבחן מועד א' תשפ"א, פתרון מבחן מועד א' תשפ"א
- מבחן מועד ב' תשפ"א, פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א
- מבחן מועד א' תשפ"ב, פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב
- מבחן מועד ב' תשפ"ב, פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב
- בוחן תשפ"ג, פתרון בוחן תשפ"ג
- מבחן מועד א' תשפ"ג, פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג
- מבחן מועד ב' תשפ"ג, פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג
- בוחן הנדסה תשפ"ג, פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג
- מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג, פתרון
- מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג, פתרון
מבחנים של מד"ר למדעי המוח
הרצאות
פלייליסט של ההרצאות למחלקת מתמטיקה שנת תשפ"א
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה
. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
- המלצה: ניתן להעזר בספר המצויין על מד"ר של סמי זעפרני בקישור הבא.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה
.
- נסמן ב
את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
היא המהירות
היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה
, הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן
ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן
ולכן גם
.
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה
.
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי
.
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף
נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית
כאשר
היא הריבית השנתית.
המשוואה ![y'=r\cdot y](/images/math/1/f/b/1fb26e2b70e99e1416c60408e52568c3.png)
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר המד"ר
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה
היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה
היא משוואה מסדר ראשון.
- המשוואה
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה
.
- נהוג גם להחליף
ולכן המשוואה תרשם כך
.
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה
, כלומר
.
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- לכן ביחד נקבל
- בעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים
, כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה
כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי
.
- נשים לב כי הנחנו כאן כי
.
- כעת
.
.
- וביחד
.
- לכן
.
- לכן
.
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב)
.
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
המרדף
- דוגמא יפה וחשובה מהספר הזה עמוד 19 של הספר (33 של הPDF)
- מרצה צועד במהירות קבועה
בקו ישר בשדרה שמוביל אל בניין 507.
- סטודנט שרוצה עוד שתי נקודות לעובר רואה את המרצה, ונע לכיוון המרצה במהירות קבועה
.
- המרצה מתחיל בנקודה
ונע בכיוון החיובי של ציר y, הסטודנט מתחיל בנקודה
עבור
.
- באיזה מסלול ינוע הסטודנט? באילו תנאים הוא יתפוס את המרצה?
- נסמן את פונקצית המסלול של הסטודנט ב
- כיוון שהסטודנט תמיד נע בכיוון המרצה, המשיק של הפונקציה בכל נקודה במסלול הסטודנט צריך לפגוש את המרצה באותו הזמן.
- בזמן
המרצה נמצא בנקודה
והסטודנט נמצא בנקודה
.
- השיפוע בין המרצה לסטודנט הוא הנגזרת של פונקצית המסלול, כלומר
- כעת יש לנו שלושה משתנים
, כיצד נפטר מאחד מהם? לא השתמשנו במהירות הסטודנט!
- המסלול שהסטודנט עבר צריך להיות שווה ל
, כלומר
- מהמשוואה לעיל אנו יודעים כי
- ביחד נקבל כי
- נגזור את שני הצדדים ונקבל כי:
- נסמן
ונקבל
- זו מד"ר פרידה
- באמצעות ההצבה האוניברסאלית המתאימה
נפתור את האינטגרל של הצד השמאלי ונקבל כי
- ברגע הראשון התקיים כי
והתלמיד כיוון לראשית הצירים כלומר
כלומר
- לכן
- כעת קצת אלגברה:
- נחבר למשוואה הראשונה
- הרי
, ולכן ביחד:
- ולכן אחרי אינטגרציה נקבל כי:
- כאשר אנחנו מקבלים את הקבוע
מהנתון
- באופן טבעי, אם מהירות המרצה גדולה ממהירות הסטודנט
נקבל שאיפה לאינסוף כאשר
והסטודנט לא יגיע למרצה.
- אם
הסטודנט יגיע לשדירה ויתפוס את המרצה.
- אם
האינטגרציה שלנו שגוייה, וכאשר נחשב אותה נכון שוב נקבל שאיפה לאינסוף (באופן טבעי)
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה
שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה
.
- מתקיים כי
וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה
.
- זוהי משוואה פרידה
.
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו
מחוץ לתחום
.
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה
.
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה
באופן הבא:
- ראשית נסמן
.
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה
, ונקבל כי
.
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה
.
- נפריד את המשתנים
.
- ולכן
.
- נמצא את
ונציב בחזרה
.
- ראשית נסמן
- פונקציה
נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל
מתקיים כי
.
- לדוגמא
הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה
היא מהצורה
לכל
אם"ם היא הומוגנית מסדר
לכל
.
- הוכחה:
- אם
אזי לכל
מתקיים
.
- אם
, נציב
ונקבל כי
.
- אם
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה
.
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה
.
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית
היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל
.
