גרסה אחרונה מ־14:07, 9 במאי 2011

הערות כלליות

כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
חותמים באמצעות "~~~~". פתיחת חשבון - חינם.

סטטיסטיקה יישומית

סעיף זה הוא הבלוג הזמני שלי לנושאי סטטיסטיקה. אתם מוזמנים להוסיף דוגמאות משלכם. עוזי ו. 22:12, 1 במרץ 2011 (IST)

בעקבות נסיון (אחד) לפגוע בטנק של צה"ל [1], שנהדף על-ידי המערכת החדשה "מעיל רוח", אומר מפקד החטיבה ש"מדובר בהצלחה של 100% מבחינת המערכת". החישוב (1 מתוך 1 הם מאה אחוזים) מדוייק. מה דעתכם על השיטה הזו כדרך לאמוד הסתברויות? (ואם היו 2 הצלחות מ-2? 7 מ-7? 41 מ-41?) עוזי ו. 22:14, 1 במרץ 2011 (IST)

לעניות דעתי, התשובה הברורה היא שודאי שאין זו דרך לחשב באופן מדוייק הסתברות למאורע. גם אם בוצעו מספר מסוים של נצחנות על פני הפסדים, אין כל ערובה לכך שהיחס עתיד להישמר גם במהלך הבא.

אך, מכל-מקום, מתקבל על הדעת, שככל שמספר הניסויים שנבצע יילך וייגדל כך גם היחס, או במילים אחרות ההסתברות, ישאף לאיזשהו מספר קבוע.

ודאי שכבני אדם בעולם סופי, אין זו ביכולתנו לחשב את אחוז ההצלחה באופן מדויק, אך כמובן שככל שיבוצעו יותר בדיקות על מוצר מסוים, כך גם תישאף רמת הדיוק להשתפר. ועם זאת, מבחינה מתמטית, נוח אפוא לראות את ההסתברות כיחס באשר מספר הניסויים [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math].

בהמשך הקורס נראה שאפשר להשתמש ביחס ההצלחות עד-כה כאומד להסתברות ההצלחה. האומד הזה הולך ומשתפר ככל שצוברים נתונים, ואכן הגבול של היחס בין מספר ההצלחות למספר הנסיונות, כאשר מספר הנסיונות שואף לאינסוף, שווה (בהסתברות 1) להסתברות ההצלחה. עוזי ו. 13:39, 10 במרץ 2011 (IST)

בנוגע לכך, אשמח לשאול גם שאלה אחרת. אנו הגדרנו בכיתה את יסודותיה של תורת ההסתברות, בה דרושים מרחב הסתברות [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] ופונקצית הסתברות, [math]\displaystyle{ \mathcal{P} : \Omega \rightarrow \R^+ }[/math], הממלאת דרישות מסוימות.

מתי נכנסת הקומבינטוריקה לתמונה? נניח ש-[math]\displaystyle{ S \subseteq \Omega }[/math] מאורע, אז מתי מתקבלת הנוסחא באשר כך שההסתברות ל-[math]\displaystyle{ S }[/math], היינו [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(S) }[/math], הינה היחס בין מספר האפשרויות להתרחשות [math]\displaystyle{ S }[/math] חלקי מספר כל האפשרויות (הגודל [math]\displaystyle{ |\Omega| }[/math]), כמובן רק כאשר [math]\displaystyle{ |\Omega| \lt \aleph_0 }[/math].

אשמח לתשובה.

התשובה הפשוטה היא שההסתברות שווה ליחס בין גודל המאורע לגודל המרחב רק אם ההסתברות לכל נקודת-מרחב היא אחידה. אפשר לפתח את תורת ההסתברות גם מתוך ההנחה שמרחב (סופי) הוא תמיד אחיד, אלא שהתאוריה שבה יש לכל נקודה הסתברות משלה היא גמישה יותר ופחות מסורבלת. עוזי ו. 13:39, 10 במרץ 2011 (IST)

שאלות על ההרצאות

תרגילים

(שאלות מתמטיות ואחרות הנוגעות לתרגילים).

תרגיל 1

שלום, יש לי שתי שאלות בנוגע לתרגיל 1: א. בשאלה 7 לא ברור מה השאלה. נשמח אם תתקנו אותה. ב. בשאלה 4 השאלה היא כמה קומבינציות קימות של 4 ספרות. האם זה ליצירת מספר?(ואז אסור שאפס יהיה בהתחלה) או שזה סתם 4 ספרות?

תודה רבה

יעל

בשאלה 7, האם מטבעות מאותו חומר נחשבים לזהים או לשונים זה מזה?