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי
.
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע
פונקציה
, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה
כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב
במשוואה
.
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם
.
- כלומר
.
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית
הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו
:
- ראשית, נשים לב כי
ו
.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
- ראשית, נשים לב כי
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה
נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע
ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע
, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה
.
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר
אנו מתכנסים למהירות הסופית
.
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית
.
- ולכן הפתרון הוא
.
- וכאשר
המהירות שואפת למהירות הסופית
.
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה
עבור
.
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי
, ונחלק ב
.
- נקבל את המשוואה
.
- נציב
.
- נגזור
.
- נקבל משוואה לינארית
.
- נפתור עבור
ונציב חזרה לקבל
.
- דוגמא - נפתור את המשוואה
.
- נציב
.
- נקבל
ולכן
.
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- נציב
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
ולכן
(לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב
.
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר
המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
- דוגמא - המשוואה הלוגיסטית
- קצב הגדילה של אוכלוסיה פרופורציונלית לגודל האוכלוסיה כפול כמות המשאבים הפנויים.
- המשאבים קטנים באופן פרופורציונלי לגודל האוכלוסיה.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור
מתקיים
ו
- דוגמא עבור
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי
(כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
- כלל השרשרת: אם
אזי
- בפרט, עבור
מתקיים
מד"ר מדוייקת
- מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה
, עבור
דיפרנציאבילית.
- פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה
, כאשר C קבוע כלשהו.
- תהי מד"ר מהצורה
כאשר
בעלות נגזרות רציפות. אזי המד"ר מדוייקת אם"ם
- הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה
לפי המשתנה
באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי
- לפי הנתון
נובע כי
ולכן
פונקציה קבועה.
- נגזור את הפונקציה
- הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח
מדוייקת.
- לכן קיימת
דיפרנציאבילית כך ש
.
- לכן
.
- לכן קיימת
- כיוון שני, נניח כי
.
- אנו מחפשים
עבורה
.
- נעשה אינטגרציה לפי
ונקבל כי
.
- לכן ברור כי
, השאלה היא אם ניתן לבחור
עבורו
.
- כלומר אנו רוצים
- משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
- אכן
.
- אנו מחפשים
- כיוון ראשון, נניח
- דוגמא: מצאו משוואה המתארת את הפתרון למד"ר הבאה באופן סתום
.
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת:
.
- נבצע אינטגרציה
.
- נגזור לפי y ונקבל כי
.
- לכן
.
- לכן
וסה"כ
.
- לכן הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י
.
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת:
גורם אינטגרציה
- לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
- באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.
- תהי מד"ר
, ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה
התלוי בx בלבד.
- כלומר
מדוייקת.
- לכן
.
- כלומר
.
- לכן
.
- ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
- במקרה זה, פתרון יהיה
- דוגמא - המשוואה
.
- המשוואה הינה
.
- מתקיים כי
תלוי בx בלבד.
- לכן יש גורם אינטגרציה
- נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
.
- כעת
.
.
- לכן
ואפשר לבחור
.
- סה"כ
.
- (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)
- המשוואה הינה
- דוגמא - המשוואה
.
.
- אכן המשוואה
מדוייקת.
- נבדוק:
.
- נבדוק:
- נפתור את המד"ר:
.
.
.
.
- סה"כ הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י
.
- אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y.
הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות
בעיית קושי
- מציאת פתרון למד"ר
המקיימת
המשוואה האינטגרלית
- בעיית הקושי
עם
שקולה למשוואה
.
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
- אזי
.
- לכן
.
- ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי
.
- אזי
- בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
- נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
- נציב במשוואה האינטגרלית את
ונקבל
.
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
שיטת פיקרד
- נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את קיום הפתרון במשפט הקיום והיחידות.
- נבנה נוסחת נסיגה מהמשוואה האינטגרלית, ואז אם הסדרה תתכנס (במ"ש) נקבל את המשוואה האינטגרלית:
- נגדיר
, ולכל
נגדיר
.
- מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.
- דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית)
.
- נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל
- אם נתון תנאי ההתחלה
נקבל בדיוק את הפתרון
.
ניסוח משפט הקיום והיחידות
- תהי
רציפה ובעלת נגזרת
רציפה במלבן הסגור
.
- נביט בבעיית הקושי
, עם תנאי ההתחלה
- נבחר
חסם כך ש
במלבן הנתון, ונסמן
.
- אזי קיים פתרון יחיד
לבעיית הקושי בתחום
.
- הערות:
- שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים (
).
- לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים (
- שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
- מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.
הוכחת הקיום
- נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון לבעיית הקושי.
- הערה: נוכיח עבור
ההוכחות עבור
דומות.
- ראשית, נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן
שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של
.
- כלומר, עלינו להוכיח כי לכל
המקיים
מתקיים כי
.
- הפונקציה הראשונה
כמובן בתוך המלבן.
- כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי
.
- שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום
שנמצא בתחום התחום
.
- שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום
- לכן
.
- הפונקציה הראשונה
- כעת, נשים לב לתכונה הבאה:
- כיוון ש
רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
- לפי משפט לגראנז' נקבל כי
- כיוון ש
- כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
- ראשית, נשים לב כי
.
- לכן עלינו להוכיח כי הטור
מתכנס במ"ש (כי הסס"ח שלו היא
פחות קבוע).
- ראשית,
- כעת
- נמשיך כך ונקבל כי
- זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, וכן לפי מבחן הM של קושי הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
- הערה: כיוון ש
אזי גם הסדרה
מתכנסת במ"ש באופן דומה.
- ראשית, נשים לב כי
- נוכיח שפונקצית הגבול
היא פתרון של בעיית הקושי.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף
.
- נקבל כי
.
- הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף
הוכחת היחידות
- טענת עזר - תהי
חסומה כך שלכל
בקטע
מתקיים כי
אזי
לכל
בקטע.
.
.
.
- נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי
.
- לכן
.
- לכן
.
- יהיו שני פתרונות
לבעיית הקושי, נוכיח כי
:
.
- לכן לפי טענת העזר,
.
הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה
- נחקור כעת משוואות מהצורה
- דוגמא:
- נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
- נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
- הכוח הפועל על המסה הוא
.
- לכן לפי החוק השני של ניוטון
.
- דוגמא:
- נביט בסירה במים המחוברת בקפיץ למזח.
- מלבד הכוח שהקפיץ מפעיל, המים מתנגדים לסירה באופן פרופורציוני למהירות שלה.
- היחס בין קבוע הקפיץ לקבוע התנגדות המים ישפיע על התנועה - האם הסירה תתקדם בכיוון אחד, או תעשה תנועה מחזורית (בכל מקרה היא תאט).
- דוגמא:
- מסה מחוברת לקפיץ עם חיכוך
- דוגמא:
- מסה תלוייה על קפיץ במאונך עם או בלי התנגדות אוויר ועם השפעת כוח המשיכה (לא הומוגני)
הורדת סדר המשוואה
מד"ר מסדר גבוה ללא y
- אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה
.
- דוגמא:
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני
.
- נביט בפונקצית המהירות
ונקבל את המשוואה
מסדר ראשון.
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני
הורדת סדר למד"ר מסדר שני ללא x
- תהי מד"ר מהצורה
.
- ראשית נחפש פונקציה
המקיימת את המד"ר מסדר ראשון
- נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר.
- כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו
- פונקציה כזו תקיים כי
- כלומר היא מהווה פתרון למד"ר.
דוגמא - משוואות הקפיץ
- נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
- נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה
.
- אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה
.
- זו משוואה פרידה
ולכן
.
- לכן
.
- זו משוואה פרידה
- לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה
.
.
.
.
- שימו לב שהביטוי
מייצג קבוע חיובי כלשהו.
- שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.
- שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה.
דוגמא - מהירות מילוט
- גוף בעל מסה
נזרק מכדור הארץ כלפי מעלה במהירות
, נסמן את מרחק הגוף ממרכז כדור הארץ ב
.
- מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו
.
- מהי מהירות המילוט של הגוף? כלומר עבור איזו מהירות התחלתית מתקיים כי
כאשר
?
- מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו
- נסמן את מסת כדור הארץ ב
, את רדיוס כדור הארץ ב
, את קבוע הכבידה האוניברסאלי ב
ואת תאוצת הנפילה בכדור הארץ ב
- ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה
הוא בקירוב
כלומר
ולכן
- המשוואה המתארת את תנועת הגוף היא:
כלומר
- זו משוואה מסדר שני שחסר בה המשתנה
- נחפש
עבורה
ולכן
- נעשה אינטגרציה למד"ר הפרידה שקיבלנו ונקבל
- לכן
- ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה
- כיוון שהמהירות ההתחלתית היא חיובית נקבל כי
- על מנת למצוא את הקבוע, נציב את תנאי ההתחלה:
- הגובה הראשוני הוא
ובו המהירות היא
- הגובה הראשוני הוא
- הערה: ניתן לפתור את המד"ר הזו על מנת למצוא את הגובה כפונקציה של הזמן, אך לא התבקשנו לעשות כן.
- סה"כ נקבל כי
- מהירות המילוט היא המהירות ההתחלתית הנמוכה ביותר המבטיחה כי הגוף לא יגיע למהירות אפס.
- לכן מהירות המילוט מקיימת כי
ולכן
- לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ
ושואף למספר שלילי (בהנחת השלילה ש
), ולכן יגיע לאפס. במהירות אפס החפץ לא ימשיך לנוע.