עידן אריה 01:56, 2 במרץ 2011 (IST)

שאלה בקומבינטוריקה - בחירת k איברים מתוך n המורכבים מסוגים שונים

נניח שקיימים n איברים מ-m סוגים בעלי גדלים [math]\displaystyle{ n_1,...,n_m }[/math] בהתאמה. מעוניינים בבחירת k איברים מתוך n האיברים הללו, בכמה אפשרויות ניתן לעשות כן? די ברור שאת התשובה ניתן לכתוב כסכום: [math]\displaystyle{ \sum_{k_1+...+k_m = k}[ \prod_{i=1}^{m}(C^{n_i}_{k_i})] }[/math] (כאשר, [math]\displaystyle{ C^n_k }[/math] הינו המקדם הבינומי). אך האם ניתן לכתוב את התשובה בצורה קצרה ואלגנטית יותר, כמו למשל ע"י איזשהו מקדם מולטינומי? אשמח לתשובה.

שאלה מתוך החוברת של המרצה

נניח שהסיכוי של תמנון לחזות את תוצאתו של משחק היא [math]\displaystyle{ p }[/math]. מהי ההסתברות שהתמנון יחזה נכונה את תוצאת המשחק ה-[math]\displaystyle{ k }[/math]-י אם ידוע שכל 'ניחושיו' ב-[math]\displaystyle{ (k-1) }[/math] המשחקים שלפני נמצאו אמת?

למרות התפיסה השגויה המקובלת, למטבעות ותמנונים אין זכרון (מהסוג הרלוונטי): התשובה היא p. עוזי ו. 16:26, 4 במאי 2011 (IDT)

שאלה מבחינה הגיונית על תשובה

ניסיתי לענות על השאלה הבאה מהחוברת של המרצה: מעמידים באקראי n אנשים בשורה וכל מי שגבוה מכל מי שלפניו מרים יד. כמה אנשים מרימים יד בתוחלת.

נגדיר ב-X להיות המשתנה המקרי שסופר. התייחסתי לשאלה של חישוב ההסתברות X=k כסידור באקראי של n אנשים ובחירת k מתוכך n-1 הראשונים (כיוון שהאחרון לעולם לא יכול להיות גבוה מכל מי שמאחוריו). לכן, ההתפלגות של X נתונה ע"י -

[math]\displaystyle{ P(X=k) = \frac{\tbinom {n-1}{k}}{2^{n-1}} }[/math]

עתה ניגשתי לחישוב התוחלת:

[math]\displaystyle{ E(X) = \sum_{k=0} ^{n} \frac{1}{2^{n-1}} k \tbinom{n-1}{k} }[/math]

עתה מציבים את הזהות הבאה:

[math]\displaystyle{ k \tbinom{n-1}{k} = (n-1) \tbinom{n-2}{k-1} }[/math]

משתמשים בבינום ומקבלים כי -

[math]\displaystyle{ E(X) = 2^{2n-2}(n-1) }[/math]

ועתה לדבר הלא ברור: יוצא שבתוחלת מספר האנשים שמרימים ידיים (עבור n גדול דיו) גדול ממספר כל האנשים?! האם דבר זה אפשרי (או שאולי יש לי טעות חשוב..) אשמח להסבר.