- לכל מהירות התחלתית גבוהה יותר, המהירות גדולה יותר מערך חיובי קבוע, ולכן
.
- אם המהירות ההתחלתית היא בדיוק מהירות המילוט, ניתן לפתור את המד"ר בקלות ולראות כי
.
- לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ
מד"ר לינארית
- מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה
.
- אם
אזי המד"ר נקראת הומוגנית.
- בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה
- משפט קיום ויחידות: אם
רציפות בקטע
ויהי
, אזי קיים פתרון יחיד בקטע
לבעיית הקושי.
- נגדיר את אופרטור הגזירה
על מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים.
גם הוא אופרטור לינארי
- לכן ניתן לכתוב מד"ר לינארית כ
כאשר
אופרטור לינארי.
מד"ר לינארית הומוגנית
- אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי.
- זה הרי הגרעין של האופרטור
המתואר לעיל
- זה הרי הגרעין של האופרטור
- תזכורת:
נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש
(הצירוף הוא פונקצית האפס).
- הגדרה: הוורונסיקאן
של הפונקציות
הוא הדטרמיננטה
- אם
ת"ל אזי
.
- נתון כי
- נגזור
- נמשיך ולגזור ונקבל שלכל
מתקיים כי
.
- לכן
- כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס.
- נתון כי
- אם
עבור
כלשהו עבור
פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים רציפים בקטע
, אזי הפתרונות ת"ל ו
.
- כיוון ש
קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל
מתקיים כי
.
- נביט בפונקציה
, לפי לינאריות גם
פתרון של המד"ר.
- כיוון שלכל
מתקיים כי
ולפי יחידות הפתרון, נובע כי
(הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה).
- כיוון ש
- הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל
.
- דוגמא:
- נביט בוורונסקיאן של
.
- זו מטריצת ונדרמונד ולכן
- לכן הפונקציות בת"ל אם ורק אם כל הקבועים שונים זה מזה
- נביט בוורונסקיאן של
- הוכחה לחישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונד:
- נבצע את פעולות השורהעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): R_n-\lambda_1 R_{n-1}\\R_{n-1}-\lambda_1 R_{n-2}\\\vdots\\R_2-\lambda_1 R_1
- כאשר המעבר הוא חישוב דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה
- ומכאן סיימנו באינדוקציה
- מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n.
- לכל
נגדיר את
להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה
ואם
אז
.
- נוכיח שn פתרונות אלה מהווים בסיס.
ולכן הפתרונות בת"ל.
- עבור תנאי ההתחלה
פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא
, ולכן הקבוצה פורשת.
- לכל
- דוגמא: משוואת המסה על קפיץ
- נביט בפתרונות
, הן אכן פותרות את המשוואה.
- נביט בוורונסקיאן
- לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה
- נביט בפתרונות
מד"ר לינארית לא הומוגנית
- פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית
- הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות.
- דוגמא:
מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה
.
- נציב ונקבל
.
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא
.
- דוגמא:
מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה
.
.
.
- משוואה זו תתקיים עבור
.
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא
.
הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים
ראשית נציג גישה אחת לנושא, ומאוחר יותר נציג גרסא מעודכנת (2022) המבוססות יותר על אופרטורים.
פולינום אופייני
- נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים
כאשר
.
- דוגמאות:
- משוואת הקפיץ
.
.
- משוואת הקפיץ
- ננחש פתרון למד"ר מהצורה
.
- נציב במד"ר ונקבל
.
- לכן
.
- נגדיר את הפולינום האופייני של המד"ר להיות
.
- לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.
- דוגמא:
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם
.
- לכן שני פתרונות למד"ר הם
.
- ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא
.
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)?
- מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
- הפולינום האופייני של המד"ר
הוא
.
- הפולינום האופייני של המד"ר
הוא
.
- כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
- ראשית, אם
שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
- נזכר גם כי
- כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים
לכן
הן פתרונות.
- לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
- עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!
- ראשית, אם
- דוגמא משוואת הקפיץ
.
- הפולינום האופייני הינו
.
- שורשי הפולינום האופייני הינם
.
- הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם
.
- הפולינום האופייני הינו
- כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
- ראשית, נביט באופרטור הלינארי
ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב
את אופרטור הזהות.
- למשל המד"ר
ניתנת להצגה כ
.
- לכן
.
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא
ולכן
הוא פתרון.
- כעת, נראה כי גם
הוא פתרון של המד"ר.
- באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא
אזי לכל
הביטוי
הוא פתרון.
- ראשית, נביט באופרטור הלינארי
סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים
- מוצאים את הפולינום האופייני, ואת כל השורשים שלו (כולל המרוכבים).
- לכל שורש ממשי
מריבוי
מתאימים הפתרונות
.
- לכל שורש מרוכב
מריבוי
(ידוע שגם הצמוד שלו שורש מאותו ריבוי) מתאימים הפתרונות
- סה"כ מצאנו למד"ר מסדר n בדיוק n פתרונות.
- הפתרונות הללו בת"ל ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי שלהם.
- נוכיח שהפתרונות בת"ל (מעל המרוכבים).
.
- נניח ש
, נחלק ב
.
- נציב
ונשאיף את
.
- נקבל כי הפולינום המקדם של האקספוננט הגדול ביותר חייב להיות אפס.
- לכן באינדוקציה כל הפולינומים חייבים להיות אפס, ולכן כל אחד מהקבועים חייב להיות אפס.
- כיוון שהפתרונות בת"ל מעל המרוכבים, אפשר ליצור איתם כל תנאי התחלה, ולקבל פונקציות ממשיות שפותרות אותו.
- דוגמא: מצאו את הפתרון הכללי של המד"ר
.
- ראשית, נמצא את הפולינום האופייני
.
- ננחש ש2 הוא שורש, נבצע חילוק, ננחש שוב את 2 כשורש ונקבל כי
.
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם 2 מריבוי 2, ו
מריבוי 1.
- לכן הפתרון הכללי הוא
.
- ראשית, נמצא את הפולינום האופייני
- דוגמא: מצאו את הפתרון של המד"ר
המקיים
.
- הפולינום האופייני הוא
.
- הפתרון הכללי הוא
.
- כעת נמצא את הקבועים:
.
.
ולכן
.
- סה"כ הפתרון הוא
.
- הפולינום האופייני הוא
גישה מבוססת אופרטורים
- נציג את המד"ר הלינארית עם מקדמים קבועים באמצעות אופרטור הגזירה:
- נגדיר את הפולינום האופייני
- סה"כ האופרטור של המד"ר הוא
- נפרק את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים מעל המרוכבים
- ונקבל כי
- שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש
אופרטורים מתחלפים.
- שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש
- כיוון שמותר להחליף את סדר הגורמים נובע כי אם
שורש של הפולינום האופייני מריבוי
אזי
בטקסט לעיל, למדנו איך למצוא בסיס לגרעין הזה.
הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית
- כבר ראינו שעל מנת למצוא פתרון כללי למד"ר לינארית לא הומוגנית, עלינו למצוא פתרון כללי למד"ר ההומוגנית (למדנו כיצד בהרצאה קודמת), ופתרון פרטי כלשהו למד"ר הלא הומוגנית.
- נלמד כיצד למצוא פתרון פרטי.
שיטת הניחוש עבור מד"ר עם מקדמים קבועים
- תהי מד"ר מהצורה
.
- אם
פולינום מדרגה m:
אינו שורש של הפולינום האופייני, ננחש
פולינום מדרגה m.
- אם
שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש
.
- אם
:
- אם
אינו שורש של הפולינום האופייני ננחש
.
- אם
שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש
.
- אם
- אם
או
:
- אם
אינם שורשים של הפולינום האופייני ננחש
(כאשר
פולינומים מסדר m).
- אם
שורשים של הפולינום האופייני מריבוי k כל אחד, ננחש
.
- אם
- דוגמאות:
- עבור
הפולינום האופייני הוא
ננחש את הפתרון
.
- עבור
כעת
אינו שורש של הפולינום האופייני, ולכן ננחש
. (שימו לב שהפולינום הוא בעצם מדרגה 0.)
- עבור
כעת
הוא שורש מריבוי 2 ולכן ננחש את הפתרון
.
- עבור
הפולינום האופייני הוא
השורש
מופיע מריבוי 1 ולכן ננחש
.
- עבור
- לאחר הניחוש, נמצא את הקבועים ע"י הצבה. נחשב עבור הדוגמא הראשונה:
- המד"ר
, הניחוש
.
.
.
- נציב
.
- נבצע השוואת מקדמים:
.
.
.
- לכן הפתרון הפרטי הוא
.
- סה"כ הפתרון הכללי הוא
.
- המד"ר
וריאצית מקדמים יחד עם שיטת קרמר למד"ר לינארית
- תהי מד"ר לינארית (לאו דווקא עם מקדמים קבועים) מהצורה
.
- יהיו
פתרונות בת"ל למד"ר ההומוגנית.
- ננחש כי קיים פתרון פרטי מהצורה
.
- טענה - עבור פונקציות
המקיימות את מערכת המשוואות
מתקיים כי הוא פתרון פרטי של המד"ר.
- הוכחה:
. (לפי המשוואה הראשונה.)
- באופן דומה
. (לפי המשוואה השנייה.)
- נמשיך כך עד שנקבל
- כעת נגזור ונקבל
, לפי המשוואה האחרונה.
- נציב במד"ר המקורית:
- כיוון ש
פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן
.