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 סעיף זה הוא הבלוג הזמני שלי לנושאי סטטיסטיקה. אתם מוזמנים להוסיף דוגמאות משלכם. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:12, 1 במרץ 2011 (IST)
+: בעקבות נסיון (אחד) לפגוע בטנק של צה"ל [http://www.haaretz.co.il/hasite/spages/1217970.html], שנהדף על-ידי המערכת החדשה "מעיל רוח", אומר מפקד החטיבה ש"מדובר בהצלחה של 100% מבחינת המערכת". החישוב (1 מתוך 1 הם מאה אחוזים) מדוייק. מה דעתכם על השיטה הזו כדרך לאמוד הסתברויות? (ואם היו 2 הצלחות מ-2? 7 מ-7? 41 מ-41?) [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:14, 1 במרץ 2011 (IST)
+:: לעניות דעתי, התשובה הברורה היא שודאי שאין זו דרך לחשב באופן מדוייק הסתברות למאורע. גם אם בוצעו מספר מסוים של נצחנות על פני הפסדים, אין כל ערובה לכך שהיחס עתיד להישמר גם במהלך הבא.
+:: אך, מכל-מקום, מתקבל על הדעת, שככל שמספר הניסויים שנבצע יילך וייגדל כך גם היחס, או במילים אחרות ההסתברות, ישאף לאיזשהו מספר קבוע.
+:: ודאי שכבני אדם בעולם סופי, אין זו ביכולתנו לחשב את אחוז ההצלחה באופן מדויק, אך כמובן שככל שיבוצעו יותר בדיקות על מוצר מסוים, כך גם תישאף רמת הדיוק להשתפר. ועם זאת, מבחינה מתמטית, נוח אפוא לראות את ההסתברות כיחס באשר מספר הניסויים <math>n \rightarrow \infty</math>.
+::: בהמשך הקורס נראה שאפשר להשתמש ביחס ההצלחות עד-כה כ'''אומד''' להסתברות ההצלחה. האומד הזה הולך ומשתפר ככל שצוברים נתונים, ואכן ה'''גבול''' של היחס בין מספר ההצלחות למספר הנסיונות, כאשר מספר הנסיונות שואף לאינסוף, שווה (בהסתברות 1) להסתברות ההצלחה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:39, 10 במרץ 2011 (IST)
+:: בנוגע לכך, אשמח לשאול גם שאלה אחרת. אנו הגדרנו בכיתה את יסודותיה של תורת ההסתברות, בה דרושים מרחב הסתברות <math>\Omega</math> ופונקצית הסתברות, <math>\mathcal{P} : \Omega \rightarrow \R^+</math>, הממלאת דרישות מסוימות.
+:: מתי נכנסת הקומבינטוריקה לתמונה? נניח ש-<math>S \subseteq \Omega</math> מאורע, אז מתי מתקבלת הנוסחא באשר כך שההסתברות ל-<math>S</math>, היינו <math>\mathcal{P}(S)</math>, הינה היחס בין מספר האפשרויות להתרחשות <math>S</math> חלקי מספר כל האפשרויות (הגודל <math>|\Omega|</math>), כמובן רק כאשר <math>|\Omega| < \aleph_0</math>.
+:: אשמח לתשובה.
+::: התשובה הפשוטה היא שההסתברות שווה ליחס בין גודל המאורע לגודל המרחב רק אם ההסתברות לכל נקודת-מרחב היא אחידה. אפשר לפתח את תורת ההסתברות גם מתוך ההנחה שמרחב (סופי) הוא תמיד אחיד, אלא שהתאוריה שבה יש לכל נקודה הסתברות משלה היא גמישה יותר ופחות מסורבלת. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:39, 10 במרץ 2011 (IST)
 == שאלות על ההרצאות ==
@@ שורה 24: / שורה 34: @@
   תודה רבה
 יעל
+בשאלה 7, האם מטבעות מאותו חומר נחשבים לזהים או לשונים זה מזה?
+[[משתמש:עידן אריה|עידן אריה]] 01:56, 2 במרץ 2011 (IST)
+== שאלה בקומבינטוריקה - בחירת k איברים מתוך n המורכבים מסוגים שונים ==
+נניח שקיימים n איברים מ-m סוגים בעלי גדלים <math>n_1,...,n_m</math> בהתאמה. מעוניינים בבחירת
+k איברים מתוך n האיברים הללו, בכמה אפשרויות ניתן לעשות כן?
+די ברור שאת התשובה ניתן לכתוב כסכום:
+<math>\sum_{k_1+...+k_m = k}[ \prod_{i=1}^{m}(C^{n_i}_{k_i})] </math>
+(כאשר, <math>C^n_k</math> הינו המקדם הבינומי). אך האם ניתן לכתוב את התשובה בצורה קצרה ואלגנטית יותר,
+כמו למשל ע"י איזשהו מקדם מולטינומי? אשמח לתשובה.
+==שאלה מתוך החוברת של המרצה==
+נניח שהסיכוי של תמנון לחזות את תוצאתו של משחק היא <math>p</math>. מהי ההסתברות שהתמנון יחזה נכונה את
+תוצאת המשחק ה-<math>k</math>-י אם ידוע שכל 'ניחושיו' ב-<math>(k-1)</math> המשחקים שלפני נמצאו אמת?
+: למרות התפיסה השגויה המקובלת, למטבעות ותמנונים אין זכרון (מהסוג הרלוונטי): התשובה היא p. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 16:26, 4 במאי 2011 (IDT)
+== שאלה מבחינה הגיונית על תשובה ==
+ניסיתי לענות על השאלה הבאה מהחוברת של המרצה: מעמידים באקראי n אנשים בשורה וכל מי שגבוה מכל מי שלפניו מרים יד.
+כמה אנשים מרימים יד בתוחלת.
+נגדיר ב-X להיות המשתנה המקרי שסופר. התייחסתי לשאלה של חישוב ההסתברות X=k כסידור באקראי של n אנשים ובחירת k מתוכך n-1 הראשונים (כיוון שהאחרון לעולם לא יכול להיות גבוה מכל מי שמאחוריו).
+לכן, ההתפלגות של X נתונה ע"י -
+<math>P(X=k) = \frac{\tbinom {n-1}{k}}{2^{n-1}}</math>
+עתה ניגשתי לחישוב התוחלת:
+<math>E(X) = \sum_{k=0} ^{n} \frac{1}{2^{n-1}} k \tbinom{n-1}{k}</math>
+עתה מציבים את הזהות הבאה:
+<math>k \tbinom{n-1}{k} = (n-1) \tbinom{n-2}{k-1}</math>
+משתמשים בבינום ומקבלים כי -
+<math>E(X) = 2^{2n-2}(n-1)</math>
+'''ועתה לדבר הלא ברור:''' יוצא שבתוחלת מספר האנשים שמרימים ידיים (עבור n גדול דיו) גדול ממספר כל האנשים?! האם דבר זה אפשרי (או שאולי יש לי טעות חשוב..) אשמח להסבר.