- נכתוב שוב את ההוכחה, בעזרת סימן הסכימה (עשוי להיות נוח יותר או פחות):
- ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל
מתקיים כי
- כעת בעזרת המשוואה האחרונה נקבל כי
- נציב במד"ר ונקבל
- ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל
- כלומר, על מנת למצוא פתרון פרטי, עלינו למצוא פתרון למערכת המשוואות הבאה:
- אבל דטרמיננטת מטריצת המקדמים היא בדיוק הוורונסקיאן!
- כיוון ש
בסיס למרחב הפתרונות, מטריצת המקדמים הפיכה לכל
ולכן קיים פתרון (יחיד) למערכת.
- כיצד נמצא את הפתרון? שיטת קרמר.
- לאחר שנמצא את הערכים של
נבצע אינטגרציה ונמצא סה"כ את הפתרון הפרטי.
- דוגמא - מצאו פתרון כללי למד"ר
.
- פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא
.
- כעת עלינו למצא פתרון פרטי
.
- עלינו למצוא פתרון למערכת
- לכן לפי שיטת קרמר
- לכן
- סה"כ הפתרון הפרטי הוא
.
- פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא
- דוגמא:
- שימו לב שיכלנו לפתור את השאלה הקודמת בדרך אחרת, קצרה יותר, עם טריק.
- מתקיים כי
.
- נמצא פתרון פרטי
למד"ר
בשיטת הניחוש.
- נמצא פתרון פרטי
למד"ר
בשיטת הניחוש.
- לכן
הוא פתרון פרטי למד"ר
מתוך לינאריות.
הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור
שימוש בטורי טיילור
- ננחש שהפתרון הוא טור חזקות, ואם אכן יש פתרון כזה, נמצא את המקדמים.
- גם אם לא נוכל למצוא נוסחא פשוטה לפונקציה, עדיין טור החזקות יכול לתת קירוב שלה.
- דוגמא: הזזת אינדקס של טור טיילור.
- הזיזו את האינדקס של הטור
כך שהחזקה תהיה
.
- אנחנו רוצים להציב
ולכן
.
- כיוון ש
מתחיל מ4, נובע ש
יתחיל מ2.
- סה"כ נקבל כי
.
- הזיזו את האינדקס של הטור
- דוגמא מצאו את הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית
.
- עבור
מדובר במד"ר לינארית הומוגנית בעלת שני פתרונות בת"ל.
- ננחש כי קיים פתרון בצורת טור טיילור
.
- שימו לב שאנו מניחים שהפונקציה מוגדרת באפס, ייתכן שנרצה לפתח טור טיילור סביב נקודות אחרות באופן כללי.
- נציב במשוואה ונקבל:
- לכן:
- לכל
מתקיים
.
- עבור
מקבלים
.
- עבור
נחלק ב
ונקבל
.
- עבור
- סה"כ המשוואות שקיבלנו הן
- וכן הלאה.
- נשים לב כי באופן כללי
חופשיים.
- עבור הבחירה
נקבל את הפתרון
.
- עבור הבחירה
נקבל את הפתרון
.
- נבדוק שהפתרונות בת"ל:
- לכל
הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל.
- שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור
.
- אכן ב
משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים
.
- סה"כ הפתרון הכללי הינו
מציאת פתרון פרטי
- דוגמא - מצאו את הפתרון הכללי למד"ר
.
- ראשית נעביר את המד"ר לצורה סטנדרטית
- נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על הפתרון למד"ר ההומוגנית יחד עם כלל קרמר.
- נחפש פתרון מהצורה
.
- כעת
- לכן
.
- כמו כן,
- לכן
.
- נחפש פתרון מהצורה
- סה"כ הפתרון הפרטי הינו
- לכן הפתרון הכללי הינו
הרצאה 9 מערכות מד"ר
מערכת מד"ר לינארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים
- לעיתים יש לנו מד"ר העוסקות במספר פונקציות שונות.
- נניח שיש לנו סיר מים מתבשל על הגז.
- A היא מסת המים בסיר, וB היא מסת המים שהתאדו אל המכסה.
- נניח שקצב התאדות המים מהסיר אל המכסה הוא
וקצב התעבות המים מהמכסה בחזרה לסיר הוא
.
- לכן
- נסמן את שתי הפונקציות ב
ונניח כי
.
- נקבל את המערכת
כלומר
- נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת.
- במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי.
- עבור ו"ע מתקיים כי
.
- כיוון שהוקטור
הוא וקטור קבועים,
.
- כלומר,
הוא פתרון למערכת.
- בחזרה לדוגמא:
- הע"ע של
הם
.
- הו"ע המתאימים הם
- הפתרון הכללי הוא
- כלומר
ו
- הע"ע של
- שימו לב שככל שעובר הזמן היחס בין המים בסיר למים על המכסה שואף להיות קבוע.
- שימו לב ש
, זה הגיוני כיוון שמסת המים אינה משתנה בתהליך.
שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני
- נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
- נניח כי
מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן.
- נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
- נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
- לכן מתקבלת מערכת המד"ר
- שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי)
- נסמן
, ולכן
.
- הע"ע של A הינם
.
- עבור הו"ע
המתאים לע"ע
מתקיים כי
.
- לכן אם נבחר
כך ש
, ונבחר
אזי נקבל
.
- כלומר
הוא פתרון למערכת.
- לכן אם נבחר
- עבור הו"ע
המתאים לע"ע
מתקיים כי
.
- לכן אם נבחר
כך ש
ונבחר
אזי נקבל
.
- לכן
הוא פתרון למשוואה.
- לכן אם נבחר
- ביחד קיבלנו פתרון כללי
- תנאי ההתחלה הם המיקומים והמהירויות של כל אחת מהמסות.
קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר מסדר ראשון
- נביט במד"ר
.
- נסמן
.
- לכן המד"ר שקולה למערכת מסדר ראשון
.
- בפרט, המד"ר הלינארית
שקולה למערכת
- בכתיב מטריצות קיבלנו את המערכת
כאשר:
- הפולינום האופייני של
הוא:
- ניתן להוכיח באינדוקציה כי
, בדיוק הפולינום האופייני של המד"ר המקורית, לא במפתיע.
הרצאה 10 התמרת לפלס
- התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
- עבור הפונקציה
המוגדרת בקטע
נגדיר את התמרת הלפלס
.
- שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
- אם מתקיים כי
אזי ההתמרה מתכנסת לכל
.
- הביטוי האחרון מתכנס לכל
.
- נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.
- דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה
.
- בויקיפדיה ניתן למצוא טבלה של התמרות לפלס שימושיות.
- שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה
שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx.
- הפונקציה
מאפסת את ציר הx בקטע
.
- הפונקציה
תכונות התמרת לפלס
- יחידות:
- אם
רציפות, ו
אזי
.
- הוכחה
- אם
- לינאריות:
- התמרת הנגזרת הראשונה:
- התמרת נגזרת כללית:
- הזזה של המשתנה s:
- אם
אזי
- אם
- הזזה של המשתנה t:
- אם
אזי
- אם
- תכונות נוספות:
- אם
אזי
- אם
אזי
- אם
אזי
- אם
- נוכיח חלק מהתכונות לעיל כעת ובהרצאה הבאה.
- נוכיח עבור y החסומה ע"י אקספוננט כי
- נבצע אינטגרציה בחלקים
- כעת
.
- וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.
דוגמאות
- דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט
- נציב בנוסחא
את
- סה"כ נקבל כי
- דוגמא - נמצא פתרון למד"ר
.
- נבצע התמרת לפלס:
- לכן
- דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס
- נסמן
,
- נציב בנוסחא
:
- נציב
ונקבל
כלומר
- נציב
ונקבל
כלומר
- נציב
- נקבל סה"כ כי
הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס
- נוכיח כי
- נפתור את המד"ר
עם תנאי ההתחלה
.
- שימו לב שכבר למדנו איך לפתור מד"ר זו - למצוא פתרון כללי ולהציב תנאי ההתחלה.
- התמרת לפלס עשוייה לחסוך לנו קצת זמן.
- נבצע התמרת לפלס:
- ידוע ש
הינה ההתמרה של
.
- לכן
הינה ההתמרה של
, וזהו פתרון המד"ר.
- נוכיח כי אם
אזי
.
- נגזור את שני הצדדים לפי
ונקבל כי
- את העובדה שגזרנו בתוך האינטגרל לא נצדיק כאן, היא נכונה עבור פונקציות שחסומות על ידי אקספוננט.
- לכן,
- כמו כן,
- דוגמא - נחשב את
.
- ידוע כי
- לכן
- לכן
- לכן
- ובאופן כללי
- ידוע כי
דוגמא
- נפתור את המד"ר
.
- נבצע התמרת לפלס:
- לכן קבלנו את המשוואה
- קיבלנו מד"ר לינארית.
- לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את
- נסמן
, ו
- לכן
.
- כמו כן
- סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא
- נסמן
- נחזור לסימון התמרת הלפלס:
- נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית:
דוגמא
- נמצא פתרון למד"ר
המקיים
.
- נבצע התמרת לפלס
.
- לכן
- לכן
- לכן
- לכן
- נבצע התמרת לפלס
- הערות:
- הפונקציה שקיבלנו רציפה אם נגדיר אותה ב0 להיות 1, ואכן מקיימת את תנאי ההתחלה.
- מצאנו רק פתרון אחד, כיוון שלפתרון השני
אין התמרת לפלס (האינטגרל לא מתכנס באיזור 0).
הרצאה 12 - הדלתא של דירק
הדלתא של דירק
- נתחיל ונאמר כי ישנן מספר גישות אל הדלתא של דירק, אנחנו נציג גישה אחת שרלוונטית אלינו.
- הדלתא של דירק אינה פונקציה, אלא מייצגת תהליך.
- למרות האמור, אנחנו נתייחס לתוצאה הסופית של התהליך, כאילו היה מדובר בפונקציה ממש.
- מטרה עיקרית: 'פונקצית הדלתא' מקיימת את התכונה
לכל פונקציה
הרציפה ב
.
- כמו כן,
לכל פונקציה הרציפה בa.
- בצורה מדוייקת יותר, נביט בסדרת הפונקציות
- כאשר
לכל
מתקיים כי
ועבור
מקבלים כי
.
- לכל
מתקיים כי
.
- עקרונית הסדרה מייצגת פונקציות בעלות שטח אחד, ההולך ומתרכז בנקודה אפס.
- עבור
הרציפה בסביבה של
מתקיים כי:
- לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי
- נגדיר את
- נשים לב כי לפי גישה זו
ו
.
- נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק:
- לכל
מתקיים
- בפרט
תגובת הלם
- נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה.
- נניח שברגע
מישהו נתן 'פליק' למסה.
- הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'.
- כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא
, בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ.
- למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר
- באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות
.
- על מנת שיהיה פתרון למד"ר עלינו לבחור הפעם סדרה של פונקציות גזירות ב
כמו
- נוכיח כעת את הנוסחא
עבור
:
- נבצע את ההצבה
ונקבל:
.
- נפתור את המערכת עם התמרת לפלס:
.
- כיוון שהמערכת התחילה במנוחה,
.
- לכן
.
- ולכן
.
- (הרי
).
- אכן, עד רגע
המערכת במנוחה
.
- לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים
.
- כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה.
- נפתור את המערכת
עם תנאי ההתחלה
.
- נפעיל התמרת לפלס
- לכן
- לכן
- לכן
- כלומר בזמן
ההלם עוצר את התנועה במערכת, והפתרון מתאפס.
- נפעיל התמרת לפלס
- דוגמא - נפתור את המד"ר
עבור תנאי ההתחלה
.
- נבצע התמרת לפלס ונקבל כי
.
- לכן
- ראשית נמצא את ההתמרה ההפוכה
:
- לכן
- ולכן סה"כ הפתרון למד"ר הינו
- נבצע התמרת לפלס ונקבל כי
הרצאה 13 - משוואת אוילר
- משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:
- נסמן את פונקצית האקפוננט
- נפתור את המד"ר ל
- נגדיר
כלומר
.
- נקבל כי
- באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי
עבור קבועים כלשהם.
- נסמן את האופרטור המתאים למד"ר:
- לכן
- לפי הפיתוח לעיל, זה שווה ל
עבור קבועים כלשהם.
- נסמן את האופרטור המתאים למד"ר זו ב
- סה"כ הוכחנו כי
- סה"כ הוכחנו כי
- את הגרעין של
אנחנו יודעים למצוא כיוון שזו מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים.
- אם
פתרון למד"ר המתאים ל
אז עבור
מתקיים כי
- לכן
ולכן
בחיוביים, שהרי זו התמונה של
.
- אבל איך נמצא את הפתרונות ל
? צריך למצוא את הפולינום האופייני.
- עבור
נקבל כי
- אם נחלק ב
נקבל את הפולינום האופייני של המד"ר
, זו נקראת המשוואה האינדנציאלית של משוואת האוילר המקורית.
- במילים פשוטות, על מנת לחשב את המשוואה האינדנציאלית:
- נציב
במשוואת האוילר
- נציב
ונחלק ב
(או בעצם נחלק מראש ב
שזה שקול)
- נציב
- השורשים של המשוואה האינדנציאלית נותנים לנו את הפתרונות לגרעין של
, נרכיב אותם על
ונקבל את הפתרונות למשוואת האוילר.
- סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי:
פתרון של המד"ר
לכל
.
- ולכן
פתרון של משוואת אוילר המקורית, לכל
.
- אם
זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי:
פתרונות של המד"ר
, לכל
.
- לכן
פתרונות של משוואת אוילר המקורית, לכל
.
- דוגמא:
- נציב
ונקבל את המשוואה האינדנציאלית
.
- לכן
.
- כלומר
.
- לכן הפתרון הכללי הינו
- דוגמא:
- נעביר לצורה של משוואת אוילר
.
- המשוואה האינדנציאלית היא
.
- כלומר
.
- לכן הפתרון הכללי הינו
- דוגמא:
- מצאו פתרון כלשהו למד"ר
- ראשית נמצא את הפתרונות למד"ר ההומוגנית, שהיא משוואת אוילר.
- לאחר מכן נמצא פתרון פרטי באמצעות וריאצית המקדמים.
- מצאו פתרון כלשהו למד"ר